Ein Additionsmuster

Finde die Regel und die nächsten zwei Glieder: $5, 9, 13, 17, \ldots$

Bestimme die Änderung zwischen Nachbarn: $9 - 5 = 4$, $13 - 9 = 4$, $17 - 13 = 4$ = Die Differenz ist immer $4$

Formuliere die Regel: Jedes Glied ist um $4$ größer als das vorherige = Regel: Beginne bei $5$, addiere $4$

Setze das Muster mit der Regel fort: $17 + 4 = 21$, $21 + 4 = 25$ = $21$ und $25$

Answer: Die Regel lautet plus $4$. Die nächsten zwei Glieder sind $21$ und $25$.

Ein Multiplikationsmuster

Finde die Regel und die nächsten zwei Glieder: $3, 6, 12, 24, \ldots$

Probiere zuerst die Differenzen: $6 - 3 = 3$, $12 - 6 = 6$, $24 - 12 = 12$ = Nicht gleich, also ist es kein Additionsmuster

Probiere das Multiplizieren: $3 \times 2 = 6$, $6 \times 2 = 12$, $12 \times 2 = 24$ = Jedes Glied wird mit $2$ multipliziert

Setze das Muster mit der Regel fort: $24 \times 2 = 48$, $48 \times 2 = 96$ = $48$ und $96$

Answer: Die Regel lautet mal $2$. Die nächsten zwei Glieder sind $48$ und $96$.

Ein wachsendes Muster

Finde die nächsten zwei Glieder: $1, 2, 4, 7, 11, \ldots$

Bestimme die Differenzen: $2 - 1 = 1$, $4 - 2 = 2$, $7 - 4 = 3$, $11 - 7 = 4$ = Differenzen: $1, 2, 3, 4$

Finde das Muster in den Differenzen: Die Differenzen werden jedes Mal um $1$ größer = Nächste Differenzen: $5$, dann $6$

Setze das Muster mit den Differenzen fort: $11 + 5 = 16$, $16 + 6 = 22$ = $16$ und $22$

Answer: Der Schritt wächst jedes Mal um $1$. Die nächsten zwei Glieder sind $16$ und $22$.

Ein abwechselndes Muster

Finde die Regel und die nächsten zwei Glieder: $10, 13, 11, 14, 12, 15, \ldots$

Schreibe jede Änderung auf: $+3, -2, +3, -2, +3$ = Zwei Schritte wechseln sich ab

Formuliere die Regel: Addiere $3$, dann subtrahiere $2$, immer wieder = Regel: $+3$, $-2$, $+3$, $-2$, $\ldots$

Entscheide, welcher Schritt als Nächstes kommt: Die letzte Änderung war $+3$, also kommt jetzt $-2$: $15 - 2 = 13$, dann $13 + 3 = 16$ = $13$ und $16$

Answer: Die Regel lautet abwechselnd plus $3$ und minus $2$. Die nächsten zwei Glieder sind $13$ und $16$.

Die 10. Figur eines Fliesenmusters

Figur 1 hat $4$ Fliesen, Figur 2 hat $7$ Fliesen, Figur 3 hat $10$ Fliesen. Jede neue Figur bekommt gleich viele Fliesen dazu. Wie viele Fliesen hat Figur 10?

Bestimme den Schritt: $7 - 4 = 3$, $10 - 7 = 3$ = Jede Figur bekommt $3$ Fliesen dazu

Zähle die Sprünge von Figur 1 bis Figur 10: Von $1$ bis $10$ sind es $10 - 1 = 9$ Sprünge = $9$ Sprünge

Addiere alle Sprünge zum ersten Glied: $4 + 9 \times 3 = 4 + 27$ = $31$

Prüfe mit den bekannten Figuren: Figur 3: $4 + 2 \times 3 = 10$ ✓ = Die Methode funktioniert

Answer: Figur 10 hat $31$ Fliesen.

Mistake: Eine Regel wählen, nachdem man nur die ersten zwei Glieder angeschaut hat

Why: Bei $2, 4, 8, 16$ ist der erste Sprung $+2$, aber $4 + 2 = 6$, nicht $8$. Zu zwei Zahlen passen viele Regeln.

Correct: Prüfe die Regel an jedem Paar von Nachbarn. Hier passt $\times 2$ zu allen: $2, 4, 8, 16$.

Mistake: Für das 10. Glied $10$ Sprünge verwenden

Why: Das erste Glied ist schon da. Von Glied $1$ bis Glied $10$ sind es nur $9$ Sprünge.

Correct: 10. Glied $=$ erstes Glied $+ 9 \times$ Schritt. Für $4, 7, 10, \ldots$: $4 + 9 \times 3 = 31$, nicht $4 + 10 \times 3 = 34$.

Mistake: Denken, dass jedes Muster dieselbe Zahl addiert

Why: Bei $2, 6, 18, 54$ sind die Differenzen $4, 12, 36$, also ist es kein Additionsmuster.

Correct: Wenn die Differenzen nicht gleich sind, probiere Multiplizieren (hier $\times 3$), abwechselnde Schritte oder wachsende Differenzen.

Mistake: Vergessen, wo man in einem abwechselnden Muster steht

Why: Bei $10, 13, 11, 14, 12, 15$ hängt der nächste Schritt vom letzten ab. Noch einmal $+3$ ergibt $18$, und das ist falsch.

Correct: Schreibe die Änderungen unter die Glieder ($+3, -2, +3, \ldots$) und setze den Wechsel fort: $15 - 2 = 13$.

Kalender

Derselbe Wochentag kommt alle $7$ Tage wieder, deshalb bilden die Daten dieses Wochentags ein Additionsmuster.

Wenn der erste Montag eines Monats der $3$. ist, sind die Montage der $3$., $10$., $17$., $24$. und $31$.

Fliesen und Muster beim Bauen

Handwerker und Designer verwenden Fliesenmuster für Böden, Wege und Wände und müssen wissen, wie viele Fliesen jeder Teil braucht.

Ein Weg, bei dem jeder neue Abschnitt $2$ Fliesen mehr braucht, verwendet $6, 8, 10, 12, \ldots$ Fliesen. So lässt sich jeder Abschnitt vorhersagen, ohne ihn zu zeichnen.

Geld sparen

Wer jede Woche denselben Betrag spart, lässt den Inhalt der Spardose in einem Additionsmuster wachsen.

Mit 10 € am Anfang und 4 € pro Woche sind es nach den Wochen 1 bis 4 insgesamt 14 €, 18 €, 22 € und 26 €.

Q: Wie fange ich an, wenn ich ein neues Muster sehe?

A: Schreibe die Differenz zwischen je zwei benachbarten Gliedern unter die Folge. Sind alle gleich, hast du ein Additions- oder Subtraktionsmuster. Wenn nicht, probiere Multiplizieren oder suche ein Muster in den Differenzen.

Q: Kann ein Muster mehr als eine Regel haben?

A: Bei nur zwei oder drei Gliedern ja, dann können mehrere Regeln passen. Deshalb brauchst du genug Glieder und musst deine Regel an allen prüfen. Zu $2, 4$ passt $+2$ oder $\times 2$, aber zu $2, 4, 8$ passt nur $\times 2$.

Q: Warum addiere ich für das 10. Glied 9 Schritte und nicht 10?

A: Das erste Glied ist schon da. Um von Glied $1$ zu Glied $10$ zu kommen, machst du $9$ Sprünge, so wie du von der 1. zur 10. Sprosse einer Leiter steigst.

Q: Wie finde ich die 20. Form in einem sich wiederholenden Muster?

A: Zähle die Formen in einem Block. Bei Kreis, Quadrat, Dreieck hat der Block $3$ Formen. $20 \div 3 = 6$ Rest $2$, also ist die 20. Form die 2. Form des Blocks: ein Quadrat.