Kann ein Muster mehr als eine Regel haben?

Bei nur zwei oder drei Gliedern ja, dann können mehrere Regeln passen. Deshalb brauchst du genug Glieder und musst deine Regel an allen prüfen. Zu $2, 4$ passt $+2$ oder $\times 2$, aber zu $2, 4, 8$ passt nur $\times 2$.

Warum addiere ich für das 10. Glied 9 Schritte und nicht 10?

Das erste Glied ist schon da. Um von Glied $1$ zu Glied $10$ zu kommen, machst du $9$ Sprünge, so wie du von der 1. zur 10. Sprosse einer Leiter steigst.

Wie finde ich die 20. Form in einem sich wiederholenden Muster?

Zähle die Formen in einem Block. Bei Kreis, Quadrat, Dreieck hat der Block $3$ Formen. $20 \div 3 = 6$ Rest $2$, also ist die 20. Form die 2. Form des Blocks: ein Quadrat.

Lehrermaterialien

Muster erkennen

Lerne, die Regel hinter Zahlen- und Formenmustern zu finden, sie an jedem Glied zu prüfen und vorherzusagen, was als Nächstes kommt.

Grundlegend20 MinLektion

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Definition

Ein Muster ist eine Folge von Zahlen oder Formen, die einer Regel folgt. Jedes Element der Folge heißt Glied.

Um ein Muster zu erkennen, schaust du, wie sich jedes Glied in das nächste verwandelt:

Additionsmuster: Es wird immer dieselbe Zahl addiert. $5, 9, 13, 17$ (plus $4$ )
Subtraktionsmuster: Es wird immer dieselbe Zahl abgezogen. $30, 25, 20, 15$ (minus $5$ )
Multiplikationsmuster: Jedes Glied wird mit derselben Zahl multipliziert. $3, 6, 12, 24$ (mal $2$ )
Abwechselndes Muster: Zwei Schritte wechseln sich ab. $10, 13, 11, 14, 12$ (plus $3$ , minus $2$ )
Wachsendes Muster: Der Schritt selbst wird größer. $1, 2, 4, 7, 11$ (plus $1$ , dann $2$ , dann $3$ , dann $4$ )
Sich wiederholendes Muster: Ein Block wiederholt sich immer wieder, zum Beispiel Kreis, Quadrat, Dreieck, Kreis, Quadrat, Dreieck

Eine Regel zählt nur, wenn sie für jedes Glied gilt, nicht nur für die ersten zwei. Eine Regel aus Beispielen zu finden ist induktives Denken; sie an allen Gliedern zu prüfen, schützt dich vor Fehlern.

Probier es gleich aus

Welche Zahl kommt im Muster

2, 5, 8, 11, \ldots

als Nächstes?

Lösungsbeispiele

Finde die Regel und die nächsten zwei Glieder: $5, 9, 13, 17, \ldots$

Bestimme die Änderung zwischen Nachbarn

$9 - 5 = 4$ , $13 - 9 = 4$ , $17 - 13 = 4$ → Die Differenz ist immer $4$

Formuliere die Regel

Jedes Glied ist um $4$ größer als das vorherige → Regel: Beginne bei $5$ , addiere $4$

Setze das Muster mit der Regel fort

$17 + 4 = 21$ , $21 + 4 = 25$ → $21$ und $25$

Antwort: Die Regel lautet plus $4$ . Die nächsten zwei Glieder sind $21$ und $25$ .

Häufige Fehler

Eine Regel wählen, nachdem man nur die ersten zwei Glieder angeschaut hat

Warum es falsch ist: Bei $2, 4, 8, 16$ ist der erste Sprung $+2$ , aber $4 + 2 = 6$ , nicht $8$ . Zu zwei Zahlen passen viele Regeln.

Richtig: Prüfe die Regel an jedem Paar von Nachbarn. Hier passt $\times 2$ zu allen: $2, 4, 8, 16$ .

Für das 10. Glied $10$ Sprünge verwenden

Warum es falsch ist: Das erste Glied ist schon da. Von Glied $1$ bis Glied $10$ sind es nur $9$ Sprünge.

Richtig: 10. Glied $=$ erstes Glied $+ 9 \times$ Schritt. Für $4, 7, 10, \ldots$ : $4 + 9 \times 3 = 31$ , nicht $4 + 10 \times 3 = 34$ .

Denken, dass jedes Muster dieselbe Zahl addiert

Warum es falsch ist: Bei $2, 6, 18, 54$ sind die Differenzen $4, 12, 36$ , also ist es kein Additionsmuster.

Richtig: Wenn die Differenzen nicht gleich sind, probiere Multiplizieren (hier $\times 3$ ), abwechselnde Schritte oder wachsende Differenzen.

Vergessen, wo man in einem abwechselnden Muster steht

Warum es falsch ist: Bei $10, 13, 11, 14, 12, 15$ hängt der nächste Schritt vom letzten ab. Noch einmal $+3$ ergibt $18$ , und das ist falsch.

Richtig: Schreibe die Änderungen unter die Glieder ( $+3, -2, +3, \ldots$ ) und setze den Wechsel fort: $15 - 2 = 13$ .

Interaktive Visualisierung

Folgen-Explorer

Erstes Glied (a₁ = 4)

Konstante Differenz (d = 3)

10,

13,

16,

19,

22,

25,

28,

, ...

a_1

a_5

a_10

a_20

Folgen-Explorer

11,

16,

, ...

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Welche Zahl kommt im Muster $2, 5, 8, 11, \ldots$ als Nächstes?

Warum es wichtig ist

Muster sind überall, und wer sie erkennt, spart Zeit:

Kalender: Jeder Montag eines Monats liegt $7$ Tage nach dem vorigen, so findest du jedes Datum, ohne Tag für Tag zu zählen
Fliesen und Bauen: Wenn jede neue Reihe eines Bodens $3$ Fliesen mehr braucht, kannst du planen, wie viele Fliesen du kaufen musst
Geld sparen: Wenn du jede Woche denselben Betrag in die Spardose legst, kannst du vorhersagen, wann du dein Ziel erreichst
Musik und Kunst: Rhythmen und Bordüren sind sich wiederholende Muster
Wissenschaft und Computer: Forschende suchen Muster in Daten, und Computer werden trainiert, Muster in Bildern und Geräuschen zu erkennen

Muster erkennen ist der erste Schritt des logischen Denkens: Du bemerkst eine Regel, prüfst sie und nutzt sie dann zum Vorhersagen.

Anwendungen im echten Leben

Kalender

Derselbe Wochentag kommt alle $7$ Tage wieder, deshalb bilden die Daten dieses Wochentags ein Additionsmuster.

Beispiel:

Wenn der erste Montag eines Monats der $3$ . ist, sind die Montage der $3$ ., $10$ ., $17$ ., $24$ . und $31$ .

1Probiere es selbst

Der erste Samstag eines Monats ist der $6$ . Schwimmunterricht ist an jedem Samstag.

Auf welches Datum fällt der 4. Samstag des Monats?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Beginne bei $6$ und addiere $3$ Sprünge zu je $7$ Tagen:

Fliesen und Muster beim Bauen

Handwerker und Designer verwenden Fliesenmuster für Böden, Wege und Wände und müssen wissen, wie viele Fliesen jeder Teil braucht.

Beispiel:

Ein Weg, bei dem jeder neue Abschnitt $2$ Fliesen mehr braucht, verwendet $6, 8, 10, 12, \ldots$ Fliesen. So lässt sich jeder Abschnitt vorhersagen, ohne ihn zu zeichnen.

2Probiere es selbst

Ein Fliesenmuster hat $5$ Fliesen in Figur 1, $8$ Fliesen in Figur 2 und $11$ Fliesen in Figur 3.

Wie viele Fliesen hat Figur 6?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Beginne bei $5$ und addiere $5$ Sprünge zu je $3$ :

Geld sparen

Wer jede Woche denselben Betrag spart, lässt den Inhalt der Spardose in einem Additionsmuster wachsen.

Beispiel:

Mit 10 € am Anfang und 4 € pro Woche sind es nach den Wochen 1 bis 4 insgesamt 14 €, 18 €, 22 € und 26 €.

3Probiere es selbst

Nora hat 15 € in ihrer Spardose. Sie legt jede Woche 5 € dazu.

Wie viel Geld hat sie nach 8 Wochen?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Beginne bei $15$ und addiere $8$ Sprünge zu je $5$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Ein Muster folgt einer Regel, und jedes Element darin heißt Glied
2Schau zuerst auf die Differenzen zwischen Nachbarn: Gleiche Differenzen bedeuten ein Additions- oder Subtraktionsmuster
3Wenn die Differenzen nicht gleich sind, probiere Multiplizieren, abwechselnde Schritte oder wachsende Differenzen
4Eine Regel ist nur richtig, wenn sie für jedes Glied gilt, nicht nur für die ersten zwei
5Für das 10. Glied eines Additionsmusters addierst du $9$ Schritte zum ersten Glied
6Bei einem sich wiederholenden Muster teilst du die Position durch die Länge des Blocks und nutzt den Rest

Häufig gestellte Fragen

Schreibe die Differenz zwischen je zwei benachbarten Gliedern unter die Folge. Sind alle gleich, hast du ein Additions- oder Subtraktionsmuster. Wenn nicht, probiere Multiplizieren oder suche ein Muster in den Differenzen.

Glossar

Muster: Eine Folge von Zahlen oder Formen, die einer Regel folgt
Glied: Ein Element eines Musters; das 1. Glied ist das erste Element, das 2. Glied das nächste und so weiter
Regel: Die Anweisung, wie man von einem Glied zum nächsten kommt, zum Beispiel plus $4$ oder mal $2$
Differenz: Das Ergebnis, wenn man ein Glied vom nächsten abzieht, zum Beispiel $9 - 5 = 4$
Abwechselndes Muster: Ein Muster, bei dem sich zwei verschiedene Schritte abwechseln, zum Beispiel $+3$ , $-2$ , $+3$ , $-2$
Sich wiederholendes Muster: Ein Muster, bei dem sich derselbe Block wiederholt, zum Beispiel rot, blau, rot, blau

Formelkarte

Differenzen prüfen

\text{Differenz} = \text{nächstes Glied} - \text{Glied}

Sind alle Differenzen gleich, addiert (oder subtrahiert) das Muster diese Zahl

10. Glied eines Additionsmusters

\text{10. Glied} = \text{1. Glied} + 9 \times \text{Schritt}

Vom 1. bis zum 10. Glied sind es 9 Sprünge

Position in einem sich wiederholenden Muster

\text{Position} \div \text{Blocklänge} = \ldots \text{ Rest } r

Der Rest $r$ sagt dir, welches Element des Blocks es ist; Rest $0$ bedeutet das letzte Element

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Differenzen prüfen

10. Glied eines Additionsmusters

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