Syllogismen

Ein **Syllogismus** ist ein deduktives Argument mit genau zwei Prämissen und einer Schlussfolgerung. Ein **kategorischer Syllogismus** spricht über Gruppen und verwendet genau drei Begriffe: - den **Unterbegriff** $S$: das Subjekt der Schlussfolgerung - den **Oberbegriff** $P$: das Prädikat der Schlussfolgerung - den **Mittelbegriff** $M$: er kommt in beiden Prämissen vor, aber nie in der Schlussfolgerung Die Prämisse mit $P$ heißt **Obersatz**, die Prämisse mit $S$ heißt **Untersatz**. Jede Aussage in einem kategorischen Syllogismus hat eine von vier Formen (die Buchstaben A, E, I, O sind die traditionellen Kürzel, aus den lateinischen Wörtern *affirmo*, ich bejahe, und *nego*, ich verneine: A und I bejahen, E und O verneinen): | Kürzel | Aussage | Was sie über die Gruppen sagt | |---|---|---| | A | Alle $S$ sind $P$ | kein Element von $S$ liegt außerhalb von $P$ | | E | Kein $S$ ist $P$ | $S$ und $P$ haben kein gemeinsames Element | | I | Einige $S$ sind $P$ | mindestens ein Element liegt in $S$ und in $P$ | | O | Einige $S$ sind nicht $P$ | mindestens ein Element von $S$ liegt außerhalb von $P$ | **Gültigkeit mit einem Venn-Diagramm prüfen.** Zeichne drei sich überschneidende Kreise $S$, $M$ und $P$. Sie bilden 8 Bereiche: | Bereich | Innerhalb | Außerhalb | |---|---|---| | 1 | $S$ | $M$, $P$ | | 2 | $M$ | $S$, $P$ | | 3 | $P$ | $S$, $M$ | | 4 | $S$, $M$ | $P$ | | 5 | $S$, $P$ | $M$ | | 6 | $M$, $P$ | $S$ | | 7 | $S$, $M$, $P$ | keiner | | 8 | keiner | $S$, $M$, $P$ | Schraffiere (markiere als leer) zuerst jeden Bereich, den eine Prämisse mit alle oder kein ausschließt. Setze dann für jede Prämisse mit einige ein x, aber nur dort, wo das x in genau einen Bereich gezwungen wird. Der Syllogismus ist **gültig**, wenn das fertige Diagramm die Schlussfolgerung bereits zeigt, ohne dass du noch etwas einzeichnest. **Klassische gültige Form:** $$\text{Alle } M \text{ sind } P,\quad \text{alle } S \text{ sind } M \quad\Rightarrow\quad \text{alle } S \text{ sind } P$$ Dieselbe Kette funktioniert auch für Wenn-dann-Aussagen. Das ist der **hypothetische Syllogismus** (Kettenschluss): $$p \to q,\quad q \to r \quad\Rightarrow\quad p \to r$$

Teile eines Syllogismus, und gültig heißt nicht wahr

Alle Vögel können fliegen. Alle Pinguine sind Vögel. Also können alle Pinguine fliegen. Nenne die drei Begriffe und die beiden Prämissen. Ist das Argument gültig? Ist die Schlussfolgerung wahr?

Finde Unter- und Oberbegriff in der Schlussfolgerung: Schlussfolgerung: Alle Pinguine (Subjekt) sind Tiere, die fliegen können (Prädikat) = $S$ = Pinguine, $P$ = Tiere, die fliegen können

Finde den Mittelbegriff: Der Begriff, der in beiden Prämissen, aber nicht in der Schlussfolgerung steht, ist Vögel = $M$ = Vögel

Benenne die Prämissen: Alle Vögel können fliegen enthält $P$; alle Pinguine sind Vögel enthält $S$ = Obersatz: Alle Vögel können fliegen. Untersatz: Alle Pinguine sind Vögel.

Schreibe die Form mit Buchstaben: Alle $M$ sind $P$, alle $S$ sind $M$, also sind alle $S$ $P$ = Die klassische gültige Form: Das Argument ist gültig

Prüfe, ob die Prämissen wahr sind: Der Obersatz ist falsch: Pinguine und Strauße sind Vögel, die nicht fliegen können = Gültig, aber nicht stichhaltig, und die Schlussfolgerung ist falsch

Answer: $S$ = Pinguine, $P$ = Tiere, die fliegen können, $M$ = Vögel. Das Argument ist gültig (richtige Form), aber der Obersatz ist falsch. Es ist also nicht stichhaltig, und seine Schlussfolgerung ist falsch.

Eine gültige Form mit dem Venn-Diagramm prüfen

Kein Fisch ist ein Säugetier. Alle Haie sind Fische. Also ist kein Hai ein Säugetier. Prüfe das Argument mit dem Diagramm mit 8 Bereichen.

Ordne die Buchstaben zu: Schlussfolgerung: Kein Hai ist ein Säugetier = $S$ = Haie, $P$ = Säugetiere, $M$ = Fische

Schraffiere für kein $M$ ist $P$: Die Überschneidung von $M$ und $P$ sind die Bereiche 6 und 7 = Die Bereiche 6 und 7 sind leer

Schraffiere für alle $S$ sind $M$: Der Teil von $S$ außerhalb von $M$ sind die Bereiche 1 und 5 = Die Bereiche 1 und 5 sind leer

Lies die Schlussfolgerung kein $S$ ist $P$ ab: Die Überschneidung von $S$ und $P$ sind die Bereiche 5 und 7, und beide sind schon schraffiert = Das Diagramm zeigt die Schlussfolgerung

Answer: Das Argument ist gültig: Nach dem Schraffieren der Bereiche 1, 5, 6 und 7 ist die ganze Überschneidung von Haien und Säugetieren (Bereiche 5 und 7) leer.

Der nicht verteilte Mittelbegriff

Alle Quadrate sind Parallelogramme. Alle Rechtecke sind Parallelogramme. Also sind alle Rechtecke Quadrate. Finde den Fehler.

Ordne die Buchstaben zu: Schlussfolgerung: Alle Rechtecke sind Quadrate = $S$ = Rechtecke, $P$ = Quadrate, $M$ = Parallelogramme

Schraffiere für alle $P$ sind $M$: Der Teil von $P$ außerhalb von $M$ sind die Bereiche 3 und 5 = Die Bereiche 3 und 5 sind leer

Schraffiere für alle $S$ sind $M$: Der Teil von $S$ außerhalb von $M$ sind die Bereiche 1 und 5 = Die Bereiche 1 und 5 sind leer

Lies die Schlussfolgerung alle $S$ sind $P$ ab: Dafür müssten die Bereiche 1 und 4 leer sein, aber Bereich 4 ist nicht schraffiert = Das Diagramm zeigt die Schlussfolgerung nicht

Gib ein Gegenbeispiel für Bereich 4 an: Ein Rechteck mit den Seiten $4$ und $2$ ist ein Parallelogramm, aber kein Quadrat = Ungültig: nicht verteilter Mittelbegriff

Answer: Ungültig. Beide Prämissen sagen nur, dass Quadrate und Rechtecke irgendwo innerhalb der Parallelogramme liegen; sie verbinden Quadrate und Rechtecke nie miteinander. Dieser Fehler heißt nicht verteilter Mittelbegriff.

Ein Syllogismus mit einige

Alle Mitglieder des Schachclubs sind gut im Rätsellösen. Einige Schüler der Klasse 9B sind Mitglieder des Schachclubs. Welche Schlussfolgerung folgt: alle Schüler der 9B sind gut im Rätsellösen, oder einige Schüler der 9B sind gut im Rätsellösen?

Ordne die Buchstaben zu: $S$ = Schüler der 9B, $P$ = gut im Rätsellösen, $M$ = Mitglieder des Schachclubs = Prämissen: Alle $M$ sind $P$, einige $S$ sind $M$

Schraffiere zuerst die Prämisse mit alle: Alle $M$ sind $P$: Der Teil von $M$ außerhalb von $P$ sind die Bereiche 2 und 4 = Die Bereiche 2 und 4 sind leer

Setze das x für einige $S$ sind $M$: Die Überschneidung von $S$ und $M$ sind die Bereiche 4 und 7, und Bereich 4 ist schraffiert = Das x muss in Bereich 7

Prüfe einige $S$ sind $P$: Bereich 7 liegt sowohl in $S$ als auch in $P$ = Einige $S$ sind $P$ wird gezeigt

Prüfe alle $S$ sind $P$: Dafür müssten die Bereiche 1 und 4 leer sein, aber Bereich 1 ist nicht schraffiert = Alle $S$ sind $P$ wird nicht gezeigt

Answer: Nur "einige Schüler der 9B sind gut im Rätsellösen" folgt. Über die Schüler der 9B außerhalb des Schachclubs sagen die Prämissen nichts.

Der Kettenschluss für Wenn-dann-Aussagen

Prämissen: Wenn $n$ durch $12$ teilbar ist, dann ist $n$ durch $6$ teilbar. Wenn $n$ durch $6$ teilbar ist, dann ist $n$ durch $3$ teilbar. Wenn $n$ durch $3$ teilbar ist, dann ist die Quersumme von $n$ durch $3$ teilbar. Was folgt daraus, und was sagt es über $n = 84$ und über $n = 98$?

Benenne die Aussagen: $p$: durch $12$ teilbar, $q$: durch $6$ teilbar, $r$: durch $3$ teilbar, $s$: Quersumme durch $3$ teilbar = $p \to q$, $q \to r$, $r \to s$

Verknüpfe die ersten beiden: $p \to q$ und $q \to r$ = $p \to r$

Verknüpfe das Ergebnis mit der dritten Prämisse: $p \to r$ und $r \to s$ = $p \to s$

Prüfe $n = 84$: $84 = 12 \times 7$, und die Quersumme ist $8 + 4 = 12 = 3 \times 4$ = Wie vorhergesagt ist die Quersumme durch $3$ teilbar

Nutze die Kontraposition für $n = 98$: Die Quersumme $9 + 8 = 17$ ist nicht durch $3$ teilbar, und $\neg s \to \neg p$ = $98$ ist nicht durch $12$ teilbar

Answer: Wenn $n$ durch $12$ teilbar ist, dann ist die Quersumme von $n$ durch $3$ teilbar ($p \to s$). Für $84$ stimmt das ($8 + 4 = 12$). Da $98$ die Quersumme $17$ hat, zeigt die Kontraposition, dass $98$ nicht durch $12$ teilbar ist.

Syllogismen sind die kleinsten Bausteine jedes logischen Beweises, und sie stecken in vielen alltäglichen Argumenten: - **Geometriebeweise**: Jedes Quadrat ist ein Rechteck und jedes Rechteck ist ein Parallelogramm, also ist jedes Quadrat ein Parallelogramm. Lange Beweise sind Ketten solcher Schritte. - **Suchfilter und Datenbanken**: Wenn jeder Artikel mit dem Etikett wasserdicht auch das Etikett Outdoor trägt, enthält eine Suche nach Outdoor-Artikeln bereits alle wasserdichten Artikel. - **Regeln und Gesetze**: Eine Regel (alle Besucher unter 12 brauchen eine erwachsene Begleitung) und eine Tatsache (Mia ist eine Besucherin unter 12) ergeben eine Schlussfolgerung über Mia. - **Programmieren**: Wenn jedes Square-Objekt ein Shape ist, dann kannst du alles, was mit einem Shape geht, auch mit einem Square machen. - **Schlechte Argumente erkennen**: Werbung und Debatten benutzen oft ungültige Formen wie "alle gesunden Snacks sind fettarm, unser Keks ist fettarm, also ist unser Keks gesund". Wer die Formen kennt, sieht die Lücke sofort. Ein Venn-Diagramm macht aus einer Frage über Wörter eine Frage über schraffierte Bereiche. So kannst du ein Argument prüfen, statt dich darauf zu verlassen, wie es klingt.

Mistake: Ein Argument gültig nennen, weil seine Schlussfolgerung wahr ist

Why: Gültigkeit hängt von der Form ab, nicht von den Tatsachen. "Alle Rosen sind Blumen. Einige Blumen verwelken schnell. Also verwelken einige Rosen schnell." hat eine glaubwürdige Schlussfolgerung, aber die Form ist ungültig: Die schnell verwelkenden Blumen könnten alle Tulpen sein.

Correct: Ersetze die Wörter durch $S$, $M$, $P$ und prüfe die Form mit dem Venn-Diagramm. Erst danach fragst du, ob die Prämissen wahr sind.

Mistake: Zwei Gruppen über einen Mittelbegriff verbinden, der nur als "sind $M$" vorkommt (nicht verteilter Mittelbegriff)

Why: Alle $S$ sind $M$ und alle $P$ sind $M$ setzen $S$ und $P$ nur irgendwo in $M$. Sie können in ganz verschiedenen Teilen von $M$ liegen, wie Katzen und Hunde innerhalb der Säugetiere.

Correct: Der Mittelbegriff muss mindestens einmal seine ganze Gruppe erfassen: Er muss Subjekt einer Aussage mit alle oder kein sein oder Prädikat einer Aussage mit kein oder einige nicht.

Mistake: Aus zwei Prämissen mit einige etwas folgern

Why: Einige $S$ sind $M$ und einige $M$ sind $P$ können von verschiedenen Elementen von $M$ handeln. Mit $S = \{1, 2\}$, $M = \{2, 3\}$, $P = \{3, 4\}$ sind beide Prämissen wahr, aber kein Element von $S$ liegt in $P$.

Correct: Mindestens eine Prämisse muss allgemein sein (alle oder kein). Aus zwei partikulären Prämissen oder aus zwei verneinten Prämissen folgt nie etwas.

Mistake: Eine Aussage mit alle umdrehen

Why: Alle Quadrate sind Rechtecke heißt nicht, dass alle Rechtecke Quadrate sind. Im Diagramm leert alle $S$ sind $P$ nur den Teil von $S$ außerhalb von $P$; der Teil von $P$ außerhalb von $S$ kann weiterhin Elemente haben.

Correct: Aussagen mit kein und einige darf man umdrehen (kein $S$ ist $P$ bedeutet kein $P$ ist $S$; einige $S$ sind $P$ bedeutet einige $P$ sind $S$), Aussagen mit alle und einige nicht dagegen nicht.

Schul-AGs und Umfragen

Wenn eine Schule AG-Mitglieder zählt, zeigen Aussagen wie "alle Mitglieder der Robotik-AG sind in der Mathe-AG", welche Bereiche des Venn-Diagramms leer sind. So zählst du niemanden doppelt.

Kein Mitglied der Theater-AG ist in der Mathe-AG, und alle Mitglieder der Robotik-AG sind in der Mathe-AG. Nach dem Syllogismus (kein $M$ ist $P$, alle $S$ sind $M$) ist kein Mitglied der Robotik-AG in der Theater-AG.

Suchfilter in Onlineshops

Shopkategorien bilden Gruppen in Gruppen. Wenn jeder wasserdichte Artikel auch ein Outdoor-Artikel ist, enthält der Filter Outdoor bereits jeden wasserdichten Artikel. Hier arbeitet der Syllogismus alle $S$ sind $M$, alle $M$ sind $P$.

Alle Regenjacken im Shop sind wasserdichte Artikel, und alle wasserdichten Artikel sind Outdoor-Artikel. Also erscheinen alle Regenjacken im Outdoor-Filter.

E-Mail-Filter und Regelketten

E-Mail-Programme folgen Ketten von Wenn-dann-Regeln. Der hypothetische Syllogismus ($p \to q$, $q \to r$, also $p \to r$) sagt dir, wo eine Nachricht landet, ohne dass du jede Regel einzeln durchgehst.

Wenn eine E-Mail einen Link von einem unbekannten Absender enthält, wird sie markiert. Wenn eine E-Mail markiert ist, kommt sie in die Quarantäne. Also kommt jede E-Mail mit einem Link von einem unbekannten Absender in die Quarantäne.

Ein Syllogismus hat zwei Prämissen und eine Schlussfolgerung; ein kategorischer Syllogismus benutzt drei Begriffe: Unterbegriff $S$, Oberbegriff $P$ und Mittelbegriff $M$

Die vier Aussagetypen sind A (alle $S$ sind $P$), E (kein $S$ ist $P$), I (einige $S$ sind $P$) und O (einige $S$ sind nicht $P$)

Zum Prüfen der Gültigkeit schraffierst du die Bereiche, die Prämissen mit alle und kein leeren, setzt ein x für Prämissen mit einige und prüfst, ob das Diagramm die Schlussfolgerung schon zeigt

Alle $M$ sind $P$, alle $S$ sind $M$, also alle $S$ sind $P$ ist gültig; alle $S$ sind $M$, alle $P$ sind $M$, also alle $S$ sind $P$ ist ungültig (nicht verteilter Mittelbegriff)

Gültig bedeutet, dass die Schlussfolgerung wahr sein muss, wenn die Prämissen wahr sind; stichhaltig bedeutet gültig mit wahren Prämissen

Der hypothetische Syllogismus (Kettenschluss) verknüpft Wenn-dann-Aussagen: aus $p \to q$ und $q \to r$ folgt $p \to r$

Q: Kann ein gültiger Syllogismus eine falsche Schlussfolgerung haben?

A: Ja, wenn mindestens eine Prämisse falsch ist. "Alle Vögel können fliegen, alle Pinguine sind Vögel, also können alle Pinguine fliegen" ist gültig, hat aber eine falsche Schlussfolgerung. Unmöglich ist nur ein gültiges Argument mit wahren Prämissen und falscher Schlussfolgerung.

Q: Bedeutet "einige" so viel wie "nicht alle"?

A: Nein. In der Logik bedeutet einige $S$ sind $P$, dass mindestens ein $S$ ein $P$ ist, und die Aussage bleibt wahr, wenn alle $S$ $P$ sind. Aus einige $S$ sind $P$ folgt nicht einige $S$ sind nicht $P$.

Q: Darf ich aus alle $M$ sind $P$ und alle $S$ sind $M$ folgern, dass einige $S$ $P$ sind?

A: Nur wenn du weißt, dass $S$ mindestens ein Element hat. In der modernen Logik behauptet alle $S$ sind $P$ nicht, dass es überhaupt ein $S$ gibt (alle Einhörner sind Tiere ist wahr, obwohl es keine Einhörner gibt). Das Venn-Diagramm zeigt das: Die Prämissen schraffieren Bereiche, setzen aber kein x.

Q: Wie viele gültige kategorische Syllogismen gibt es?

A: Jede der drei Aussagen hat einen der vier Typen ($4 \times 4 \times 4 = 64$ Kombinationen), und der Mittelbegriff kann an vier verschiedenen Stellen stehen. Das ergibt $64 \times 4 = 256$ Formen. Nur $15$ davon sind in der modernen Logik gültig ($24$, wenn man annimmt, dass jede Gruppe mindestens ein Element hat). Deshalb ist eine Prüfung mit dem Diagramm sicherer, als sich darauf zu verlassen, wie ein Argument klingt.

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Logik & Mengen / Logisches Denken

Syllogismen

Lerne die vier kategorischen Aussagen und die Teile eines Syllogismus kennen und prüfe die Gültigkeit mit Venn-Diagrammen und dem Kettenschluss.

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