Bedeutet "einige" so viel wie "nicht alle"?

Nein. In der Logik bedeutet einige $S$ sind $P$, dass mindestens ein $S$ ein $P$ ist, und die Aussage bleibt wahr, wenn alle $S$ $P$ sind. Aus einige $S$ sind $P$ folgt nicht einige $S$ sind nicht $P$.

Darf ich aus alle $M$ sind $P$ und alle $S$ sind $M$ folgern, dass einige $S$ $P$ sind?

Nur wenn du weißt, dass $S$ mindestens ein Element hat. In der modernen Logik behauptet alle $S$ sind $P$ nicht, dass es überhaupt ein $S$ gibt (alle Einhörner sind Tiere ist wahr, obwohl es keine Einhörner gibt). Das Venn-Diagramm zeigt das: Die Prämissen schraffieren Bereiche, setzen aber kein x.

Wie viele gültige kategorische Syllogismen gibt es?

Jede der drei Aussagen hat einen der vier Typen ($4 \times 4 \times 4 = 64$ Kombinationen), und der Mittelbegriff kann an vier verschiedenen Stellen stehen. Das ergibt $64 \times 4 = 256$ Formen. Nur $15$ davon sind in der modernen Logik gültig ($24$, wenn man annimmt, dass jede Gruppe mindestens ein Element hat). Deshalb ist eine Prüfung mit dem Diagramm sicherer, als sich darauf zu verlassen, wie ein Argument klingt.

Lehrermaterialien

Syllogismen

Lerne die vier kategorischen Aussagen und die Teile eines Syllogismus kennen und prüfe die Gültigkeit mit Venn-Diagrammen und dem Kettenschluss.

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Definition

Ein Syllogismus ist ein deduktives Argument mit genau zwei Prämissen und einer Schlussfolgerung. Ein kategorischer Syllogismus spricht über Gruppen und verwendet genau drei Begriffe:

den Unterbegriff $S$ : das Subjekt der Schlussfolgerung
den Oberbegriff $P$ : das Prädikat der Schlussfolgerung
den Mittelbegriff $M$ : er kommt in beiden Prämissen vor, aber nie in der Schlussfolgerung

Die Prämisse mit

P

heißt Obersatz, die Prämisse mit

S

heißt Untersatz.

Jede Aussage in einem kategorischen Syllogismus hat eine von vier Formen (die Buchstaben A, E, I, O sind die traditionellen Kürzel, aus den lateinischen Wörtern *affirmo*, ich bejahe, und *nego*, ich verneine: A und I bejahen, E und O verneinen):

Kürzel	Aussage	Was sie über die Gruppen sagt
A	Alle $S$ sind $P$	kein Element von $S$ liegt außerhalb von $P$
E	Kein $S$ ist $P$	$S$ und $P$ haben kein gemeinsames Element
I	Einige $S$ sind $P$	mindestens ein Element liegt in $S$ und in $P$
O	Einige $S$ sind nicht $P$	mindestens ein Element von $S$ liegt außerhalb von $P$

Gültigkeit mit einem Venn-Diagramm prüfen. Zeichne drei sich überschneidende Kreise

S

M

und

P

. Sie bilden 8 Bereiche:

Bereich	Innerhalb	Außerhalb
1	$S$	$M$ , $P$
2	$M$	$S$ , $P$
3	$P$	$S$ , $M$
4	$S$ , $M$	$P$
5	$S$ , $P$	$M$
6	$M$ , $P$	$S$
7	$S$ , $M$ , $P$	keiner
8	keiner	$S$ , $M$ , $P$

Schraffiere (markiere als leer) zuerst jeden Bereich, den eine Prämisse mit alle oder kein ausschließt. Setze dann für jede Prämisse mit einige ein x, aber nur dort, wo das x in genau einen Bereich gezwungen wird. Der Syllogismus ist gültig, wenn das fertige Diagramm die Schlussfolgerung bereits zeigt, ohne dass du noch etwas einzeichnest.

Klassische gültige Form:

\text{Alle } M \text{ sind } P,\quad \text{alle } S \text{ sind } M \quad\Rightarrow\quad \text{alle } S \text{ sind } P

Dieselbe Kette funktioniert auch für Wenn-dann-Aussagen. Das ist der hypothetische Syllogismus (Kettenschluss):

p \to q,\quad q \to r \quad\Rightarrow\quad p \to r

Probier es gleich aus

Alle Rechtecke sind Parallelogramme. Alle Quadrate sind Rechtecke. Also sind alle Quadrate Parallelogramme. Was ist der Mittelbegriff?

Lösungsbeispiele

Alle Vögel können fliegen. Alle Pinguine sind Vögel. Also können alle Pinguine fliegen. Nenne die drei Begriffe und die beiden Prämissen. Ist das Argument gültig? Ist die Schlussfolgerung wahr?

Finde Unter- und Oberbegriff in der Schlussfolgerung

Schlussfolgerung: Alle Pinguine (Subjekt) sind Tiere, die fliegen können (Prädikat) → $S$ = Pinguine, $P$ = Tiere, die fliegen können

Finde den Mittelbegriff

Der Begriff, der in beiden Prämissen, aber nicht in der Schlussfolgerung steht, ist Vögel → $M$ = Vögel

Benenne die Prämissen

Alle Vögel können fliegen enthält $P$ ; alle Pinguine sind Vögel enthält $S$ → Obersatz: Alle Vögel können fliegen. Untersatz: Alle Pinguine sind Vögel.

Schreibe die Form mit Buchstaben

Alle $M$ sind $P$ , alle $S$ sind $M$ , also sind alle $S$ $P$ → Die klassische gültige Form: Das Argument ist gültig

Prüfe, ob die Prämissen wahr sind

Der Obersatz ist falsch: Pinguine und Strauße sind Vögel, die nicht fliegen können → Gültig, aber nicht stichhaltig, und die Schlussfolgerung ist falsch

Antwort: $S$ = Pinguine, $P$ = Tiere, die fliegen können, $M$ = Vögel. Das Argument ist gültig (richtige Form), aber der Obersatz ist falsch. Es ist also nicht stichhaltig, und seine Schlussfolgerung ist falsch.

Häufige Fehler

Ein Argument gültig nennen, weil seine Schlussfolgerung wahr ist

Warum es falsch ist: Gültigkeit hängt von der Form ab, nicht von den Tatsachen. "Alle Rosen sind Blumen. Einige Blumen verwelken schnell. Also verwelken einige Rosen schnell." hat eine glaubwürdige Schlussfolgerung, aber die Form ist ungültig: Die schnell verwelkenden Blumen könnten alle Tulpen sein.

Richtig: Ersetze die Wörter durch $S$ , $M$ , $P$ und prüfe die Form mit dem Venn-Diagramm. Erst danach fragst du, ob die Prämissen wahr sind.

Zwei Gruppen über einen Mittelbegriff verbinden, der nur als "sind $M$ " vorkommt (nicht verteilter Mittelbegriff)

Warum es falsch ist: Alle $S$ sind $M$ und alle $P$ sind $M$ setzen $S$ und $P$ nur irgendwo in $M$ . Sie können in ganz verschiedenen Teilen von $M$ liegen, wie Katzen und Hunde innerhalb der Säugetiere.

Richtig: Der Mittelbegriff muss mindestens einmal seine ganze Gruppe erfassen: Er muss Subjekt einer Aussage mit alle oder kein sein oder Prädikat einer Aussage mit kein oder einige nicht.

Aus zwei Prämissen mit einige etwas folgern

Warum es falsch ist: Einige $S$ sind $M$ und einige $M$ sind $P$ können von verschiedenen Elementen von $M$ handeln. Mit $S = \{1, 2\}$ , $M = \{2, 3\}$ , $P = \{3, 4\}$ sind beide Prämissen wahr, aber kein Element von $S$ liegt in $P$ .

Richtig: Mindestens eine Prämisse muss allgemein sein (alle oder kein). Aus zwei partikulären Prämissen oder aus zwei verneinten Prämissen folgt nie etwas.

Eine Aussage mit alle umdrehen

Warum es falsch ist: Alle Quadrate sind Rechtecke heißt nicht, dass alle Rechtecke Quadrate sind. Im Diagramm leert alle $S$ sind $P$ nur den Teil von $S$ außerhalb von $P$ ; der Teil von $P$ außerhalb von $S$ kann weiterhin Elemente haben.

Richtig: Aussagen mit kein und einige darf man umdrehen (kein $S$ ist $P$ bedeutet kein $P$ ist $S$ ; einige $S$ sind $P$ bedeutet einige $P$ sind $S$ ), Aussagen mit alle und einige nicht dagegen nicht.

Interaktive Visualisierung

Venn-Diagramm

Prämissen

EKeine Fische sind Säugetiere
AAlle Haie sind Fische

= leer (keine Elemente)x= mindestens ein Element

Schlussfolgerung

E∴ Keine Haie sind Säugetiere

Tippe auf einen Bereich, um ihn zu schraffieren (schraffiert heißt leer).

Venn-Diagramm

Prämissen

AAlle Quadrate sind Parallelogramme
AAlle Rechtecke sind Parallelogramme

= leer (keine Elemente)x= mindestens ein Element

Schlussfolgerung

A∴ Alle Rechtecke sind Quadrate

Tippe auf einen Bereich, um ihn zu schraffieren (schraffiert heißt leer).

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Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Alle Rechtecke sind Parallelogramme. Alle Quadrate sind Rechtecke. Also sind alle Quadrate Parallelogramme. Was ist der Mittelbegriff?

Übungsaufgaben: Syllogismen

1. Alle Rechtecke sind Parallelogramme. Alle Quadrate sind Rechtecke. Also sind alle Quadrate Parallelogramme. Was ist der Mittelbegriff?
2. Ein Venn-Diagramm hat drei sich überschneidende Kreise S, M und P. Wie viele Bereiche hat es, wenn du den Bereich außerhalb aller drei Kreise mitzählst?
3. Zur Erinnerung: A = alle S sind P, E = kein S ist P, I = einige S sind P, O = einige S sind nicht P. Welche Liste gibt die Kürzel dieser vier Aussagen in der richtigen Reihenfolge an? (1) Einige Rechtecke sind keine Quadrate. (2) Alle Quadrate sind Rechtecke. (3) Einige Rechtecke sind Quadrate. (4) Kein Dreieck ist ein Quadrat.
4. Alle 14 Mitglieder des Schachclubs sind auch in der Mathe-AG. Die Mathe-AG hat 25 Mitglieder. Wie viele Mitglieder der Mathe-AG sind nicht im Schachclub?
5. Keine Primzahl größer als 2 ist gerade. Alle Zahlen der Menge T sind Primzahlen größer als 2. Welche Schlussfolgerung folgt?
6. Alle Vielfachen von 6 sind Vielfache von 3. Alle Vielfachen von 12 sind Vielfache von 6. Also sind alle Vielfachen von 12 Vielfache von 3. Bestimme den Mittelbegriff und verfolge dann die Zahl 60 (ein Vielfaches von 12) durch die Kette. Was ist 60 ÷ 3?
7. Alle Dichter sind Träumer. Einige Träumer sind Ingenieure. Also sind einige Dichter Ingenieure. Wie beurteilst du dieses Argument?
8. Eine Klasse hat 60 Schüler. Kein Mitglied des Schwimmteams ist im Fußballteam. Das Schwimmteam hat 16 Mitglieder und das Fußballteam 22. Wie viele Schüler sind in keinem der beiden Teams?
9. Eine Klasse hat 32 Schüler. Alle 8 Mitglieder des Schachclubs sind in der Mathe-AG, die 15 Mitglieder hat. Kein Mitglied der Mathe-AG ist in der Theater-AG, die 10 Mitglieder hat. Wie viele Schüler sind in keiner der drei Gruppen?
10. Alle Vielfachen von 4 sind gerade. Alle Vielfachen von 6 sind gerade. Also sind alle Vielfachen von 6 Vielfache von 4. Zeige mit einem Gegenbeispiel, dass das Argument ungültig ist. Was ist das kleinste positive Vielfache von 6, das kein Vielfaches von 4 ist?
11. Alle Vielfachen von 4 sind Vielfache von 8. 12 ist ein Vielfaches von 4. Also ist 12 ein Vielfaches von 8. Welche Beschreibung ist richtig?
12. Ein Orchester hat 24 Mitglieder. Alle 9 Schüler, die Geige spielen, sind im Orchester. 4 der Geiger singen im Chor, und 7 andere Orchestermitglieder singen auch im Chor. Wie viele Orchestermitglieder singen nicht im Chor?
13. Prüfe den Syllogismus kein M ist P, einige S sind M, also sind einige S nicht P mit dem Diagramm mit 8 Bereichen (Bereich 4 = nur in S und M, Bereich 6 = nur in M und P, Bereich 7 = in allen dreien). Welches Kürzel hat die Schlussfolgerung?
14. Im Venn-Diagramm mit drei Kreisen für S, M und P schraffierst du die Prämissen alle S sind M und kein M ist P. Wie viele der 8 Bereiche sind insgesamt schraffiert?
15. Die Aussagen p → q und q → r sind wahr, und r ist falsch. Welche Aussage muss wahr sein?
16. Prämissen: Wenn n durch 20 teilbar ist, dann ist n durch 10 teilbar. Wenn n durch 10 teilbar ist, dann ist die letzte Ziffer von n eine 0. Wenn die letzte Ziffer von n eine 0 ist, dann ist n durch 5 teilbar. Der Kettenschluss ergibt: Wenn n durch 20 teilbar ist, dann ist n durch 5 teilbar. Prüfe das mit n = 140 und zeige dann, dass die Umkehrung nicht folgt. Was ist die kleinste positive Zahl, die durch 5, aber nicht durch 20 teilbar ist?
17. Ein Sportverein hat 70 Mitglieder, und 45 davon schwimmen. Alle 20 Tennisspieler sind Schwimmer. 12 Tennisspieler laufen auch, 8 Schwimmer, die kein Tennis spielen, laufen, und 15 Mitglieder, die nicht schwimmen, laufen. Wie viele Mitglieder schwimmen nicht und laufen auch nicht?
18. Zeige, dass einige S sind M, einige M sind P, also einige S sind P ungültig ist. Nimm S = \{1, 2\}, M = \{2, 3\} und P = \{3, 4\}. Wie viele gemeinsame Elemente haben S und P?

Warum es wichtig ist

Syllogismen sind die kleinsten Bausteine jedes logischen Beweises, und sie stecken in vielen alltäglichen Argumenten:

Geometriebeweise: Jedes Quadrat ist ein Rechteck und jedes Rechteck ist ein Parallelogramm, also ist jedes Quadrat ein Parallelogramm. Lange Beweise sind Ketten solcher Schritte.
Suchfilter und Datenbanken: Wenn jeder Artikel mit dem Etikett wasserdicht auch das Etikett Outdoor trägt, enthält eine Suche nach Outdoor-Artikeln bereits alle wasserdichten Artikel.
Regeln und Gesetze: Eine Regel (alle Besucher unter 12 brauchen eine erwachsene Begleitung) und eine Tatsache (Mia ist eine Besucherin unter 12) ergeben eine Schlussfolgerung über Mia.
Programmieren: Wenn jedes Square-Objekt ein Shape ist, dann kannst du alles, was mit einem Shape geht, auch mit einem Square machen.
Schlechte Argumente erkennen: Werbung und Debatten benutzen oft ungültige Formen wie "alle gesunden Snacks sind fettarm, unser Keks ist fettarm, also ist unser Keks gesund". Wer die Formen kennt, sieht die Lücke sofort.

Ein Venn-Diagramm macht aus einer Frage über Wörter eine Frage über schraffierte Bereiche. So kannst du ein Argument prüfen, statt dich darauf zu verlassen, wie es klingt.

Anwendungen im echten Leben

Schul-AGs und Umfragen

Wenn eine Schule AG-Mitglieder zählt, zeigen Aussagen wie "alle Mitglieder der Robotik-AG sind in der Mathe-AG", welche Bereiche des Venn-Diagramms leer sind. So zählst du niemanden doppelt.

Beispiel:

Kein Mitglied der Theater-AG ist in der Mathe-AG, und alle Mitglieder der Robotik-AG sind in der Mathe-AG. Nach dem Syllogismus (kein $M$ ist $P$ , alle $S$ sind $M$ ) ist kein Mitglied der Robotik-AG in der Theater-AG.

1Probiere es selbst

Eine Klasse hat $50$ Schüler. Alle $12$ Mitglieder der Robotik-AG sind in der Mathe-AG, die $30$ Mitglieder hat. Kein Mitglied der Theater-AG ( $9$ Schüler) ist in der Mathe-AG.

Wie viele Schüler sind in keiner der drei AGs?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Anzahl der Schüler ohne AG als einen Term:

Suchfilter in Onlineshops

Shopkategorien bilden Gruppen in Gruppen. Wenn jeder wasserdichte Artikel auch ein Outdoor-Artikel ist, enthält der Filter Outdoor bereits jeden wasserdichten Artikel. Hier arbeitet der Syllogismus alle $S$ sind $M$, alle $M$ sind $P$.

Beispiel:

Alle Regenjacken im Shop sind wasserdichte Artikel, und alle wasserdichten Artikel sind Outdoor-Artikel. Also erscheinen alle Regenjacken im Outdoor-Filter.

2Probiere es selbst

Ein Shop hat $120$ Outdoor-Artikel. Alle $45$ wasserdichten Artikel sind Outdoor-Artikel. $18$ der wasserdichten Artikel sind im Angebot, und $10$ Outdoor-Artikel, die nicht wasserdicht sind, sind im Angebot.

Wie viele Outdoor-Artikel sind im Angebot, und wie viele Outdoor-Artikel sind weder wasserdicht noch im Angebot?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Anzahl der Outdoor-Artikel im Angebot als Summe:

E-Mail-Filter und Regelketten

E-Mail-Programme folgen Ketten von Wenn-dann-Regeln. Der hypothetische Syllogismus ($p \to q$, $q \to r$, also $p \to r$) sagt dir, wo eine Nachricht landet, ohne dass du jede Regel einzeln durchgehst.

Beispiel:

Wenn eine E-Mail einen Link von einem unbekannten Absender enthält, wird sie markiert. Wenn eine E-Mail markiert ist, kommt sie in die Quarantäne. Also kommt jede E-Mail mit einem Link von einem unbekannten Absender in die Quarantäne.

3Probiere es selbst

Eine Schule bekommt an einem Tag $200$ E-Mails. $35$ davon enthalten einen Link von einem unbekannten Absender, und jede solche E-Mail wird markiert. $15$ andere E-Mails werden wegen eines verdächtigen Anhangs markiert. Jede markierte E-Mail kommt in die Quarantäne, und nur markierte E-Mails kommen dorthin.

Wie viele E-Mails erreichen den Posteingang?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Anzahl der E-Mails im Posteingang als einen Term:

Wichtige Erkenntnisse

1Ein Syllogismus hat zwei Prämissen und eine Schlussfolgerung; ein kategorischer Syllogismus benutzt drei Begriffe: Unterbegriff $S$ , Oberbegriff $P$ und Mittelbegriff $M$
2Die vier Aussagetypen sind A (alle $S$ sind $P$ ), E (kein $S$ ist $P$ ), I (einige $S$ sind $P$ ) und O (einige $S$ sind nicht $P$ )
3Zum Prüfen der Gültigkeit schraffierst du die Bereiche, die Prämissen mit alle und kein leeren, setzt ein x für Prämissen mit einige und prüfst, ob das Diagramm die Schlussfolgerung schon zeigt
4Alle $M$ sind $P$ , alle $S$ sind $M$ , also alle $S$ sind $P$ ist gültig; alle $S$ sind $M$ , alle $P$ sind $M$ , also alle $S$ sind $P$ ist ungültig (nicht verteilter Mittelbegriff)
5Gültig bedeutet, dass die Schlussfolgerung wahr sein muss, wenn die Prämissen wahr sind; stichhaltig bedeutet gültig mit wahren Prämissen
6Der hypothetische Syllogismus (Kettenschluss) verknüpft Wenn-dann-Aussagen: aus $p \to q$ und $q \to r$ folgt $p \to r$

Häufig gestellte Fragen

Ja, wenn mindestens eine Prämisse falsch ist. "Alle Vögel können fliegen, alle Pinguine sind Vögel, also können alle Pinguine fliegen" ist gültig, hat aber eine falsche Schlussfolgerung. Unmöglich ist nur ein gültiges Argument mit wahren Prämissen und falscher Schlussfolgerung.

Glossar

Syllogismus: Ein deduktives Argument mit genau zwei Prämissen und einer Schlussfolgerung
Kategorische Aussage: Eine Aussage der Form alle $S$ sind $P$ , kein $S$ ist $P$ , einige $S$ sind $P$ oder einige $S$ sind nicht $P$
Mittelbegriff: Der Begriff, der in beiden Prämissen, aber nicht in der Schlussfolgerung vorkommt; er verbindet die beiden anderen Begriffe
Obersatz und Untersatz: Der Obersatz enthält das Prädikat $P$ der Schlussfolgerung, der Untersatz ihr Subjekt $S$
Nicht verteilter Mittelbegriff: Eine ungültige Form, in der der Mittelbegriff nie seine ganze Gruppe erfasst, zum Beispiel alle $S$ sind $M$ , alle $P$ sind $M$
Hypothetischer Syllogismus: Der Kettenschluss für Wenn-dann-Aussagen: aus $p \to q$ und $q \to r$ folgt $p \to r$

Formelkarte

Klassische gültige Form

Alle

M

sind

P

, alle

S

sind

M

\Rightarrow

alle

S

sind

P

Der Mittelbegriff verbindet die beiden Gruppen wie eine Kette

Gültige Form mit kein

Kein

M

ist

P

, alle

S

sind

M

\Rightarrow

kein

S

ist

P

Wenn $S$ in $M$ liegt und $M$ nichts mit $P$ gemeinsam hat, dann hat auch $S$ nichts mit $P$ gemeinsam

Gültige Form mit einige

Alle

M

sind

P

, einige

S

sind

M

\Rightarrow

einige

S

sind

P

Das x für einige wird in den Bereich gedrängt, der in $S$, $M$ und $P$ liegt

Nicht verteilter Mittelbegriff (ungültig)

Alle

S

sind

M

, alle

P

sind

M

\not\Rightarrow

alle

S

sind

P

In derselben großen Gruppe zu liegen verbindet zwei kleinere Gruppen nicht

Hypothetischer Syllogismus

p \to q,\ q \to r \Rightarrow p \to r

Ketten von Wenn-dann-Aussagen; mit der Kontraposition auch $\neg r \to \neg p$

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Schul-AGs und Umfragen

Suchfilter in Onlineshops

E-Mail-Filter und Regelketten

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Klassische gültige Form

Gültige Form mit kein

Gültige Form mit einige

Nicht verteilter Mittelbegriff (ungültig)

Hypothetischer Syllogismus

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