Direkter Beweis

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was ist der erste Schritt in einem direkten Beweis?
1. a)Beweis durch Widerspruch verwenden
2. b)Ein Gegenbeispiel finden
3. c)Annehmen, dass die Hypothese wahr ist
4. d)Die Schlussfolgerung direkt beweisen
Lösung: Annehmen, dass die Hypothese wahr ist
Bei einem direkten Beweis beginnen wir damit, anzunehmen, dass die Hypothese (der 'wenn'-Teil) wahr ist, und verwenden dann logische Schritte, um zur Schlussfolgerung zu gelangen.
2.
Nach der Definition kann eine gerade ganze Zahl geschrieben werden als:
1. a) für eine ganze Zahl
2. b) für eine ganze Zahl
3. c) für eine ganze Zahl
4. d) für eine ganze Zahl
Lösung: für eine ganze Zahl
Eine gerade ganze Zahl ist jede ganze Zahl, die durch 2 teilbar ist, also kann sie als geschrieben werden, wobei eine beliebige ganze Zahl ist. Zum Beispiel: , .
3.
Wenn für eine ganze Zahl , ist gerade oder ungerade? Tippe 'gerade' oder 'ungerade'.
Lösung: odd
Der Ausdruck stellt eine ungerade Zahl dar, weil gerade ist (ein Vielfaches von 2) und das Addieren von 1 sie ungerade macht.
4.
Wofür steht QED?
1. a)Ziemlich einfach erledigt
2. b)Jedes Detail hinterfragen
3. c)Quod erat demonstrandum
4. d)Diskussion schnell beenden
Lösung: Quod erat demonstrandum
QED steht für 'quod erat demonstrandum', was Lateinisch für 'was zu beweisen war' ist. Es markiert den erfolgreichen Abschluss eines Beweises.
5.
Wenn und , was ist in Bezug auf und ? Schreibe deine Antwort in der Form .
Lösung: 2(m + n)
. Diese faktorisierte Form zeigt, dass die Summe gerade ist, weil sie 2 mal eine ganze Zahl ist.
6.
Warum ist das Überprüfen von Beispielen nicht dasselbe wie ein Beweis?
1. a)Beispiele dauern zu lange
2. b)Beispiele decken nicht alle unendlich vielen Fälle ab
3. c)Beispiele sind immer falsch
4. d)Beispiele sind schwieriger als Beweise
Lösung: Beispiele decken nicht alle unendlich vielen Fälle ab
Es gibt unendlich viele ganze Zahlen, daher können wir niemals alle Fälle durch Beispiele überprüfen. Ein Beweis mit Variablen und Definitionen deckt alle Fälle auf einmal ab.
7.
Beweise: Wenn gerade ist, dann ist gerade.
Lösung: n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)
1. Schreibe mit der Definition von gerade (in Bezug auf eine ganze Zahl ): n = 2k
2. Quadriere beide Seiten, um zu finden: n^2 = 4k^2
3. Klammere 2 aus, um zu zeigen, dass gerade ist: n^2 = 2(2k^2)
8.
Wenn (ungerade), was ist wenn expandiert? Schreibe in der Form .
Lösung: 4k^2 + 4k + 1
. Dies kann als umgeschrieben werden, was zeigt, dass es ungerade ist.
9.
Beweise: Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade.
Lösung: 2(2jk + j + k) + 1
1. Seien die zwei ungeraden Zahlen und . Finde : (2j + 1)(2k + 1)
2. Expandiere das Produkt: 4jk + 2j + 2k + 1
3. Faktorisiere, um zu zeigen, dass es die Form (ungerade) hat: 2(2jk + j + k) + 1
10.
Was ist Zirkellogik in einem Beweis?
1. a)Mehrmals von vorne anfangen
2. b)Im Kreis gehen beim Schreiben
3. c)Zu viele Schritte verwenden
4. d)Annehmen, was man beweisen will
Lösung: Annehmen, was man beweisen will
Zirkellogik tritt auf, wenn du die Schlussfolgerung (was du beweisen willst) als Teil deiner Argumentation verwendest. Dies macht den Beweis ungültig, weil du eigentlich nichts bewiesen hast.
11.
In der Faktorisierung , wie viele aufeinanderfolgende ganze Zahlen werden miteinander multipliziert?
Lösung: 3
Der Ausdruck faktorisiert sich in drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen: , und . Dies ist der Schlüssel zum Beweis, dass durch 3 teilbar ist.
12.
Beweise: Wenn gerade und ungerade ist, dann ist ungerade.
Lösung: 2(m + k) + 1
1. Schreibe als gerade Zahl und als ungerade Zahl: a = 2m, b = 2k + 1
2. Addiere : 2m + 2k + 1
3. Faktorisiere, um zu zeigen, dass es ungerade ist (Form ): 2(m + k) + 1
13.
Um zu beweisen, dass durch 3 teilbar ist, verwenden wir die Tatsache, dass unter je 3 aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen:
1. a)Keine ist durch 3 teilbar
2. b)Alle sind durch 3 teilbar
3. c)Mindestens zwei sind durch 3 teilbar
4. d)Genau eine ist durch 3 teilbar
Lösung: Genau eine ist durch 3 teilbar
Jede ganze Zahl hat bei Division durch 3 den Rest 0, 1 oder 2. Bei drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen durchlaufen wir alle drei Reste, also hat genau eine den Rest 0 (durch 3 teilbar).
14.
Beweise: Wenn eine ganze Zahl ist, dann ist gerade.
Lösung: n(n + 1)
1. Faktorisiere : n(n + 1)
2. Was können wir über und sagen? aufeinanderfolgende ganze Zahlen
3. Von zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen, wie viele sind gerade? 1
4. Daher ist das Produkt immer: gerade
15.
Wenn wir ' teilt ' mit direktem Beweis beweisen wollen, zeigen wir für eine ganze Zahl . Welcher Wert von zeigt, dass 3 die 12 teilt?
Lösung: 4
Da , haben wir . Dies zeigt, dass 3 die 12 teilt, weil 12 als 3 mal eine ganze Zahl (4) ausgedrückt werden kann.
16.
Beweise: Die Summe einer geraden Zahl und ihres Quadrats ist gerade.
Lösung: 2(k + 2k^2)
1. Sei die gerade Zahl . Schreibe : 2k + (2k)^2
2. Vereinfache : 4k^2
3. Schreibe in faktorisierter Form : 2(k + 2k^2)
17.
Welche Aussage beschreibt ein Axiom am besten?
1. a)Eine Aussage, die Überprüfung benötigt
2. b)Eine Aussage, die als wahr bewiesen wurde
3. c)Eine Aussage, die immer falsch ist
4. d)Eine Aussage, die ohne Beweis als wahr akzeptiert wird
Lösung: Eine Aussage, die ohne Beweis als wahr akzeptiert wird
Ein Axiom ist eine grundlegende Aussage, die ohne Beweis als wahr akzeptiert wird. Axiome dienen als Grundlage, von der Sätze abgeleitet werden. Beispiele sind 'a = a' (reflexive Eigenschaft) und 'wenn a = b, dann b = a' (symmetrische Eigenschaft).