Geometrische Beweise

Ein **geometrischer Beweis** zeigt, dass eine Aussage über eine Figur wahr sein muss. Er ist eine Kette von Aussagen, und jede Aussage hat eine Begründung: die Voraussetzung, eine Definition, ein Postulat oder einen schon bewiesenen Satz. Eine Zeichnung hilft dir, die Idee zu finden, aber eine Messung mit dem Geodreieck ist nie eine Begründung. Der Werkzeugkasten für diese Lektion: **1. Parallelen und eine Querlinie.** Eine **Querlinie** (Transversale) ist eine Gerade, die zwei andere Geraden schneidet. Wenn die beiden Geraden parallel sind: - **Wechselwinkel** (zwischen den Parallelen, auf verschiedenen Seiten der Querlinie) sind gleich groß. - **Stufenwinkel** (in derselben Lage an beiden Schnittpunkten) sind gleich groß. - Nachbarwinkel (zwischen den Parallelen, auf derselben Seite der Querlinie) ergänzen sich zu $180^\circ$. **2. Winkelsumme im Dreieck.** In jedem Dreieck gilt $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. **3. Kongruente Dreiecke.** Zwei Dreiecke sind kongruent ($\cong$), wenn eine dieser Gruppen entsprechender Teile übereinstimmt: - **SSS**: drei Seiten - **SWS**: zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel - **WSW**: zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen - **SWW**: zwei Winkel und eine Seite, die nicht zwischen ihnen liegt **4. Entsprechende Teile.** Sind zwei Dreiecke kongruent, so sind alle einander entsprechenden Seiten und Winkel gleich: Aus $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ folgt zum Beispiel $AB = DE$ und $\angle A = \angle D$. Im Englischen heißt diese Begründung CPCTC. **5. Gleichschenklige Dreiecke.** Sind zwei Seiten eines Dreiecks gleich lang, so sind die gegenüberliegenden Winkel (die **Basiswinkel**) gleich groß. **6. Mittelpunkte und Halbierende.** Ein **Mittelpunkt** teilt eine Strecke in zwei gleich lange Teile, eine **Winkelhalbierende** teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel. Ein vollständiger Zwei-Spalten-Beweis. Gegeben: Die Strecken $AD$ und $BC$ schneiden sich in $M$, und $M$ ist der Mittelpunkt beider Strecken. Zu zeigen: $AB = DC$. | Aussage | Begründung | |---|---| | $AM = DM$ | Definition des Mittelpunkts | | $BM = CM$ | Definition des Mittelpunkts | | $\angle AMB = \angle DMC$ | Scheitelwinkel sind gleich groß | | $\triangle AMB \cong \triangle DMC$ | SWS | | $AB = DC$ | Entsprechende Teile kongruenter Dreiecke | Der übliche Plan: Finde zwei Dreiecke, die das gesuchte Stück enthalten, beweise ihre Kongruenz und schließe dann mit den entsprechenden Teilen.

Winkel an zwei Parallelen

Die Geraden $AB$ und $CD$ sind parallel. Die Punkte $A$ und $C$ liegen links, $B$ und $D$ rechts. Eine Querlinie schneidet $AB$ in $E$ und $CD$ in $F$, und es gilt $\angle AEF = 65^\circ$. Bestimme $\angle EFD$ und $\angle CFE$ und begründe jeden Schritt.

Das Winkelpaar erkennen: $\angle AEF$ und $\angle EFD$ liegen beide zwischen den Parallelen, auf verschiedenen Seiten der Querlinie = Es sind Wechselwinkel

Den Satz über Parallelen anwenden: Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß, also $\angle EFD = \angle AEF$ = $\angle EFD = 65^\circ$

Den gestreckten Winkel bei $F$ nutzen: $\angle CFE$ und $\angle EFD$ bilden zusammen den gestreckten Winkel $CFD$: $\angle CFE = 180^\circ - 65^\circ$ = $\angle CFE = 115^\circ$ (Nebenwinkel)

Answer: $\angle EFD = 65^\circ$ (Wechselwinkel) und $\angle CFE = 115^\circ$ (Nebenwinkel). Probe: $\angle AEF + \angle CFE = 180^\circ$, denn Nachbarwinkel an Parallelen ergänzen sich zu $180^\circ$.

Beweis der Winkelsumme im Dreieck

Beweise, dass die Winkel jedes Dreiecks $ABC$ zusammen $180^\circ$ ergeben. Zeichne durch $A$ die Gerade $DE$ parallel zu $BC$, mit $D$ auf der Seite von $B$ und $E$ auf der Seite von $C$.

Aussage 1: der gestreckte Winkel bei $A$: $D$, $A$ und $E$ liegen auf einer Geraden, also $\angle DAB + \angle BAC + \angle CAE = 180^\circ$ = Begründung: Winkel an einer Geraden

Aussage 2: Querlinie $AB$: $DE \parallel BC$, und $AB$ schneidet beide Geraden, also $\angle DAB = \angle ABC$ = Begründung: Wechselwinkel

Aussage 3: Querlinie $AC$: Auch $AC$ schneidet beide Parallelen, also $\angle CAE = \angle ACB$ = Begründung: Wechselwinkel

Aussage 4: einsetzen: Ersetze $\angle DAB$ und $\angle CAE$ in Aussage 1 mithilfe der Aussagen 2 und 3 = $\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ$

Answer: Die Parallele legt die drei Winkel des Dreiecks nebeneinander in den gestreckten Winkel bei $A$, also ergeben sie in jedem Dreieck zusammen $180^\circ$. q. e. d.

SSS und entsprechende Teile im Drachenviereck

Im Viereck $ABCD$ gilt $AB = AD$ und $CB = CD$. Beweise, dass die Diagonale $AC$ den Winkel $\angle BAD$ halbiert. Bestimme dann $\angle BAC$, wenn $\angle BAD = 70^\circ$.

Die Seitenpaare auflisten: $AB = AD$ (gegeben), $CB = CD$ (gegeben), $AC = AC$ (reflexive Eigenschaft) = Drei Paare gleich langer Seiten

Die Kongruenz der Dreiecke beweisen: Ordne die Ecken zu: $A \to A$, $B \to D$, $C \to C$ = $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ (SSS)

Entsprechende Teile nutzen: $\angle BAC$ und $\angle DAC$ sind entsprechende Winkel der kongruenten Dreiecke = $\angle BAC = \angle DAC$ (entsprechende Teile)

Folgern und rechnen: Zwei gleich große Hälften bedeuten, dass $AC$ den Winkel $\angle BAD$ halbiert: $\angle BAC = 70^\circ \div 2$ = $\angle BAC = 35^\circ$

Answer: $AC$ halbiert $\angle BAD$ (SSS, dann entsprechende Teile), und $\angle BAC = \angle DAC = 35^\circ$.

Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck

Gegeben: $AB = AC$ im Dreieck $\triangle ABC$. Zu zeigen: $\angle B = \angle C$. Bestimme dann die Basiswinkel, wenn $\angle A = 40^\circ$.

Eine Hilfslinie einzeichnen: Zeichne die Winkelhalbierende von $\angle BAC$, sie trifft $BC$ in $D$. Dann gilt $\angle BAD = \angle CAD$ = Begründung: Definition der Winkelhalbierenden

Die Teile für SWS sammeln: $AB = AC$ (gegeben), $\angle BAD = \angle CAD$ (Schritt 1), $AD = AD$ (reflexive Eigenschaft) = Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel

Die Kongruenz beweisen: Der Winkel bei $A$ liegt zwischen den Seiten $AB$, $AD$ und zwischen $AC$, $AD$ = $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (SWS)

Entsprechende Teile nutzen: $\angle B$ und $\angle C$ sind entsprechende Winkel = $\angle B = \angle C$ (entsprechende Teile)

Mit $\angle A = 40^\circ$ rechnen: $\angle B + \angle C = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$, und beide Winkel sind gleich groß = $\angle B = \angle C = 70^\circ$

Answer: Die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich groß. Mit $\angle A = 40^\circ$ ist jeder Basiswinkel $70^\circ$ groß. Aus der Kongruenz folgt auch $BD = CD$, also ist $D$ der Mittelpunkt von $BC$.

Parallelen, WSW und ein Mittelpunkt

Die Strecken $AE$ und $BD$ schneiden sich in $C$. Es gilt $AB \parallel DE$, und $C$ ist der Mittelpunkt von $AE$. Beweise, dass $C$ auch der Mittelpunkt von $BD$ ist. Bestimme dann $\angle CDE$, wenn $\angle BAC = 50^\circ$ und $\angle ACB = 70^\circ$.

Winkel bei $A$ und $E$: $AB \parallel DE$, und $AE$ ist eine Querlinie = $\angle BAC = \angle DEC$ (Wechselwinkel)

Seiten bei $C$: $C$ ist der Mittelpunkt von $AE$ = $AC = EC$ (Definition des Mittelpunkts)

Winkel bei $C$: $\angle ACB$ und $\angle ECD$ liegen einander gegenüber = $\angle ACB = \angle ECD$ (Scheitelwinkel)

Kongruenz und entsprechende Teile: Die Seite $AC$ liegt zwischen den Winkeln bei $A$ und $C$, also $\triangle ABC \cong \triangle EDC$ (WSW) = $BC = DC$ (entsprechende Teile), also ist $C$ der Mittelpunkt von $BD$

Den Winkel bestimmen: $\angle CDE = \angle CBA = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ$ (entsprechende Teile und Winkelsumme) = $\angle CDE = 60^\circ$

Answer: $C$ ist der Mittelpunkt von $BD$ (WSW, dann entsprechende Teile), und $\angle CDE = 60^\circ$.

Mit geometrischen Beweisen hat das mathematische Beweisen begonnen, und ihre Ideen werden bis heute täglich genutzt: - **Geschichte der Mathematik**: Euklids Elemente (um 300 v. Chr.) bauen die ganze Geometrie aus wenigen Postulaten mit genau solchen Beweisen auf und waren über 2000 Jahre lang ein Schulbuch - **Vermessung**: Mit kongruenten Dreiecken messen Vermesser Strecken, die man nicht ablaufen kann, etwa die Breite eines Flusses oder Teichs - **Architektur und Bauwesen**: Dachstühle und Brücken nutzen gleichschenklige und kongruente Dreiecke, denn ein Dreieck mit festen Seiten kann seine Form nicht ändern - **Straßen- und Stadtplanung**: Parallele Straßen, die von einer schrägen Allee gekreuzt werden, wiederholen an jeder Kreuzung dieselben Winkel - **Denkfähigkeit**: Schritt für Schritt begründet zu zeigen, dass etwas wahr sein muss, ist dieselbe Fähigkeit, die Juristen, Programmierer und Forscher brauchen Wenn du diese wenigen Sätze sicher beherrschst, wird ein großer Teil der Schulgeometrie zu kurzen, überzeugenden Argumenten.

Mistake: Die Kongruenz mit WWW (drei gleich großen Winkeln) beweisen

Why: Gleiche Winkel ergeben nur dieselbe Form: Ein kleines und ein großes gleichseitiges Dreieck haben dieselben Winkel, sind aber nicht kongruent. Auch zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel reichen im Allgemeinen nicht, weil zwei verschiedene Dreiecke passen können (nur beim Satz SsW, wenn der Winkel der längeren Seite gegenüberliegt, klappt es).

Correct: Verwende SSS, SWS, WSW oder SWW, und prüfe bei SWS, dass der Winkel zwischen den beiden Seiten liegt.

Mistake: Entsprechende Teile gleichsetzen, bevor die Kongruenz bewiesen ist

Why: Die Begründung mit entsprechenden Teilen ist erst nach einer Zeile erlaubt, die die Kongruenz der Dreiecke zeigt. Sonst setzt der Beweis voraus, was er zeigen will.

Correct: Zuerst eine Zeile wie $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ (SWS), dann die passenden Seiten oder Winkel mit der Begründung entsprechende Teile kongruenter Dreiecke.

Mistake: Winkelsätze für Parallelen benutzen, obwohl die Geraden nicht parallel sind, oder Nachbarwinkel für gleich groß halten

Why: Wechselwinkel und Stufenwinkel sind nur an Parallelen gleich groß. Nachbarwinkel sind nicht gleich, sie ergänzen sich zu $180^\circ$.

Correct: Prüfe, dass die Geraden als parallel gegeben sind ($AB \parallel CD$), und benenne das Paar genau: Wechselwinkel (gleich), Stufenwinkel (gleich) oder Nachbarwinkel (Summe $180^\circ$).

Mistake: Die Ecken in einer Kongruenzaussage in falscher Reihenfolge schreiben

Why: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ bedeutet $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$. Eine falsche Reihenfolge ordnet die falschen Seiten und Winkel einander zu.

Correct: Ordne die Ecken nach den gleichen Teilen zu. In Beispiel 5 lautet die richtige Aussage $\triangle ABC \cong \triangle EDC$, nicht $\triangle ABC \cong \triangle DEC$.

Dachbinder

Zimmerleute bauen Dachbinder als gleichschenklige Dreiecke: Zwei gleich lange Sparren treffen sich am First, deshalb haben beide Dachseiten dieselbe Neigung.

Ein Binder mit einem Winkel von $100^\circ$ am First hat Basiswinkel von $(180^\circ - 100^\circ) \div 2 = 40^\circ$.

Messen über einen Teich

Vermesser bestimmen Strecken, die man nicht ablaufen kann, mit kongruenten Dreiecken, also mit demselben SWS-Beweis wie in dieser Lektion.

Um die Breite $AB$ eines Teichs zu bestimmen, gehst du von $A$ zu einem Punkt $C$ und dieselbe Strecke weiter bis $D$. Dann gehst du von $B$ durch $C$ dieselbe Strecke weiter bis $E$. Nun gilt $\triangle ACB \cong \triangle DCE$ (SWS), also $DE = AB$ (entsprechende Teile).

Stadtpläne

Parallele Straßen, die von einer schrägen Allee gekreuzt werden, bilden das Winkelmuster von Parallelen und Querlinie, mit dem Stadtplaner Ecken und Kreuzungen entwerfen.

Bildet eine schräge Allee mit einer Straße einen Winkel von $58^\circ$, so bildet sie mit jeder parallelen Straße denselben Stufenwinkel von $58^\circ$.

Jede Aussage in einem geometrischen Beweis braucht eine Begründung: Voraussetzung, Definition, Postulat oder Satz

An Parallelen mit einer Querlinie sind Wechselwinkel und Stufenwinkel gleich groß, Nachbarwinkel ergänzen sich zu $180^\circ$

Die Winkelsumme im Dreieck ($180^\circ$) beweist man mit einer Parallelen zur Gegenseite durch eine Ecke

Dreiecke sind kongruent nach SSS, SWS, WSW oder SWW, nie nach WWW und im Allgemeinen nicht nach SSW

Sind zwei Dreiecke kongruent, so sind alle entsprechenden Seiten und Winkel gleich

Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß, und Mittelpunkte und Halbierende liefern gleich lange Strecken und gleich große Winkel

Q: Was bedeutet CPCTC in englischen Büchern?

A: Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent, also: Entsprechende Teile kongruenter Dreiecke sind gleich. Diese Begründung schreibst du, nachdem du die Kongruenz zweier Dreiecke bewiesen hast und daraus eine Seite oder einen Winkel folgerst.

Q: Warum reichen zwei Seiten und ein beliebiger Winkel nicht?

A: Liegt der Winkel nicht zwischen den beiden Seiten, kann die dritte Seite manchmal in zwei verschiedene Lagen schwenken, und es entstehen zwei verschiedene Dreiecke. Nur beim Satz SsW, wenn der Winkel der längeren Seite gegenüberliegt, ist das Dreieck eindeutig.

Q: Was ist der Unterschied zwischen WSW und SWW?

A: Bei WSW liegt die bekannte Seite zwischen den beiden Winkeln, bei SWW nicht. Beide funktionieren: Zwei Winkel legen den dritten fest (Winkelsumme $180^\circ$), also lässt sich SWW immer auf WSW zurückführen.

Q: Wie finde ich die passenden Dreiecke?

A: Schau auf die Strecke oder den Winkel, dessen Gleichheit du zeigen sollst, und suche zwei Dreiecke, die sie enthalten. Markiere alles, was du weißt: gegebene Teile, Scheitelwinkel, eine gemeinsame Seite. Erreichst du SSS, SWS, WSW oder SWW, schließt du mit den entsprechenden Teilen.

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Geometrische Beweise

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Logik & Mengen / Mathematische Beweise

Geometrische Beweise

Beweise geometrische Aussagen Schritt für Schritt mit Winkeln an Parallelen, der Winkelsumme im Dreieck, Kongruenzsätzen (SSS, SWS, WSW, SWW) und gleichschenkligen Dreiecken.

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