Warum reichen zwei Seiten und ein beliebiger Winkel nicht?

Liegt der Winkel nicht zwischen den beiden Seiten, kann die dritte Seite manchmal in zwei verschiedene Lagen schwenken, und es entstehen zwei verschiedene Dreiecke. Nur beim Satz SsW, wenn der Winkel der längeren Seite gegenüberliegt, ist das Dreieck eindeutig.

Was ist der Unterschied zwischen WSW und SWW?

Bei WSW liegt die bekannte Seite zwischen den beiden Winkeln, bei SWW nicht. Beide funktionieren: Zwei Winkel legen den dritten fest (Winkelsumme $180^\circ$), also lässt sich SWW immer auf WSW zurückführen.

Wie finde ich die passenden Dreiecke?

Schau auf die Strecke oder den Winkel, dessen Gleichheit du zeigen sollst, und suche zwei Dreiecke, die sie enthalten. Markiere alles, was du weißt: gegebene Teile, Scheitelwinkel, eine gemeinsame Seite. Erreichst du SSS, SWS, WSW oder SWW, schließt du mit den entsprechenden Teilen.

Lehrermaterialien

Geometrische Beweise

Beweise geometrische Aussagen Schritt für Schritt mit Winkeln an Parallelen, der Winkelsumme im Dreieck, Kongruenzsätzen (SSS, SWS, WSW, SWW) und gleichschenkligen Dreiecken.

Fortgeschritten30 MinLektion

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Definition

Ein geometrischer Beweis zeigt, dass eine Aussage über eine Figur wahr sein muss. Er ist eine Kette von Aussagen, und jede Aussage hat eine Begründung: die Voraussetzung, eine Definition, ein Postulat oder einen schon bewiesenen Satz. Eine Zeichnung hilft dir, die Idee zu finden, aber eine Messung mit dem Geodreieck ist nie eine Begründung.

Der Werkzeugkasten für diese Lektion:

1. Parallelen und eine Querlinie. Eine Querlinie (Transversale) ist eine Gerade, die zwei andere Geraden schneidet. Wenn die beiden Geraden parallel sind:

Wechselwinkel (zwischen den Parallelen, auf verschiedenen Seiten der Querlinie) sind gleich groß.
Stufenwinkel (in derselben Lage an beiden Schnittpunkten) sind gleich groß.
Nachbarwinkel (zwischen den Parallelen, auf derselben Seite der Querlinie) ergänzen sich zu $180^\circ$ .

2. Winkelsumme im Dreieck. In jedem Dreieck gilt

\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ

3. Kongruente Dreiecke. Zwei Dreiecke sind kongruent (

\cong

), wenn eine dieser Gruppen entsprechender Teile übereinstimmt:

SSS: drei Seiten
SWS: zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel
WSW: zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen
SWW: zwei Winkel und eine Seite, die nicht zwischen ihnen liegt

4. Entsprechende Teile. Sind zwei Dreiecke kongruent, so sind alle einander entsprechenden Seiten und Winkel gleich: Aus

\triangle ABC \cong \triangle DEF

folgt zum Beispiel

AB = DE

und

\angle A = \angle D

. Im Englischen heißt diese Begründung CPCTC.

5. Gleichschenklige Dreiecke. Sind zwei Seiten eines Dreiecks gleich lang, so sind die gegenüberliegenden Winkel (die Basiswinkel) gleich groß.

6. Mittelpunkte und Halbierende. Ein Mittelpunkt teilt eine Strecke in zwei gleich lange Teile, eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel.

Ein vollständiger Zwei-Spalten-Beweis. Gegeben: Die Strecken

AD

und

BC

schneiden sich in

M

, und

M

ist der Mittelpunkt beider Strecken. Zu zeigen:

AB = DC

Aussage	Begründung
$AM = DM$	Definition des Mittelpunkts
$BM = CM$	Definition des Mittelpunkts
$\angle AMB = \angle DMC$	Scheitelwinkel sind gleich groß
$\triangle AMB \cong \triangle DMC$	SWS
$AB = DC$	Entsprechende Teile kongruenter Dreiecke

Der übliche Plan: Finde zwei Dreiecke, die das gesuchte Stück enthalten, beweise ihre Kongruenz und schließe dann mit den entsprechenden Teilen.

Probier es gleich aus

Die Geraden

AB

und

CD

sind parallel (

A

und

C

links,

B

und

D

rechts). Eine Querlinie schneidet

AB

E

und

CD

F

. Es gilt

\angle AEF = 72^\circ

und

\angle EFD = 72^\circ

. Welche Begründung rechtfertigt

\angle EFD = \angle AEF

Lösungsbeispiele

Die Geraden $AB$ und $CD$ sind parallel. Die Punkte $A$ und $C$ liegen links, $B$ und $D$ rechts. Eine Querlinie schneidet $AB$ in $E$ und $CD$ in $F$ , und es gilt $\angle AEF = 65^\circ$ . Bestimme $\angle EFD$ und $\angle CFE$ und begründe jeden Schritt.

Das Winkelpaar erkennen

$\angle AEF$ und $\angle EFD$ liegen beide zwischen den Parallelen, auf verschiedenen Seiten der Querlinie → Es sind Wechselwinkel

Den Satz über Parallelen anwenden

Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß, also $\angle EFD = \angle AEF$ → $\angle EFD = 65^\circ$

Den gestreckten Winkel bei $F$ nutzen

$\angle CFE$ und $\angle EFD$ bilden zusammen den gestreckten Winkel $CFD$ : $\angle CFE = 180^\circ - 65^\circ$ → $\angle CFE = 115^\circ$ (Nebenwinkel)

Antwort: $\angle EFD = 65^\circ$ (Wechselwinkel) und $\angle CFE = 115^\circ$ (Nebenwinkel). Probe: $\angle AEF + \angle CFE = 180^\circ$ , denn Nachbarwinkel an Parallelen ergänzen sich zu $180^\circ$ .

Häufige Fehler

Die Kongruenz mit WWW (drei gleich großen Winkeln) beweisen

Warum es falsch ist: Gleiche Winkel ergeben nur dieselbe Form: Ein kleines und ein großes gleichseitiges Dreieck haben dieselben Winkel, sind aber nicht kongruent. Auch zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel reichen im Allgemeinen nicht, weil zwei verschiedene Dreiecke passen können (nur beim Satz SsW, wenn der Winkel der längeren Seite gegenüberliegt, klappt es).

Richtig: Verwende SSS, SWS, WSW oder SWW, und prüfe bei SWS, dass der Winkel zwischen den beiden Seiten liegt.

Entsprechende Teile gleichsetzen, bevor die Kongruenz bewiesen ist

Warum es falsch ist: Die Begründung mit entsprechenden Teilen ist erst nach einer Zeile erlaubt, die die Kongruenz der Dreiecke zeigt. Sonst setzt der Beweis voraus, was er zeigen will.

Richtig: Zuerst eine Zeile wie $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ (SWS), dann die passenden Seiten oder Winkel mit der Begründung entsprechende Teile kongruenter Dreiecke.

Winkelsätze für Parallelen benutzen, obwohl die Geraden nicht parallel sind, oder Nachbarwinkel für gleich groß halten

Warum es falsch ist: Wechselwinkel und Stufenwinkel sind nur an Parallelen gleich groß. Nachbarwinkel sind nicht gleich, sie ergänzen sich zu $180^\circ$ .

Richtig: Prüfe, dass die Geraden als parallel gegeben sind ( $AB \parallel CD$ ), und benenne das Paar genau: Wechselwinkel (gleich), Stufenwinkel (gleich) oder Nachbarwinkel (Summe $180^\circ$ ).

Die Ecken in einer Kongruenzaussage in falscher Reihenfolge schreiben

Warum es falsch ist: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ bedeutet $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ . Eine falsche Reihenfolge ordnet die falschen Seiten und Winkel einander zu.

Richtig: Ordne die Ecken nach den gleichen Teilen zu. In Beispiel 5 lautet die richtige Aussage $\triangle ABC \cong \triangle EDC$ , nicht $\triangle ABC \cong \triangle DEC$ .

Interaktive Visualisierung

Winkel-Explorer

∠1 = 115°∠2 = 65°∠3 = 65°∠4 = 115°∠5 = 115°∠6 = 65°∠7 = 65°∠8 = 115°

Wechselwinkel liegen zwischen den Parallelen auf verschiedenen Seiten der schneidenden Geraden. Sie sind gleich groß.

Ziehe den blauen Punkt, um die schneidende Gerade zu kippen. Wähle eine Winkelart oder tippe auf zwei Winkelnummern, um zu sehen, wie sie zusammenhängen.

Dreieck-Explorer

Nach Seiten:Gleichschenklig

Nach Winkeln:Spitzwinklig

Fläche:

0,3 Flächeneinheiten

Erkunde die Beziehung zwischen Winkeln in einem Dreieck.

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Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Die Geraden $AB$ und $CD$ sind parallel ( $A$ und $C$ links, $B$ und $D$ rechts). Eine Querlinie schneidet $AB$ in $E$ und $CD$ in $F$ . Es gilt $\angle AEF = 72^\circ$ und $\angle EFD = 72^\circ$ . Welche Begründung rechtfertigt $\angle EFD = \angle AEF$ ?

Übungsaufgaben: Geometrische Beweise

1. Die Geraden AB und CD sind parallel (A und C links, B und D rechts). Eine Querlinie schneidet AB in E und CD in F. Es gilt ∠ AEF = 72° und ∠ EFD = 72°. Welche Begründung rechtfertigt ∠ EFD = ∠ AEF?
2. Die Geraden AB und CD sind parallel (A und C links, B und D rechts). Eine Querlinie schneidet AB in E und CD in F. Es gilt ∠ AEF = 72°. Wie viel Grad hat ∠ CFE?
3. Im Dreieck △ ABC gilt ∠ A = 47° und ∠ B = 68°. Wie viel Grad hat ∠ C?
4. Welche Gruppe gleicher Teile beweist NICHT, dass zwei Dreiecke kongruent sind?
5. Im Dreieck △ ABC gilt AB = AC und ∠ B = 52°. Bestimme ∠ C und ∠ A.
6. Die parallelen Geraden \ell und m (\ell oberhalb von m) werden von einer Querlinie t geschnitten. Bei \ell ist der Winkel oberhalb von \ell und rechts von t 110^\circ groß. Bestimme den Winkel oberhalb von m rechts von t und dann den Winkel oberhalb von m links von t.
7. Die Strecken AD und BC schneiden sich in M, und M ist der Mittelpunkt beider Strecken. Du weißt AM = DM, BM = CM und \angle AMB = \angle DMC (Scheitelwinkel). Welcher Kongruenzsatz beweist \triangle AMB \cong \triangle DMC?
8. Im Dreieck △ ABC bildet die Parallele zu BC durch A mit AB einen Winkel von 55° (auf der Seite von B) und mit AC einen Winkel von 64° (auf der Seite von C). Wie viel Grad hat ∠ BAC?
9. Im Dreieck △ ABC gilt AB = AC und ∠ A = 36°. Bestimme den Basiswinkel ∠ B und dann den Außenwinkel bei B (zwischen AB und der Verlängerung von CB über B hinaus).
10. Die Strecken AE und BD schneiden sich in C, AB ∥ DE, und C ist der Mittelpunkt von AE. Außerdem gilt ∠ BAC = 40°, ∠ ACB = 75° und AB = 9 cm. Bestimme die Winkel von △ EDC und die Länge DE.
11. In \triangle ABC und \triangle DEF gilt: AB = DE, \angle A = \angle D und \angle B = \angle E. Welcher Kongruenzsatz beweist \triangle ABC \cong \triangle DEF?
12. AD halbiert den Winkel ∠ BAC, und ∠ BAD = 34°. Wie viel Grad hat ∠ BAC?
13. Zwei Parallelen werden von einer Querlinie geschnitten. Ein Paar Wechselwinkel misst (3x + 10)° und (5x - 30)°. Bestimme x, den Winkel und seinen Nebenwinkel.
14. Im Dreieck △ ABC gilt AB = AC, ∠ B = (2x + 10)° und ∠ C = (3x - 15)°. Wie viel Grad hat ∠ A?
15. Im Viereck ABCD gilt AB = AD und CB = CD, mit \angle BAD = 80^\circ und \angle BCD = 60^\circ. Nutze \triangle ABC \cong \triangle ADC (SSS), um \angle ABC und \angle ADC zu bestimmen.
16. Beweis, dass die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks gleich groß sind. Gegeben: AB = AC, und AD halbiert \angle BAC, mit D auf BC. Schritt 1: AB = AC (gegeben). Schritt 2: \angle BAD = \angle CAD (Definition der Winkelhalbierenden). Schritt 3: AD = AD. Schritt 4: \triangle ABD \cong \triangle ACD (SWS). Schritt 5: \angle B = \angle C (entsprechende Teile). Was ist die Begründung für Schritt 3?
17. Im Dreieck △ ABC gilt ∠ A = 50° und ∠ B = 60°. Die Seite BC wird über C hinaus bis zu einem Punkt D verlängert. Bestimme ∠ ACB, den Außenwinkel ∠ ACD und vergleiche ihn mit ∠ A + ∠ B.
18. Im Dreieck △ ABC gilt AB = AC und ∠ A = 44°. Eine Strecke DE mit D auf AB und E auf AC ist parallel zu BC. Bestimme ∠ ABC, ∠ ADE und ∠ BDE.

Warum es wichtig ist

Mit geometrischen Beweisen hat das mathematische Beweisen begonnen, und ihre Ideen werden bis heute täglich genutzt:

Geschichte der Mathematik: Euklids Elemente (um 300 v. Chr.) bauen die ganze Geometrie aus wenigen Postulaten mit genau solchen Beweisen auf und waren über 2000 Jahre lang ein Schulbuch
Vermessung: Mit kongruenten Dreiecken messen Vermesser Strecken, die man nicht ablaufen kann, etwa die Breite eines Flusses oder Teichs
Architektur und Bauwesen: Dachstühle und Brücken nutzen gleichschenklige und kongruente Dreiecke, denn ein Dreieck mit festen Seiten kann seine Form nicht ändern
Straßen- und Stadtplanung: Parallele Straßen, die von einer schrägen Allee gekreuzt werden, wiederholen an jeder Kreuzung dieselben Winkel
Denkfähigkeit: Schritt für Schritt begründet zu zeigen, dass etwas wahr sein muss, ist dieselbe Fähigkeit, die Juristen, Programmierer und Forscher brauchen

Wenn du diese wenigen Sätze sicher beherrschst, wird ein großer Teil der Schulgeometrie zu kurzen, überzeugenden Argumenten.

Anwendungen im echten Leben

Dachbinder

Zimmerleute bauen Dachbinder als gleichschenklige Dreiecke: Zwei gleich lange Sparren treffen sich am First, deshalb haben beide Dachseiten dieselbe Neigung.

Beispiel:

Ein Binder mit einem Winkel von $100^\circ$ am First hat Basiswinkel von $(180^\circ - 100^\circ) \div 2 = 40^\circ$ .

1Probiere es selbst

Ein Zimmermann baut einen Binder aus zwei gleich langen Sparren. Der Winkel am First beträgt $120^\circ$ .

Welchen Winkel bildet jeder Sparren mit dem waagerechten Balken?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Ziehe den Firstwinkel von $180^\circ$ ab und teile den Rest gleichmäßig auf:

Messen über einen Teich

Vermesser bestimmen Strecken, die man nicht ablaufen kann, mit kongruenten Dreiecken, also mit demselben SWS-Beweis wie in dieser Lektion.

Beispiel:

Um die Breite $AB$ eines Teichs zu bestimmen, gehst du von $A$ zu einem Punkt $C$ und dieselbe Strecke weiter bis $D$ . Dann gehst du von $B$ durch $C$ dieselbe Strecke weiter bis $E$ . Nun gilt $\triangle ACB \cong \triangle DCE$ (SWS), also $DE = AB$ (entsprechende Teile).

2Probiere es selbst

Die Punkte liegen wie im Beispiel: $AC = CD = 35$ m, $BC = CE = 40$ m, und auf trockenem Land misst du $DE = 48$ m.

Wie breit ist der Teich, also wie lang ist $AB$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Wegen der entsprechenden Teile ist $AB$ so lang wie die gemessene Seite:

Stadtpläne

Parallele Straßen, die von einer schrägen Allee gekreuzt werden, bilden das Winkelmuster von Parallelen und Querlinie, mit dem Stadtplaner Ecken und Kreuzungen entwerfen.

Beispiel:

Bildet eine schräge Allee mit einer Straße einen Winkel von $58^\circ$ , so bildet sie mit jeder parallelen Straße denselben Stufenwinkel von $58^\circ$ .

3Probiere es selbst

Zwei parallele Straßen werden von einer schrägen Allee gekreuzt. An der ersten Straße beträgt der Winkel zwischen Allee und Straße auf der Nordostseite $58^\circ$ .

Wie groß sind an der zweiten Straße der Stufenwinkel (Nordost) und der Winkel daneben (Nordwest)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Der Nachbarwinkel bildet mit ihm einen gestreckten Winkel:

Wichtige Erkenntnisse

1Jede Aussage in einem geometrischen Beweis braucht eine Begründung: Voraussetzung, Definition, Postulat oder Satz
2An Parallelen mit einer Querlinie sind Wechselwinkel und Stufenwinkel gleich groß, Nachbarwinkel ergänzen sich zu $180^\circ$
3Die Winkelsumme im Dreieck ( $180^\circ$ ) beweist man mit einer Parallelen zur Gegenseite durch eine Ecke
4Dreiecke sind kongruent nach SSS, SWS, WSW oder SWW, nie nach WWW und im Allgemeinen nicht nach SSW
5Sind zwei Dreiecke kongruent, so sind alle entsprechenden Seiten und Winkel gleich
6Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß, und Mittelpunkte und Halbierende liefern gleich lange Strecken und gleich große Winkel

Häufig gestellte Fragen

Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent, also: Entsprechende Teile kongruenter Dreiecke sind gleich. Diese Begründung schreibst du, nachdem du die Kongruenz zweier Dreiecke bewiesen hast und daraus eine Seite oder einen Winkel folgerst.

Glossar

Querlinie (Transversale): Eine Gerade, die zwei (oder mehr) andere Geraden schneidet
Wechselwinkel: Zwei Winkel zwischen zwei Geraden, auf verschiedenen Seiten einer Querlinie; gleich groß, wenn die Geraden parallel sind
Stufenwinkel: Zwei Winkel in derselben Lage an den beiden Schnittpunkten einer Querlinie; gleich groß, wenn die Geraden parallel sind
Kongruente Dreiecke: Dreiecke, in denen alle drei Seiten und alle drei Winkel übereinstimmen, geschrieben $\triangle ABC \cong \triangle DEF$
Entsprechende Teile: Einander zugeordnete Seiten und Winkel kongruenter Dreiecke; sie sind gleich (englisch CPCTC)
Gleichschenkliges Dreieck: Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten (Schenkeln); die gegenüberliegenden Basiswinkel sind gleich groß

Formelkarte

Winkelsumme im Dreieck

\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ

Gilt in jedem Dreieck

Nebenwinkel und Nachbarwinkel

\alpha + \beta = 180^\circ

Winkel an einer Geraden und Nachbarwinkel an Parallelen

Gleichschenkliges Dreieck

AB = AC \Rightarrow \angle B = \angle C

Gleich langen Seiten liegen gleich große Basiswinkel gegenüber

Kongruenz und entsprechende Teile

\triangle ABC \cong \triangle DEF

Nach SSS, SWS, WSW oder SWW; dann sind alle entsprechenden Teile gleich

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Dachbinder

Messen über einen Teich

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