Einführung in mathematische Beweise

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was ist ein mathematischer Beweis?
1. a)Ein logisches Argument, das zeigt, warum eine Aussage wahr sein muss
2. b)Eine Formel zum Auswendiglernen
3. c)Eine Vermutung, ob etwas wahr ist
4. d)Ein einzelnes Beispiel, das funktioniert
Lösung: Ein logisches Argument, das zeigt, warum eine Aussage wahr sein muss
Ein mathematischer Beweis ist ein logisches Argument, das zeigt, warum eine Aussage für alle Fälle wahr sein muss, unter Verwendung von Definitionen, Axiomen und bereits bewiesenen Sätzen.
2.
Was ist der Unterschied zwischen einem Axiom und einem Theorem?
1. a)Sie sind dasselbe
2. b)Axiome sind falsch; Theoreme sind wahr
3. c)Ein Axiom wird ohne Beweis akzeptiert; ein Theorem wird bewiesen
4. d)Ein Theorem wird ohne Beweis akzeptiert; ein Axiom wird bewiesen
Lösung: Ein Axiom wird ohne Beweis akzeptiert; ein Theorem wird bewiesen
Axiome sind Aussagen, die wir ohne Beweis als wahr akzeptieren - sie sind unsere Ausgangspunkte. Theoreme sind Aussagen, die mit Axiomen und anderen Theoremen als wahr bewiesen wurden.
3.
Wenn eine gerade Zahl ist, können wir schreiben, wobei eine ganze Zahl ist. Wenn , was ist ?
Lösung: 6
Da , lösen wir nach auf: . Dies bestätigt, dass 12 gerade ist, weil .
4.
Wenn eine ungerade Zahl ist, können wir schreiben. Wenn , was ist ?
Lösung: 7
Da , lösen wir: , also . Probe: .
5.
Was machen wir zuerst bei einem Widerspruchsbeweis?
1. a)Das Gegenteil von dem annehmen, was wir beweisen wollen
2. b)Die Aussage direkt beweisen
3. c)Mehrere Beispiele geben
4. d)Zuerst die Schlussfolgerung nennen
Lösung: Das Gegenteil von dem annehmen, was wir beweisen wollen
Beim Widerspruchsbeweis nehmen wir an, dass das Gegenteil dessen, was wir beweisen wollen, wahr ist. Dann zeigen wir, dass dies zu einer logischen Unmöglichkeit (Widerspruch) führt, was beweist, dass unsere ursprüngliche Aussage wahr sein muss.
6.
Warum ist es KEIN Beweis, dass '2 + 4 = 6' zeigt, dass 'die Summe zweier gerader Zahlen gerade ist'?
1. a)Die Berechnung ist falsch
2. b)Wir müssen stattdessen Subtraktion verwenden
3. c)Es beweist nur einen spezifischen Fall, nicht alle Fälle
4. d)6 ist nicht gerade
Lösung: Es beweist nur einen spezifischen Fall, nicht alle Fälle
Es gibt unendlich viele Paare gerader Zahlen. Das Testen von beweist nur, dass EIN Paar funktioniert. Ein Beweis muss zeigen, dass ALLE Paare funktionieren, was die Verwendung von Variablen wie erfordert.
7.
Wenn und gerade Zahlen sind, was ist in Bezug auf und ? Schreibe in der Form
Lösung: 2(m+n)
. Da eine ganze Zahl ist, ist gerade. Dies beweist, dass die Summe zweier gerader Zahlen immer gerade ist!
8.
Beweise, dass das Produkt zweier ungerader Zahlen ungerade ist. Sei und .
Lösung: 2(2mn+m+n)+1
1. Schreibe ausgeschrieben 4mn+2m+2n+1
2. Klammere 2 aus den ersten drei Termen aus 2(2mn+m+n)+1
3. Hat die Form ? ja
9.
Welche Aussage beschreibt korrekt einen Zirkelschluss in einem Beweis?
1. a)Mit QED enden
2. b)Zu viele Schritte verwenden
3. c)Die Schlussfolgerung als Teil des Beweises verwenden
4. d)Mit einer Definition beginnen
Lösung: Die Schlussfolgerung als Teil des Beweises verwenden
Ein Zirkelschluss tritt auf, wenn man das annimmt, was man beweisen möchte. Zum Beispiel beweist 'X ist wahr, weil X wahr ist' eigentlich nichts - es dreht sich nur im Kreis.
10.
Im Beweis, dass irrational ist, nahmen wir an ohne gemeinsame Faktoren. Wir zeigten, dass und beide gerade sein müssen. Welchen gemeinsamen Faktor teilen sie?
Lösung: 2
Wenn sowohl als auch gerade sind, haben beide 2 als Faktor. Dies widerspricht unserer Annahme, dass sie keine gemeinsamen Faktoren haben. Dieser Widerspruch beweist, dass nicht als geschrieben werden kann.
11.
Beweise: Die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist ungerade.
Lösung: 2(m+n)+1
1. Sei die gerade Zahl . Schreibe die ungerade Zahl in der Form 2n+1
2. Berechne 2m+2n+1
3. Schreibe um durch Faktorisieren: 2(m+n)+1
4. Ist ungerade? (ja/nein) ja
12.
Die Aussage 'Alle Primzahlen sind ungerade' scheint für 3, 5, 7, 11, 13... wahr zu sein. Was widerlegt diese Aussage?
1. a)9 ist ungerade aber nicht prim
2. b)1 ist keine Primzahl
3. c)2 ist prim aber gerade
4. d)15 hat viele Faktoren
Lösung: 2 ist prim aber gerade
2 ist prim (nur durch 1 und sich selbst teilbar) aber sie ist gerade. Ein Gegenbeispiel reicht aus, um eine allgemeine Aussage zu widerlegen. Dies zeigt, warum wir Beweise brauchen, nicht nur Beispiele!
13.
Beweise durch Widerspruch: Es gibt keine größte ganze Zahl.
Lösung: N+1
1. Nimm das Gegenteil an: es GIBT eine größte ganze Zahl. Nenne sie . Ist auch eine ganze Zahl? ja
2. Ist ? ja
3. Wir haben eine ganze Zahl größer als gefunden. Was ist sie? N+1
4. Das widerspricht, dass die größte ist. Daher war unsere Annahme... (wahr/falsch) falsch
14.
Wenn gerade ist, dann muss gerade sein. Warum? Weil wenn ungerade wäre (), dann , was... ist (gerade/ungerade)?
Lösung: odd
hat die Form , was ungerade ist. Wenn also ungerade wäre, wäre ungerade. Daher kann nicht ungerade sein, wenn gerade ist - es muss gerade sein!
15.
Wenn ' impliziert ' wahr ist, welches der folgenden muss auch wahr sein?
1. a)'Nicht impliziert nicht ' (Kontraposition)
2. b)' impliziert ' (Umkehrung)
3. c)'Nicht impliziert nicht ' (Inverse)
4. d)Alle oben genannten
Lösung: 'Nicht impliziert nicht ' (Kontraposition)
Die Kontraposition ('Nicht impliziert nicht ') ist immer logisch äquivalent zur ursprünglichen Aussage. Die Umkehrung und Inverse sind NICHT garantiert wahr. Beispiel: 'Wenn es regnet, ist der Boden nass' ist wahr, aber 'Wenn der Boden nass ist, hat es geregnet' ist nicht immer wahr (Sprinkler!).
16.
Beweise: Wenn ungerade ist, dann ist ungerade.
Lösung: n is odd
1. Wir beweisen die Kontraposition. Wenn gerade ist, dann ist ... (gerade/ungerade)? gerade
2. Wenn (gerade), was ist ? 4k^2
3. Schreibe in der Form 2(2k^2)
4. Da gerade ist, haben wir bewiesen: wenn gerade ist, dann ist gerade. Durch Kontraposition, wenn ungerade ist, dann ist ... ungerade