Einführung in mathematische Beweise

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was ist ein mathematischer Beweis?
1. a)Eine Vermutung, ob etwas wahr ist
2. b)Eine Formel zum Auswendiglernen
3. c)Ein einzelnes Beispiel, das funktioniert
4. d)Ein logisches Argument, das zeigt, warum eine Aussage wahr sein muss
Lösung: Ein logisches Argument, das zeigt, warum eine Aussage wahr sein muss
Ein mathematischer Beweis ist ein logisches Argument, das zeigt, warum eine Aussage für alle Fälle wahr sein muss, unter Verwendung von Definitionen, Axiomen und bereits bewiesenen Sätzen.
2.
Was ist der Unterschied zwischen einem Axiom und einem Theorem?
1. a)Sie sind dasselbe
2. b)Axiome sind falsch; Theoreme sind wahr
3. c)Ein Theorem wird ohne Beweis akzeptiert; ein Axiom wird bewiesen
4. d)Ein Axiom wird ohne Beweis akzeptiert; ein Theorem wird bewiesen
Lösung: Ein Axiom wird ohne Beweis akzeptiert; ein Theorem wird bewiesen
Axiome sind Aussagen, die wir ohne Beweis als wahr akzeptieren - sie sind unsere Ausgangspunkte. Theoreme sind Aussagen, die mit Axiomen und anderen Theoremen als wahr bewiesen wurden.
3.
Wenn $n$ eine gerade Zahl ist, können wir $n = 2k$ schreiben, wobei $k$ eine ganze Zahl ist. Wenn $n = 12$ , was ist $k$ ?
Lösung: 6
Da $12 = 2k$ , lösen wir nach $k$ auf: $k = 12 \div 2 = 6$ . Dies bestätigt, dass 12 gerade ist, weil $12 = 2 \times 6$ .
4.
Wenn $n$ eine ungerade Zahl ist, können wir $n = 2k + 1$ schreiben. Wenn $n = 15$ , was ist $k$ ?
Lösung: 7
Da $15 = 2k + 1$ , lösen wir: $2k = 15 - 1 = 14$ , also $k = 7$ . Probe: $2(7) + 1 = 15$ .
5.
Was machen wir zuerst bei einem Widerspruchsbeweis?
1. a)Die Aussage direkt beweisen
2. b)Mehrere Beispiele geben
3. c)Zuerst die Schlussfolgerung nennen
4. d)Das Gegenteil von dem annehmen, was wir beweisen wollen
Lösung: Das Gegenteil von dem annehmen, was wir beweisen wollen
Beim Widerspruchsbeweis nehmen wir an, dass das Gegenteil dessen, was wir beweisen wollen, wahr ist. Dann zeigen wir, dass dies zu einer logischen Unmöglichkeit (Widerspruch) führt, was beweist, dass unsere ursprüngliche Aussage wahr sein muss.
6.
Warum ist die Rechnung $2 + 4 = 6$ KEIN Beweis dafür, dass die Summe zweier gerader Zahlen gerade ist?
1. a)Es beweist nur einen spezifischen Fall, nicht alle Fälle
2. b)Wir müssen stattdessen Subtraktion verwenden
3. c)Die Berechnung ist falsch
4. d)6 ist nicht gerade
Lösung: Es beweist nur einen spezifischen Fall, nicht alle Fälle
Es gibt unendlich viele Paare gerader Zahlen. Das Testen von $2 + 4 = 6$ beweist nur, dass EIN Paar funktioniert. Ein Beweis muss zeigen, dass ALLE Paare funktionieren, was die Verwendung von Variablen wie $2m + 2n = 2(m+n)$ erfordert.
7.
Seien $a = 2m$ und $b = 2n$ gerade Zahlen. Ergänze: $a + b = 2m + 2n = 2(\square)$ . Was gehört in das Kästchen?
Lösung: m+n
$a + b = 2m + 2n = 2(m + n)$ . Da $m + n$ eine ganze Zahl ist, ist $2(m+n)$ gerade. Dies beweist, dass die Summe zweier gerader Zahlen immer gerade ist!
8.
Beweise, dass das Produkt zweier ungerader Zahlen ungerade ist. Sei $a = 2m + 1$ und $b = 2n + 1$ .
Lösung: 2(2mn+m+n)+1
1. Schreibe $(2m + 1)(2n + 1)$ ausgeschrieben 4mn+2m+2n+1
2. Klammere 2 aus den ersten drei Termen aus: $4mn + 2m + 2n + 1 = 2(\square) + 1$ . Was gehört in das Kästchen? 2mn+m+n
3. Hat $2(2mn + m + n) + 1$ die Form $2k + 1$ ? ja
9.
Welche Aussage beschreibt korrekt einen Zirkelschluss in einem Beweis?
1. a)Mit QED enden
2. b)Mit einer Definition beginnen
3. c)Zu viele Schritte verwenden
4. d)Die Schlussfolgerung als Teil des Beweises verwenden
Lösung: Die Schlussfolgerung als Teil des Beweises verwenden
Ein Zirkelschluss tritt auf, wenn man das annimmt, was man beweisen möchte. Zum Beispiel beweist 'X ist wahr, weil X wahr ist' eigentlich nichts - es dreht sich nur im Kreis.
10.
Im Beweis, dass $\sqrt{2}$ irrational ist, nahmen wir an $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ ohne gemeinsame Faktoren. Wir zeigten, dass $a$ und $b$ beide gerade sein müssen. Welchen gemeinsamen Faktor teilen sie?
Lösung: 2
Wenn sowohl $a$ als auch $b$ gerade sind, haben beide 2 als Faktor. Dies widerspricht unserer Annahme, dass sie keine gemeinsamen Faktoren haben. Dieser Widerspruch beweist, dass $\sqrt{2}$ nicht als $\frac{a}{b}$ geschrieben werden kann.
11.
Beweise: Die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist ungerade.
Lösung: 2(m+n)+1
1. Sei die gerade Zahl $a = 2m$ . Die ungerade Zahl ist $b = 2n + \square$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen? 1
2. Berechne $a + b = 2m + (2n + 1)$ 2m+2n+1
3. Klammere 2 aus den ersten zwei Termen aus: $2m + 2n + 1 = 2(\square) + 1$ . Was gehört in das Kästchen? m+n
4. Ist $2(m+n) + 1$ ungerade? ja
12.
Die Aussage 'Alle Primzahlen sind ungerade' scheint für 3, 5, 7, 11, 13... wahr zu sein. Was widerlegt diese Aussage?
1. a)1 ist keine Primzahl
2. b)15 hat viele Faktoren
3. c)9 ist ungerade aber nicht prim
4. d)2 ist prim aber gerade
Lösung: 2 ist prim aber gerade
2 ist prim (nur durch 1 und sich selbst teilbar) aber sie ist gerade. Ein Gegenbeispiel reicht aus, um eine allgemeine Aussage zu widerlegen. Dies zeigt, warum wir Beweise brauchen, nicht nur Beispiele!
13.
Beweise durch Widerspruch: Es gibt keine größte ganze Zahl.
Lösung: N+1
1. Nimm das Gegenteil an: es GIBT eine größte ganze Zahl. Nenne sie $N$ . Ist $N + 1$ auch eine ganze Zahl? ja
2. Ist $N + 1 > N$ ? ja
3. Wir haben eine ganze Zahl größer als $N$ gefunden. Was ist sie? N+1
4. Das widerspricht, dass $N$ die größte ist. Daher war unsere Annahme... falsch
14.
Warum muss $a$ gerade sein, wenn $a^2$ gerade ist? Angenommen, $a$ wäre ungerade, $a = 2k + 1$ . Dann ist $a^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ . Welchen Rest lässt $a^2$ bei Division durch 2?
Lösung: 1
$2(2k^2 + 2k)$ ist ein Vielfaches von 2, also lässt $a^2$ bei Division durch 2 den Rest 1: $a^2$ wäre ungerade. Wäre $a$ ungerade, wäre also $a^2$ ungerade. Wenn $a^2$ gerade ist, kann $a$ daher nicht ungerade sein, es muss gerade sein.
15.
Wenn ' $P$ impliziert $Q$ ' wahr ist, welches der folgenden muss auch wahr sein?
1. a)'Nicht $Q$ impliziert nicht $P$ ' (Kontraposition)
2. b)' $Q$ impliziert $P$ ' (Umkehrung)
3. c)'Nicht $P$ impliziert nicht $Q$ ' (Inverse)
4. d)Alle oben genannten
Lösung: 'Nicht $Q$ impliziert nicht $P$ ' (Kontraposition)
Die Kontraposition ('Nicht $Q$ impliziert nicht $P$ ') ist immer logisch äquivalent zur ursprünglichen Aussage. Die Umkehrung und Inverse sind NICHT garantiert wahr. Beispiel: 'Wenn es regnet, ist der Boden nass' ist wahr, aber 'Wenn der Boden nass ist, hat es geregnet' ist nicht immer wahr (Sprinkler!).
16.
Beweise: Wenn $n^2$ ungerade ist, dann ist $n$ ungerade.
Lösung: $n$ ist ungerade
1. Wir beweisen die Kontraposition. Wenn $n$ gerade ist, dann ist $n^2$ ...? gerade
2. Wenn $n = 2k$ (gerade), was ist $n^2$ ? 4k^2
3. Ergänze: $4k^2 = 2(\square)$ . Was gehört in das Kästchen? 2k^2
4. Da $2(2k^2)$ gerade ist, haben wir bewiesen: wenn $n$ gerade ist, dann ist $n^2$ gerade. Durch Kontraposition, wenn $n^2$ ungerade ist, dann ist $n$ ... ungerade