Von zwei Spalten zum Fließtext

Ein Zwei-Spalten-Beweis zeigt: gegeben $3x + 5 = 20$, zu zeigen $x = 5$. Seine Zeilen sind (1) $3x + 5 = 20$, gegeben; (2) $3x = 15$, Subtraktionseigenschaft der Gleichheit; (3) $x = 5$, Divisionseigenschaft der Gleichheit. Schreibe ihn als Beweis in Textform.

Mache aus der ersten Zeile einen Einleitungssatz: Zeile 1 ist die gegebene Tatsache, also beginnt der Text: *Gegeben ist $3x + 5 = 20$.* = Einleitungssatz geschrieben

Verbinde Zeile 2 mit ihrer Begründung: *Subtrahiert man auf beiden Seiten 5, erhält man nach der Subtraktionseigenschaft der Gleichheit $3x = 15$.* = $3x = 15$

Verbinde Zeile 3 mit ihrer Begründung: *Dividiert man beide Seiten durch 3, erhält man nach der Divisionseigenschaft der Gleichheit $x = 5$.* = $x = 5$

Formuliere die Schlussfolgerung: *Also gilt $x = 5$.* Das Wort also markiert die Schlussfolgerung, die letzte Zeile der Tabelle. = Beweis in Textform fertig

Answer: Gegeben ist $3x + 5 = 20$. Subtrahiert man auf beiden Seiten 5, erhält man nach der Subtraktionseigenschaft der Gleichheit $3x = 15$. Dividiert man beide Seiten durch 3, erhält man nach der Divisionseigenschaft der Gleichheit $x = 5$. Also gilt $x = 5$. w. z. b. w.

Die Summe zweier ungerader Zahlen ist gerade

Schreibe einen Beweis in Textform: Wenn $a$ und $b$ ungerade ganze Zahlen sind, dann ist $a + b$ gerade.

Benenne die Objekte mit verschiedenen Buchstaben: Seien $a$ und $b$ ungerade ganze Zahlen. Da sie ungerade sind, gilt $a = 2m + 1$ und $b = 2n + 1$ für ganze Zahlen $m$ und $n$. = $a = 2m + 1$, $b = 2n + 1$

Addiere und vereinfache: Also ist $a + b = (2m + 1) + (2n + 1) = 2m + 2n + 2$. = $a + b = 2m + 2n + 2$

Klammere 2 aus: Daraus folgt $a + b = 2(m + n + 1)$. = $a + b = 2(m + n + 1)$

Begründe die Schlussfolgerung: Weil $m + n + 1$ eine ganze Zahl ist (eine Summe ganzer Zahlen), ist $a + b$ das Doppelte einer ganzen Zahl und damit nach Definition gerade. = $a + b$ ist gerade

Answer: Seien $a$ und $b$ ungerade ganze Zahlen. Da sie ungerade sind, gilt $a = 2m + 1$ und $b = 2n + 1$ für ganze Zahlen $m$ und $n$. Dann ist $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$. Weil $m + n + 1$ eine ganze Zahl ist, ist $a + b$ nach Definition einer geraden Zahl gerade. w. z. b. w.

Drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen

Beweise in Textform: Die Summe von drei beliebigen aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist durch 3 teilbar. Prüfe das Ergebnis danach mit $14 + 15 + 16$.

Benenne die drei Zahlen: Sei $n$ die kleinste Zahl. Da die Zahlen aufeinanderfolgen, sind die beiden anderen $n + 1$ und $n + 2$. = $n$, $n + 1$, $n + 2$

Addiere sie: Ihre Summe ist $n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3$. = $3n + 3$

Klammere aus und schließe: Also ist die Summe $3(n + 1)$. Weil $n + 1$ eine ganze Zahl ist, ist die Summe das Dreifache einer ganzen Zahl, folglich durch 3 teilbar. = Summe $= 3(n + 1)$

Prüfe an einem Beispiel (nicht Teil des Beweises): Für $14, 15, 16$ ist $n = 14$, also sollte die Summe $3 \times 15 = 45$ sein. Tatsächlich gilt $14 + 15 + 16 = 45$. = $45 = 3 \times 15$

Answer: Seien die Zahlen $n$, $n + 1$ und $n + 2$. Ihre Summe ist $3n + 3 = 3(n + 1)$, und da $n + 1$ eine ganze Zahl ist, ist die Summe durch 3 teilbar. Zusatz aus dem Beweis: Die Summe ist immer das Dreifache der mittleren Zahl. w. z. b. w.

Scheitelwinkel sind gleich groß

Zwei Geraden schneiden sich und bilden vier Winkel $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$, $\angle 4$, der Reihe nach um den Schnittpunkt. Also sind $\angle 1$ und $\angle 3$ Scheitelwinkel. Beweise in Textform, dass $\angle 1 = \angle 3$ (die Lektion Zwei-Spalten-Beweise beweist denselben Satz als Tabelle).

Nutze das erste Paar Nebenwinkel: Da $\angle 1$ und $\angle 2$ zusammen eine Gerade bilden, sind sie Nebenwinkel, also gilt $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. = $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

Nutze das zweite Paar Nebenwinkel: Ebenso bilden $\angle 2$ und $\angle 3$ eine Gerade, also gilt $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$. = $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$

Verbinde die beiden Gleichungen: Beide Summen sind $180^\circ$, also gilt durch Einsetzen $\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$. = $\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$

Subtrahiere und schließe: Subtrahiert man $\angle 2$ auf beiden Seiten (Subtraktionseigenschaft der Gleichheit), erhält man $\angle 1 = \angle 3$. Probe: Ist $\angle 1 = 65^\circ$, dann ist $\angle 2 = 115^\circ$ und $\angle 3 = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$. = $\angle 1 = \angle 3$

Answer: Die Winkel 1 und 2 sind Nebenwinkel, also gilt $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. Die Winkel 2 und 3 sind ebenfalls Nebenwinkel, also gilt $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$. Durch Einsetzen folgt $\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$, und Subtrahieren von $\angle 2$ liefert $\angle 1 = \angle 3$. Also sind Scheitelwinkel gleich groß. w. z. b. w.

Die Lücke finden

Ein Schüler will beweisen: Das Produkt einer geraden ganzen Zahl mit einer beliebigen ganzen Zahl ist gerade. Er schreibt: *Sei $a = 2k$ und $b = 2k$. Dann ist $ab = 4k^2 = 2(2k^2)$, also ist $ab$ gerade.* Finde die Lücken und repariere den Beweis.

Lies, was die Aussage wirklich sagt: Die Aussage handelt von einer geraden Zahl $a$ und einer **beliebigen** ganzen Zahl $b$, die ungerade und von $a$ verschieden sein darf. = $b$ kann jede ganze Zahl sein

Prüfe jeden Satz: Mit $b = 2k$ werden zwei Dinge angenommen, die nie gegeben waren: dass $b$ gerade ist und dass $b = a$ (gleicher Buchstabe $k$). Der Beweis deckt nur Produkte wie $6 \times 6$ ab, nicht $6 \times 7$. = Lücke: $b = 2k$ ist nicht begründet

Repariere den Anfang: Sei $a$ gerade und $b$ eine beliebige ganze Zahl. Da $a$ gerade ist, gilt $a = 2k$ für eine ganze Zahl $k$. Über $b$ wird nichts angenommen. = $a = 2k$, $b$ beliebig

Beende den Beweis mit Begründungen: Dann ist $ab = 2kb = 2(kb)$. Weil $kb$ eine ganze Zahl ist (ein Produkt ganzer Zahlen), ist $ab$ nach Definition gerade. Probe: $6 \times 7 = 42 = 2 \times 21$. = $ab = 2(kb)$ ist gerade

Answer: Der ursprüngliche Beweis hat eine Lücke: Er nimmt stillschweigend an, dass $b$ gerade und gleich $a$ ist. Richtiger Beweis in Textform: Sei $a$ gerade und $b$ eine beliebige ganze Zahl. Da $a$ gerade ist, gilt $a = 2k$ für eine ganze Zahl $k$. Dann ist $ab = 2(kb)$, und da $kb$ eine ganze Zahl ist, ist $ab$ gerade. w. z. b. w.

Mistake: Eine Kette von Gleichungen ohne Worte schreiben

Why: Eine Liste wie $a = 2m + 1$, $a + b = 2(m + n + 1)$ sagt nicht, woher jede Zeile kommt und was sie beweist. Der Leser muss die Begründungen erraten.

Correct: Hänge an jede Aussage eine Begründung (*Da $a$ ungerade ist, gilt $a = 2m + 1$...*) und schließe mit einem Satz, der die Behauptung ausspricht.

Mistake: Denselben Buchstaben für zwei verschiedene Zahlen benutzen

Why: Wer $a = 2k + 1$ und $b = 2k + 1$ schreibt, erzwingt $a = b$. Der Beweis gilt dann nur für Summen wie $7 + 7$.

Correct: Gib jedem Objekt eine eigene Variable: $a = 2m + 1$ und $b = 2n + 1$.

Mistake: Mit Beispielen beweisen

Why: $3 + 5 = 8$ und $7 + 9 = 16$ sind gerade, aber ein paar Beispiele können nie alle ungeraden Zahlen abdecken.

Correct: Benutze Variablen, die für jeden möglichen Fall stehen. Beispiele sind nur als Probe nach dem Beweis nützlich.

Mistake: Die Behauptung als Begründung verwenden

Why: Wer schreibt *Da $a + b$ gerade ist, ist es gleich $2(m + n + 1)$*, setzt genau das voraus, was bewiesen werden soll (Zirkelschluss).

Correct: Die Wörter da und weil dürfen nur auf Tatsachen zeigen, die du schon hast: das Gegebene, Definitionen, Eigenschaften oder frühere Sätze.

Kalenderrätsel

Drei nebeneinanderliegende Tage in einer Kalenderzeile sind aufeinanderfolgende ganze Zahlen. Der Beweis aus dieser Lektion erklärt daher einen bekannten Zahlentrick.

Wähle 12, 13 und 14: Die Summe ist $39 = 3 \times 13$, das Dreifache des mittleren Tages.

Scheren und Straßenkreuzungen

Wo sich zwei gerade Objekte kreuzen, etwa Scherenblätter, Straßen oder die Balken eines Dachstuhls, erlaubt der Scheitelwinkelsatz, einen Winkel zu messen und den gegenüberliegenden sofort zu kennen.

Bilden die Blätter einer offenen Schere einen Winkel von $35^\circ$, dann bilden auch die Griffe einen Winkel von $35^\circ$.

Paarweise verpacken

Läden und Lager verpacken Waren oft zu zweit pro Karton. Der Beweis, dass eine gerade Zahl mal eine beliebige ganze Zahl gerade ist, sagt dir, wann sich ein Raster von Teilen ohne Rest in Paare aufteilen lässt.

Ein Blech mit 8 Reihen zu je 7 Keksen enthält $56 = 2 \times 28$ Kekse, also füllen sie 28 Tüten zu je zwei.

Q: Ist ein Beweis in Textform weniger streng als ein Zwei-Spalten-Beweis?

A: Nein. Beide Formen enthalten dieselbe Logik. Ein Beweis in Textform ist nur anders angeordnet: Jede Aussage braucht weiterhin eine Begründung, sie steht nur im Satz statt in einer zweiten Spalte.

Q: Wie lang sollte ein Beweis in Textform sein?

A: So lang, dass eine Mitschülerin jedem Schritt folgen kann, ohne nach dem Warum zu fragen. Für die Beweise in dieser Lektion sind 3 bis 6 Sätze typisch. Einfache Algebra wie das Ausklammern von 2 braucht keinen eigenen Satz.

Q: Darf ich in einem Beweis in Textform Beispiele verwenden?

A: Nur als Probe, deutlich vom Beweis getrennt. Ein Satz wie *zum Beispiel $3 + 5 = 8$* zeigt die Idee, aber der Beweis selbst muss mit Variablen arbeiten, die jeden Fall abdecken.

Q: Welches Signalwort soll ich verwenden?

A: Verwende da oder weil vor einer Begründung und also, daher oder daraus folgt vor einer neuen Aussage. Wechsle ab, damit sich der Text natürlich liest, aber achte darauf, dass jede Aussage in ihrem Satz eine Begründung hat.