Wie lang sollte ein Beweis in Textform sein?

So lang, dass eine Mitschülerin jedem Schritt folgen kann, ohne nach dem Warum zu fragen. Für die Beweise in dieser Lektion sind 3 bis 6 Sätze typisch. Einfache Algebra wie das Ausklammern von 2 braucht keinen eigenen Satz.

Darf ich in einem Beweis in Textform Beispiele verwenden?

Nur als Probe, deutlich vom Beweis getrennt. Ein Satz wie *zum Beispiel $3 + 5 = 8$* zeigt die Idee, aber der Beweis selbst muss mit Variablen arbeiten, die jeden Fall abdecken.

Welches Signalwort soll ich verwenden?

Verwende da oder weil vor einer Begründung und also, daher oder daraus folgt vor einer neuen Aussage. Wechsle ab, damit sich der Text natürlich liest, aber achte darauf, dass jede Aussage in ihrem Satz eine Begründung hat.

Lehrermaterialien

Beweise in Textform

Lerne, einen Beweis in zusammenhängenden Sätzen mit Signalwörtern wie da und also zu schreiben, Zwei-Spalten-Beweise umzuformen und Beweise auf Lücken zu prüfen.

Fortgeschritten30 MinLektion

Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Ein Beweis in Textform (Fließtextbeweis) ist ein Beweis, der in zusammenhängenden Sätzen statt in einer Tabelle geschrieben wird. Er enthält genau dieselbe Logik wie ein Zwei-Spalten-Beweis: Jede Aussage braucht weiterhin eine Begründung, aber die Begründung steht im Satz selbst.

Ein guter Beweis in Textform hat drei Teile:

1.Anfang: Nenne, was gegeben ist, und gib jedem Objekt einen eigenen Buchstaben (*Seien $a$ und $b$ ungerade ganze Zahlen.*)
2.Kette: Jeder Satz macht eine Aussage und nennt ihre Begründung (eine Definition, eine Eigenschaft der Gleichheit, einen früheren Satz).
3.Ende: Der letzte Satz nennt genau das, was zu zeigen war, oft gefolgt von w. z. b. w. oder $\blacksquare$ .

Signalwörter verbinden die Sätze:

*da*, *weil*, *nach Definition von* leiten eine Begründung ein
*also*, *daher*, *folglich*, *daraus folgt* leiten eine neue Aussage ein

\text{gegeben} \;\Rightarrow\; \text{Aussage + Begründung} \;\Rightarrow\; \dots \;\Rightarrow\; \text{zu zeigen}

Probier es gleich aus

\angle 1

und

\angle 2

sind Nebenwinkel, und

\angle 1 = 72^\circ

. Wie viel Grad hat

\angle 2

Lösungsbeispiele

Ein Zwei-Spalten-Beweis zeigt: gegeben $3x + 5 = 20$ , zu zeigen $x = 5$ . Seine Zeilen sind (1) $3x + 5 = 20$ , gegeben; (2) $3x = 15$ , Subtraktionseigenschaft der Gleichheit; (3) $x = 5$ , Divisionseigenschaft der Gleichheit. Schreibe ihn als Beweis in Textform.

Mache aus der ersten Zeile einen Einleitungssatz

Zeile 1 ist die gegebene Tatsache, also beginnt der Text: *Gegeben ist $3x + 5 = 20$ .* → Einleitungssatz geschrieben

Verbinde Zeile 2 mit ihrer Begründung

*Subtrahiert man auf beiden Seiten 5, erhält man nach der Subtraktionseigenschaft der Gleichheit $3x = 15$ .* → $3x = 15$

Verbinde Zeile 3 mit ihrer Begründung

*Dividiert man beide Seiten durch 3, erhält man nach der Divisionseigenschaft der Gleichheit $x = 5$ .* → $x = 5$

Formuliere die Schlussfolgerung

*Also gilt $x = 5$ .* Das Wort also markiert die Schlussfolgerung, die letzte Zeile der Tabelle. → Beweis in Textform fertig

Antwort: Gegeben ist $3x + 5 = 20$ . Subtrahiert man auf beiden Seiten 5, erhält man nach der Subtraktionseigenschaft der Gleichheit $3x = 15$ . Dividiert man beide Seiten durch 3, erhält man nach der Divisionseigenschaft der Gleichheit $x = 5$ . Also gilt $x = 5$ . w. z. b. w.

Häufige Fehler

Eine Kette von Gleichungen ohne Worte schreiben

Warum es falsch ist: Eine Liste wie $a = 2m + 1$ , $a + b = 2(m + n + 1)$ sagt nicht, woher jede Zeile kommt und was sie beweist. Der Leser muss die Begründungen erraten.

Richtig: Hänge an jede Aussage eine Begründung (*Da $a$ ungerade ist, gilt $a = 2m + 1$ ...*) und schließe mit einem Satz, der die Behauptung ausspricht.

Denselben Buchstaben für zwei verschiedene Zahlen benutzen

Warum es falsch ist: Wer $a = 2k + 1$ und $b = 2k + 1$ schreibt, erzwingt $a = b$ . Der Beweis gilt dann nur für Summen wie $7 + 7$ .

Richtig: Gib jedem Objekt eine eigene Variable: $a = 2m + 1$ und $b = 2n + 1$ .

Mit Beispielen beweisen

Warum es falsch ist: $3 + 5 = 8$ und $7 + 9 = 16$ sind gerade, aber ein paar Beispiele können nie alle ungeraden Zahlen abdecken.

Richtig: Benutze Variablen, die für jeden möglichen Fall stehen. Beispiele sind nur als Probe nach dem Beweis nützlich.

Die Behauptung als Begründung verwenden

Warum es falsch ist: Wer schreibt *Da $a + b$ gerade ist, ist es gleich $2(m + n + 1)$ *, setzt genau das voraus, was bewiesen werden soll (Zirkelschluss).

Richtig: Die Wörter da und weil dürfen nur auf Tatsachen zeigen, die du schon hast: das Gegebene, Definitionen, Eigenschaften oder frühere Sätze.

Interaktive Visualisierung

Winkel-Explorer

∠1 = 65°∠2 = 115°∠3 = 65°∠4 = 115°

∠1 = ∠3 = 65°, ∠2 = ∠4 = 115°

Scheitelwinkel liegen sich am Schnittpunkt zweier Geraden gegenüber. Sie sind immer gleich groß.

Ziehe den blauen Punkt, um die zweite Gerade zu drehen, und beobachte die vier Winkel.

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Welches Signalwort leitet in einem Beweis in Textform eine neue Aussage (eine Folgerung) ein und keine Begründung?

Übungsaufgaben: Beweise in Textform

1. Welches Signalwort leitet in einem Beweis in Textform eine neue Aussage (eine Folgerung) ein und keine Begründung?
2. Ein Beweis in Textform enthält den Satz: *Da a ungerade ist, gilt a = 2m + 1 für eine ganze Zahl m.* Welche Begründung benutzt dieser Satz?
3. ∠ 1 und ∠ 2 sind Nebenwinkel, und ∠ 1 = 72°. Wie viel Grad hat ∠ 2?
4. Ein Beweis in Textform zeigt, dass drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen n, n + 1, n + 2 zusammen 3(n + 1) ergeben. Für 20 + 21 + 22 ist die Summe das Dreifache welcher Zahl?
5. Zwei Geraden schneiden sich. ∠ 1 = 58°, ∠ 2 liegt daneben und ∠ 3 liegt ∠ 1 gegenüber. Folge dem Beweis des Scheitelwinkelsatzes, um ∠ 3 zu finden.
6. Folge dem Beweis, dass ungerade + ungerade gerade ist, mit den ungeraden Zahlen a = 7 und b = 11, geschrieben als a = 2m + 1 und b = 2n + 1.
7. In diesem Beweis, dass die Summe zweier ungerader Zahlen gerade ist, fehlt ein Satz: *Seien a und b ungerade. Dann gilt a = 2m + 1 und b = 2n + 1 für ganze Zahlen m und n. [ ? ] Da m + n + 1 eine ganze Zahl ist, ist a + b gerade.* Welcher Satz füllt die Lücke?
8. Welcher Satz dieses Beweises in Textform ist falsch? (1) Sei a gerade und b eine beliebige ganze Zahl, also a = 2k für eine ganze Zahl k. (2) Dann ist ab = 2kb. (3) Also ist ab = 2(kb). (4) Da kb eine ganze Zahl ist, ist ab ungerade.
9. Ein Zwei-Spalten-Beweis beginnt mit dem Gegebenen 4x - 7 = 21 und endet mit x = 7. In der Textform lautet der zweite Satz: *Addiert man auf beiden Seiten 7, erhält man nach der Additionseigenschaft der Gleichheit 4x = \square.* Welche Zahl gehört in das Kästchen?
10. Der Beweis, dass eine gerade Zahl mal eine beliebige ganze Zahl gerade ist, schreibt a = 2k und erhält ab = 2(kb). Was ist kb für a = 6 und b = 5?
11. Forme diesen Beweis in Textform in einen Zwei-Spalten-Beweis um: *Gegeben ist 2(x + 3) = 18. Nach dem Distributivgesetz gilt 2x + 6 = 18. Subtrahiert man auf beiden Seiten 6, erhält man 2x = 12. Dividiert man beide Seiten durch 2, erhält man x = 6.* Ergänze die Aussagen.
12. Drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen ergeben zusammen 96. Nutze das Ergebnis des Beweises, n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1), um sie zu finden.
13. Folge dem Beweis, dass eine gerade Zahl mal eine beliebige ganze Zahl gerade ist, mit a = 14 und b = 9: Schreibe a = 2k, dann ab = 2(kb).
14. Ein Schüler schreibt: *Seien a und b ungerade, also a = 2k + 1 und b = 2k + 1. Dann ist a + b = 4k + 2 = 2(2k + 1), also ist a + b gerade.* Wo ist die Lücke in diesem Beweis?
15. Ein Beweis in Textform zeigt, dass fünf aufeinanderfolgende ganze Zahlen zusammen n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5(n + 2) ergeben. Berechne damit 21 + 22 + 23 + 24 + 25.
16. Zwei Scheitelwinkel messen (3x + 10)° und (5x - 30)°. Argumentiere wie in einem Beweis in Textform: Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt 3x + 10 = 5x - 30. Bestimme x, den Winkel und seinen Nebenwinkel.
17. Zwei Geraden schneiden sich. ∠ 1 = (2x + 15)° und ∠ 2 = (4x + 45)° sind Nebenwinkel, und ∠ 3 ist Scheitelwinkel zu ∠ 1. Bestimme x, ∠ 1 und ∠ 3.
18. Beweise, dass die Summe dreier aufeinanderfolgender gerader Zahlen 2n, 2n + 2, 2n + 4 durch 6 teilbar ist, und teste das Ergebnis mit 18, 20 und 22.

Warum es wichtig ist

Die meisten Beweise in Schulbüchern, Wettbewerben und an der Universität sind Beweise in Textform. Deshalb ist es wichtig, sie lesen und schreiben zu können:

Prüfungen und Wettbewerbe: Punkte gibt es für die Argumentation, und ein klarer Text zeigt jeden Schritt
Kommunikation: Ein Beweis in Textform liest sich wie eine Erklärung, die du einer Mitschülerin geben könntest
Kontrolle: Wenn neben jeder Aussage ihre Begründung steht, fallen Lücken auf, die eine bloße Liste von Gleichungen versteckt
Über Mathe hinaus: Juristen, Forschende und Programmierer bauen Argumente genauso auf, Aussage für Aussage mit je einer Begründung

Wenn du sicher zwischen der Zwei-Spalten-Form und dem Fließtext wechseln kannst, wählst du jeweils die Form, die zur Aufgabe passt.

Anwendungen im echten Leben

Kalenderrätsel

Drei nebeneinanderliegende Tage in einer Kalenderzeile sind aufeinanderfolgende ganze Zahlen. Der Beweis aus dieser Lektion erklärt daher einen bekannten Zahlentrick.

Beispiel:

Wähle 12, 13 und 14: Die Summe ist $39 = 3 \times 13$ , das Dreifache des mittleren Tages.

1Probiere es selbst

Eine Freundin wählt drei aufeinanderfolgende Daten, 23, 24 und 25, und du nennst die Summe, ohne einzeln zu addieren.

Wie groß ist die Summe der drei Daten?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Nutze den Beweis: Die Summe ist das Dreifache der mittleren Zahl.

Scheren und Straßenkreuzungen

Wo sich zwei gerade Objekte kreuzen, etwa Scherenblätter, Straßen oder die Balken eines Dachstuhls, erlaubt der Scheitelwinkelsatz, einen Winkel zu messen und den gegenüberliegenden sofort zu kennen.

Beispiel:

Bilden die Blätter einer offenen Schere einen Winkel von $35^\circ$ , dann bilden auch die Griffe einen Winkel von $35^\circ$ .

2Probiere es selbst

Zwei gerade Straßen kreuzen sich. Der Winkel zwischen ihnen auf der Nordseite beträgt $62^\circ$ .

Wie groß sind der Winkel daneben und der gegenüberliegende Winkel?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Nutze ein Paar Nebenwinkel, dann das nächste:

Paarweise verpacken

Läden und Lager verpacken Waren oft zu zweit pro Karton. Der Beweis, dass eine gerade Zahl mal eine beliebige ganze Zahl gerade ist, sagt dir, wann sich ein Raster von Teilen ohne Rest in Paare aufteilen lässt.

Beispiel:

Ein Blech mit 8 Reihen zu je 7 Keksen enthält $56 = 2 \times 28$ Kekse, also füllen sie 28 Tüten zu je zwei.

3Probiere es selbst

Ein Boden ist mit 6 Reihen zu je 13 Fliesen belegt. Die Fliesen wurden in Kartons zu je 2 Stück geliefert.

Wie viele volle Kartons wurden verbraucht, und wie viele Fliesen bleiben übrig?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Gesamtzahl als $2(kb)$ mit $6 = 2 \times 3$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Ein Beweis in Textform enthält dieselben Aussagen und Begründungen wie ein Zwei-Spalten-Beweis, aber als zusammenhängende Sätze
2Beginne mit dem Gegebenen und gib jedem Objekt einen eigenen Buchstaben, zum Beispiel $a = 2m + 1$ und $b = 2n + 1$
3Da, weil und nach Definition leiten Begründungen ein; also, daher und daraus folgt leiten neue Aussagen ein
4Gerade Zahlen sind $2k$ , ungerade Zahlen $2k + 1$ , und drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen ergeben zusammen $3(n + 1)$
5Scheitelwinkel sind gleich groß, weil jeder von ihnen mit demselben Winkel dazwischen Nebenwinkel ( $180^\circ$ ) bildet
6Prüfe einen Beweis Satz für Satz: Ist die Aussage begründet, wird etwas angenommen, das nicht gegeben war, nennt der letzte Satz das Ziel?

Häufig gestellte Fragen

Nein. Beide Formen enthalten dieselbe Logik. Ein Beweis in Textform ist nur anders angeordnet: Jede Aussage braucht weiterhin eine Begründung, sie steht nur im Satz statt in einer zweiten Spalte.

Glossar

Beweis in Textform: Ein Beweis in zusammenhängenden Sätzen, in dem jede Aussage zusammen mit ihrer Begründung steht
Zwei-Spalten-Beweis: Ein Beweis als Tabelle mit Aussagen links und Begründungen rechts
Signalwort: Ein Wort wie da, weil, also oder daher, das zeigt, wie ein Satz mit den vorigen zusammenhängt
Nebenwinkel: Zwei benachbarte Winkel, die zusammen eine Gerade bilden; ihre Größen ergeben zusammen $180^\circ$
Scheitelwinkel: Zwei gegenüberliegende Winkel an zwei sich schneidenden Geraden; sie sind immer gleich groß
Aufeinanderfolgende ganze Zahlen: Ganze Zahlen, die lückenlos aufeinander folgen, etwa $n$ , $n + 1$ , $n + 2$

Formelkarte

Gerade ganze Zahl

a = 2k

für eine ganze Zahl $k$

Ungerade ganze Zahl

a = 2k + 1

für eine ganze Zahl $k$

Drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen

n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1)

Die Summe ist immer das Dreifache der mittleren Zahl

Nebenwinkel und Scheitelwinkel

\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ, \quad \angle 1 = \angle 3

Nebenwinkel ergeben zusammen $180^\circ$; Scheitelwinkel sind gleich groß

Mehr zu diesem Thema

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Interaktive Visualisierung

Winkel-Explorer

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Verlauf

Übungsaufgaben

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Kalenderrätsel

Scheren und Straßenkreuzungen

Paarweise verpacken

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Gerade ganze Zahl

Ungerade ganze Zahl

Drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen

Nebenwinkel und Scheitelwinkel

Mehr zu diesem Thema

Einführung in mathematische Beweise

Direkter Beweis

Zwei-Spalten-Beweise

Geometrische Beweise