Widerspruchsbeweis

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Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Du willst durch Widerspruch beweisen, dass $\sqrt{3}$ irrational ist. Wie lautet die richtige erste Zeile?
1. a)Angenommen, $3$ ist irrational
2. b)Angenommen, $\sqrt{3}$ ist rational
3. c)Angenommen, $\sqrt{3} = 3$
4. d)Angenommen, $\sqrt{3}$ ist irrational
2.
Wie viele Personen brauchst du mindestens, damit garantiert zwei von ihnen im selben Monat geboren sind?
3.
Welche Aussage ist für jeden Wahrheitswert von $p$ falsch und damit ein Widerspruch?
1. a) $p \lor \neg p$
2. b) $p \land \neg p$
3. c) $p \Rightarrow p$
4. d) $\neg\neg p$
4.
Jemand behauptet, $N = 100$ sei die größte gerade Zahl. Folge dem Beweis, um zu zeigen, dass die Behauptung falsch ist.
5.
Im Beweis, dass $\sqrt{2}$ irrational ist, quadrierst du $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ und multiplizierst mit $b^2$ . Du erhältst $a^2 = k \cdot b^2$ . Was ist $k$ ?
6.
Zeige mit dem Schubfachprinzip, dass in einer Gruppe von 13 Personen ein Geburtsmonat mehrfach vorkommt.
7.
Was ist die richtige Negation von "Jede Primzahl ist ungerade"?
1. a)Jede Primzahl ist gerade
2. b)Jede ungerade Zahl ist eine Primzahl
3. c)Keine Primzahl ist ungerade
4. d)Mindestens eine Primzahl ist nicht ungerade
8.
Du willst $x > 5$ durch Widerspruch beweisen. Was nimmst du an?
1. a) $x \le 5$
2. b) $x \ge 5$
3. c) $x \neq 5$
4. d) $x < 5$
9.
In einer Kiste liegen einzelne Handschuhe in 7 verschiedenen Farben. Wie viele Handschuhe musst du blind nehmen, um sicher zwei derselben Farbe zu haben?
10.
Zeige mit dem Taschenrechner, dass $\sqrt{2}$ echt zwischen $1{,}4142$ und $1{,}4143$ liegt und somit keiner der beiden Zahlen gleich ist.
11.
Jemand behauptet, $\frac{1}{1000}$ sei die kleinste positive rationale Zahl. Halbiere sie wie im Beweis. Welche kleinere positive rationale Zahl erhältst du? Schreibe sie als Bruch.
12.
Wie viele Personen garantieren, dass zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben (Tag und Monat), wenn der 29. Februar als möglicher Geburtstag zählt?
13.
Führe Euklids Beweis mit der Primzahlliste $2, 3, 5$ durch: Bilde $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 1$ und prüfe, dass keine Primzahl der Liste sie teilt.
14.
Berechne in Euklids Beweis $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 + 1$ für die ersten fünf Primzahlen.
15.
Mit den Primzahlen $2, 3, 5, 7, 11, 13$ ist Euklids Zahl $N = 30031 = 59 \times 509$ , also keine Primzahl. Was bedeutet das für den Beweis?
1. a)Der Beweis scheitert, weil $N$ keine Primzahl ist
2. b)Es gibt nur sechs Primzahlen
3. c) $N$ hat Primfaktoren, die nicht auf der Liste stehen, also funktioniert der Beweis
4. d) $59$ ist die größte Primzahl
16.
Folge dem Beweis, dass $\sqrt{2}$ irrational ist. Nimm $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ vollständig gekürzt an und setze die Zahlen ein.
17.
Beweise auf dieselbe Weise, dass $\sqrt{3}$ irrational ist. Nimm $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ vollständig gekürzt an und setze die Zahlen ein. Verwende: Teilt eine Primzahl $a^2$ , dann teilt sie $a$ .
18.
Führe Euklids Beweis mit den Primzahlen $2, 3, 5, 7, 11, 13$ durch und finde die Primfaktoren von $N$ .