Leitfaden für Lehrer: Widerspruchsbeweis

Lerne, eine Aussage zu beweisen, indem du annimmst, dass sie falsch ist, und zeigst, dass daraus etwas Unmögliches folgt, mit klassischen Beweisen wie der Irrationalität der Wurzel aus 2.

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10 Fragen zu Mathematische Beweise. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Die richtige Negation einer Aussage als erste Zeile eines Beweises aufschreiben
Erklären, warum ein Widerspruch die ursprüngliche Aussage beweist
Die klassischen Beweise wiedergeben, dass die Wurzel aus 2 irrational ist und dass es unendlich viele Primzahlen gibt
Das Schubfachprinzip auf Zählaufgaben anwenden
Den Widerspruchsbeweis vom direkten Beweis und vom Beweis durch Kontraposition unterscheiden

Voraussetzungen

• Einführung in mathematische Beweise: Voraussetzung, Behauptung, q. e. d.
• Direkter Beweis, einschließlich der Tatsachen, dass gerade Zahlen die Form $2k$ haben und das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade ist
• Negation und Kontraposition einer Wenn-dann-Aussage
• Rationale Zahlen als Brüche und das vollständige Kürzen von Brüchen
• Primzahlen und Primfaktoren

Diskussionsstarter

1. Inwiefern ähnelt ein Widerspruchsbeweis einem Detektiv, der einen Verdächtigen ausschließt?
2. Warum braucht der Beweis, dass Wurzel 2 irrational ist, die Worte "vollständig gekürzt"?
3. Euklids Zahl $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 + 1$ ist keine Primzahl. Macht das den Beweis kaputt?
4. Fällt dir eine Aussage ein, die direkt sehr schwer, durch Widerspruch aber leicht zu beweisen wäre?

Häufige Missverständnisse

Die Negation von "alle" ist "keine"

Abhilfe: Nutze ein Beispiel aus der Klasse: "Alle Schülerinnen und Schüler in diesem Raum tragen eine Brille" ist falsch, sobald EINE Person keine trägt. Die Negation lautet also "mindestens eine Person trägt keine Brille".

In Euklids Beweis ist die Zahl $p_1 p_2 \cdots p_n + 1$ immer eine Primzahl

Abhilfe: Berechne $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 + 1 = 30031 = 59 \times 509$ . Der Beweis braucht nur einen Primfaktor außerhalb der Liste, keine neue Primzahl gleich $N$ .

Ein Widerspruchsbeweis ist nur ein direkter Beweis mit zusätzlichen Worten

Abhilfe: Zeige einen Beweis, in dem die Annahme unverzichtbar ist, wie bei Wurzel 2: Ohne die Annahme, dass $\frac{a}{b}$ existiert, gibt es nichts, womit man rechnen könnte.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit den Beweisen zur größten geraden Zahl und zu den Geburtsmonaten beginnen, die nur Zählen brauchen
• Negationen üben, bevor ein Beweis geschrieben wird
• Den Beweis zu Wurzel 2 als Gerüst mit Lücken für jeden Schritt ausgeben

Für Schüler auf Niveau:

• Selbstständig beweisen, dass es keine kleinste positive rationale Zahl gibt
• Euklids Beweis mit den Primzahlen 2, 3 und 5 neu schreiben und die Zahlen prüfen
• Schubfachaufgaben mit Socken, Geburtstagen und Codes lösen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Beweisen, dass die Wurzel aus 3 irrational ist, und erklären, warum dieselbe Methode bei der Wurzel aus 4 scheitert
• Beweisen, dass die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl irrational ist
• Einen Kontrapositionsbeweis und einen Widerspruchsbeweis derselben Aussage vergleichen

Standardausrichtung

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Tragfähige Argumente aufbauen und die Argumentation anderer kritisch prüfen
HSN-RN.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.RN.B.3)
Erklären, warum Summe und Produkt zweier rationaler Zahlen rational sind und die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl irrational ist
8.NS.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.NS.A.1)
Wissen, dass Zahlen, die nicht rational sind, irrational heißen

Lektionsressourcen

visualWahrheitstabelle: P UND NICHT P
Die Schülerinnen und Schüler prüfen, dass P UND NICHT P in jeder Zeile falsch ist, der logische Kern jedes Widerspruchs
activityNegations-Staffel
Teams schreiben abwechselnd die Negation von Aussagen mit jedes, einige, keines, größer als und unendlich viele
worksheetGerüst für klassische Beweise
Lückentexte zu den Beweisen für Wurzel 2, unendlich viele Primzahlen und das Schubfachprinzip

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ein Widerspruchsbeweis (auch indirekter Beweis) beweist eine Aussage

P

auf einem Umweg: Du nimmst an, dass

P

falsch ist, und zeigst, dass diese Annahme zu etwas Unmöglichem führt. Da korrektes Schließen aus einer wahren Annahme niemals etwas Unmögliches liefern kann, muss die Annahme falsch sein, also ist

P

wahr.

Die Methode hat vier Schritte:

1.Negation annehmen: Die erste Zeile lautet "Angenommen, $\neg P$ gilt (Annahme für den Widerspruch)."
2.Schließen mit Definitionen und bekannten Tatsachen, genau wie bei einem direkten Beweis.
3.Einen Widerspruch erreichen: Eine Aussage $Q$ und ihr Gegenteil $\neg Q$ gelten beide (zum Beispiel " $a/b$ ist vollständig gekürzt" und " $a$ und $b$ sind beide gerade"), oder eine bekannte Tatsache wird verletzt (wie $1 = 0$ ).
4.Folgern: Die Annahme $\neg P$ war falsch, also ist $P$ wahr.

In Symbolen: Wenn

\neg P \Rightarrow (Q \land \neg Q)

, dann gilt

P

. Das funktioniert, weil

Q \land \neg Q

immer falsch ist. Wähle in der interaktiven Wahrheitstabelle weiter unten auf dieser Seite NICHT, um zu sehen, dass

\neg P

immer das Gegenteil von

P

ist, und dann UND: In den zwei Zeilen, in denen

Q

das Gegenteil von

P

ist (F, W und W, F), ist

P \land Q

gleich F. Also ist

P \land \neg P

in jeder Zeile F (W = wahr, F = falsch).

Die Negation richtig aufschreiben ist die wichtigste Zeile des Beweises:

" $\sqrt{2}$ ist irrational" wird zu " $\sqrt{2}$ ist rational"
"Es gibt unendlich viele Primzahlen" wird zu "Es gibt nur endlich viele Primzahlen"
"Es gibt keine größte gerade Zahl" wird zu "Es gibt eine größte gerade Zahl"
" $x > 5$ " wird zu " $x \le 5$ "
"Jedes ... hat die Eigenschaft" wird zu "Mindestens ein ... hat die Eigenschaft nicht"

Widerspruch oder Kontraposition? Ein Beweis durch Kontraposition (vorige Lektion) beweist "wenn

p

, dann

q

", indem er nur

\neg q

annimmt und auf ein festes Ziel hinarbeitet:

\neg p

. Ein Widerspruchsbeweis nimmt an, dass die ganze Aussage falsch ist (bei einer Wenn-dann-Aussage:

p

und

\neg q

zusammen), und darf bei irgendeiner Unmöglichkeit enden.

Lösungsbeispiele

Beweise, dass es keine größte gerade Zahl gibt.

Schreibe die Negation als erste Zeile

Angenommen, es gibt eine größte gerade Zahl $N$ → Annahme: $N$ ist gerade und $N \ge$ jede gerade Zahl

Verwende die Definition von gerade

$N = 2k$ für eine ganze Zahl $k$ , also $N + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1)$ → $N + 2$ ist gerade

Vergleiche die beiden Zahlen

$N + 2 > N$ → Es gibt eine gerade Zahl, die größer als $N$ ist

Erkenne den Widerspruch und folgere

$N$ ist die größte gerade Zahl, aber $N + 2$ ist eine größere gerade Zahl → Die Annahme ist falsch

Antwort: Die Annahme führt zu einem Widerspruch, also gibt es keine größte gerade Zahl. q. e. d.

Häufige Fehler

"Es gibt unendlich viele Primzahlen" verneinen als "Es gibt keine Primzahlen"

Warum es falsch ist: Das Gegenteil von "unendlich viele" ist nicht "keine". Die Negation muss jeden Fall abdecken, in dem die Aussage nicht gilt, und das ist "nur endlich viele".

Richtig: Nimm an: "Es gibt nur endlich viele Primzahlen". Ebenso ist die Negation von "jede Primzahl ist ungerade" die Aussage "mindestens eine Primzahl ist nicht ungerade", nicht "jede Primzahl ist gerade".

$x > 5$ verneinen als $x < 5$

Warum es falsch ist: Der Fall $x = 5$ wird vergessen. Wenn der Beweis nur $x < 5$ ausschließt, ist die Zahl $5$ noch möglich.

Richtig: Die Negation von $x > 5$ ist $x \le 5$ , und die Negation von $x \ge 5$ ist $x < 5$ .

"Vollständig gekürzt" im Beweis vergessen, dass $\sqrt{2}$ irrational ist

Warum es falsch ist: Ohne diese Bedingung ist es gar kein Widerspruch, dass $a$ und $b$ beide gerade sind: $\frac{4}{2}$ hat einen geraden Zähler und Nenner.

Richtig: Schreibe $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ vollständig gekürzt. Jeder Bruch lässt sich kürzen, das kostet also nichts, und genau diese Tatsache wird später verletzt.

Ein überraschendes Ergebnis für einen Widerspruch halten

Warum es falsch ist: Ein Ergebnis, das seltsam aussieht (eine sehr große Zahl, ein unerwarteter Bruch), ist nicht unmöglich. Ein Widerspruch muss mit der Annahme oder mit einer bekannten Tatsache kollidieren.

Richtig: Nenne die beiden Aussagen, die sich widersprechen, zum Beispiel " $r$ ist die kleinste" und " $\frac{r}{2} < r$ ", und schreibe dann die Folgerung auf.

Warum es wichtig ist

Einige der berühmtesten Ergebnisse der Mathematik lassen sich am bequemsten durch Widerspruch beweisen:

Irrationale Zahlen: Die Griechen bewiesen vor etwa 2.500 Jahren, dass $\sqrt{2}$ kein Bruch ist, und das veränderte das Denken über Zahlen
Primzahlen: Euklids Beweis, dass die Primzahlen nie ausgehen, wird bis heute in jeder Zahlentheorie-Vorlesung verwendet
Informatik: Das Schubfachprinzip erklärt, warum zwei Dateien denselben kurzen Fingerabdruck bekommen können (eine Hash-Kollision) und warum keine Kompression jede Datei verkleinern kann
Rätsel: Ein Sudoku lösen heißt oft: "Wäre in diesem Feld eine 5, stünden zwei 5en in derselben Zeile, also ist es keine 5"
Alltagsdenken: Detektive und Ärzte schließen Möglichkeiten aus, indem sie zeigen, dass sie zu etwas Unmöglichem führen

Wann immer eine Aussage behauptet, dass etwas NICHT existiert (keine größte Zahl, kein Bruch gleich

\sqrt{2}

), ist der Widerspruchsbeweis meist das natürliche Werkzeug.

Anwendungen im echten Leben

Passende Socken im Dunkeln

Das Schubfachprinzip, durch Widerspruch bewiesen, sagt dir, wie viele Dinge du mindestens brauchst, damit sich eines garantiert wiederholt.

Beispiel:

In einer Schublade liegen schwarze, weiße und graue Socken. Könntest du 4 Socken in lauter verschiedenen Farben nehmen, bräuchtest du 4 Farben, es gibt aber nur 3. Also enthalten 4 Socken immer ein passendes Paar.

1Probiere es selbst

In einer Schublade liegen einzelne Socken in 5 verschiedenen Farben, und es ist zu dunkel, um sie zu sehen.

Wie viele Socken musst du nehmen, um sicher zwei derselben Farbe zu haben?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Anzahl der Farben plus eins:

Hash-Kollisionen in der Informatik

Computer geben Dateien kurze Codes, sogenannte Hashes. Da es mehr mögliche Dateien als Codes gibt, müssen zwei verschiedene Dateien manchmal denselben Code teilen.

Beispiel:

Ein System gibt jeder Datei einen Code von 00 bis 99. Wären bei 101 Dateien alle Codes verschieden, bräuchte man 101 Codes, es gibt aber nur 100, also teilen zwei Dateien einen Code.

2Probiere es selbst

Ein System gibt jeder Datei einen dreistelligen Code von 000 bis 999.

Wie viele Dateien garantieren, dass zwei davon denselben Code haben?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Anzahl der Codes plus eins:

Warum ein Taschenrechner nie die exakte Wurzel aus 2 zeigt

Weil $\sqrt{2}$ irrational ist, endet ihre Dezimaldarstellung nie und wiederholt sich nie. Jede Dezimalzahl auf dem Display ist nur eine Näherung, und das müssen Ingenieure beim Berechnen von Diagonalen beachten.

Beispiel:

Eine quadratische Fliese mit 1 m Seitenlänge hat die Diagonale $\sqrt{2} \approx 1{,}4142$ m. Der Wert 1,4142 ist nah dran, aber nicht exakt.

3Probiere es selbst

Ein Taschenrechner zeigt $\sqrt{2} \approx 1{,}4142$ .

Prüfe, dass 1,4142 nicht genau die Wurzel aus 2 ist.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Quadriere die Dezimalzahl:

Wichtige Erkenntnisse

1Ein Widerspruchsbeweis nimmt an, dass die Aussage falsch ist, und zeigt, dass daraus etwas Unmögliches folgt
2Die erste Zeile ist die richtige Negation: "unendlich viele" wird zu "nur endlich viele", $x > 5$ wird zu $x \le 5$ , "jedes" wird zu "mindestens ein ... nicht"
3Ein Widerspruch sind zwei Aussagen, die nicht beide wahr sein können, wie $Q \land \neg Q$ , das in jeder Zeile einer Wahrheitstabelle falsch ist
4Klassische Ergebnisse, die so bewiesen werden: $\sqrt{2}$ ist irrational, es gibt unendlich viele Primzahlen, keine größte gerade Zahl und keine kleinste positive rationale Zahl
5Das Schubfachprinzip: Kommen mehr als $n$ Dinge in $n$ Schubfächer, enthält ein Schubfach mindestens zwei Dinge
6Der Beweis durch Kontraposition zeigt "wenn nicht q, dann nicht p" direkt, während der Widerspruchsbeweis annimmt, dass die ganze Aussage falsch ist, und nach irgendeiner Unmöglichkeit sucht

Häufig gestellte Fragen

Warum reicht es, einen Widerspruch zu erreichen?

Korrektes Schließen aus wahren Aussagen liefert immer nur wahre Aussagen. Erreichen wir etwas Unmögliches, war mindestens ein Ausgangspunkt falsch, und der einzige Ausgangspunkt, den wir selbst hinzugefügt haben, war die Annahme

\neg P

. Also ist

\neg P

falsch und

P

wahr.

Wann sollte ich einen Widerspruchsbeweis verwenden?

Er ist eine gute Wahl, wenn die Aussage behauptet, dass etwas nicht existiert (keine größte Zahl, kein Bruch gleich

\sqrt{2}

), oder dass es unendlich viele von etwas gibt. Dann liefert dir die Annahme des Gegenteils ein konkretes Objekt, mit dem du arbeiten kannst.

Ist ein Widerspruchsbeweis dasselbe wie ein Beweis durch Kontraposition?

Nein. Ein Beweis durch Kontraposition zeigt "wenn nicht q, dann nicht p" direkt und endet bei "nicht p". Ein Widerspruchsbeweis nimmt an, dass die Aussage falsch ist, und darf bei irgendeiner Unmöglichkeit enden. Jeder Beweis durch Kontraposition lässt sich als Widerspruchsbeweis umschreiben, aber nicht jeder Widerspruchsbeweis ist ein Beweis durch Kontraposition.

Was bedeutet q. e. d., und was ist "reductio ad absurdum"?

q. e. d. (quod erat demonstrandum, "was zu beweisen war", auf Deutsch auch w. z. b. w.) markiert das Ende eines Beweises. Reductio ad absurdum, "Zurückführung auf das Absurde", ist der lateinische Name des Widerspruchsbeweises.

Glossar

Widerspruchsbeweis: Ein Beweis, der annimmt, dass die Aussage falsch ist, und daraus etwas Unmögliches ableitet, sodass die Aussage wahr sein muss (auch indirekter Beweis)
Widerspruch: Zwei Aussagen, die nicht beide wahr sein können, wie $Q$ und $\neg Q$ ; die Aussage $Q \land \neg Q$ ist immer falsch
Negation: Das Gegenteil einer Aussage, geschrieben $\neg P$ ; sie ist genau dann wahr, wenn $P$ falsch ist
Irrationale Zahl: Eine reelle Zahl, die sich nicht als Bruch $\frac{a}{b}$ ganzer Zahlen schreiben lässt, zum Beispiel $\sqrt{2}$
Schubfachprinzip: Werden mehr als $n$ Dinge auf $n$ Schubfächer verteilt, enthält mindestens ein Schubfach zwei oder mehr Dinge

Formelkarte

Widerspruchsbeweis

\neg P \Rightarrow (Q \land \neg Q) \;\text{ also }\; P

Führt die Annahme nicht P zu einem Widerspruch, dann ist P wahr

Ein Widerspruch ist immer falsch

Q \land \neg Q = F

Eine Aussage und ihre Negation können nie beide wahr sein

Schubfachprinzip

n + 1 \text{ Dinge in } n \text{ Schubfächern}

Mindestens ein Schubfach bekommt zwei oder mehr Dinge

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Passende Socken im Dunkeln

Hash-Kollisionen in der Informatik

Warum ein Taschenrechner nie die exakte Wurzel aus 2 zeigt

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Widerspruchsbeweis

Ein Widerspruch ist immer falsch

Schubfachprinzip

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