Beweis durch Kontraposition

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Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche Aussage ist die Kontraposition von "Wenn $n^2$ gerade ist, dann ist $n$ gerade"?
1. a)Wenn $n^2$ ungerade ist, dann ist $n$ ungerade
2. b)Wenn $n$ ungerade ist, dann ist $n^2$ gerade
3. c)Wenn $n$ ungerade ist, dann ist $n^2$ ungerade
4. d)Wenn $n$ gerade ist, dann ist $n^2$ gerade
2.
Du willst "Wenn $xy$ ungerade ist, dann sind $x$ und $y$ beide ungerade" durch Kontraposition beweisen. Was nimmst du am Anfang an?
1. a) $x$ und $y$ sind beide ungerade
2. b) $x$ und $y$ sind beide gerade
3. c) $x$ ist gerade oder $y$ ist gerade
4. d) $xy$ ist gerade
3.
Was ist die Verneinung von " $x \geq 5$ oder $y \geq 5$ "?
1. a) $x \leq 5$ und $y \leq 5$
2. b) $x < 5$ oder $y < 5$
3. c) $x < 5$ und $y < 5$
4. d) $x > 5$ und $y > 5$
4.
Bei einem Beweis von $p \to q$ durch Kontraposition nimmst du zuerst $\neg q$ an. Wo musst du am Ende ankommen?
1. a) $\neg p$
2. b) $p$ und $\neg q$ gleichzeitig
3. c) $q$
4. d)Irgendeinen Widerspruch
5.
Bei welcher Aussage ist ein Beweis durch Kontraposition deutlich besser als ein direkter Beweis?
1. a)Wenn $n$ gerade ist, dann ist $n^2$ gerade
2. b)Wenn $a$ und $b$ gerade sind, dann ist $a + b$ gerade
3. c)Wenn $5n + 1$ gerade ist, dann ist $n$ ungerade
4. d)Wenn $n$ ungerade ist, dann ist $n + 1$ gerade
6.
Schau in der Wahrheitstabelle auf die Zeile, in der $p$ wahr und $q$ falsch ist. Welchen Wert hat $\neg q \to \neg p$ in dieser Zeile? Gib 1 für wahr und 0 für falsch ein.
7.
Beweis durch Kontraposition von "wenn $n^2$ ungerade ist, dann ist $n$ ungerade": Nimm $n = 2k$ an, also $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ . Wie viel ist $2k^2$ für $k = 7$ ?
8.
Im Beweis, dass ein ungerades $n$ ein ungerades $n^2$ liefert, schreiben wir $n = 2k + 1$ und $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ . Für $n = 9$ ist $k = 4$ . Wie viel ist $2k^2 + 2k$ ?
9.
Die Kontraposition von "wenn $x + y \geq 10$ , dann $x \geq 5$ oder $y \geq 5$ " sagt: Wenn $x < 5$ und $y < 5$ , dann $x + y < 10$ . Was ist für ganze Zahlen $x$ und $y$ mit $x < 5$ und $y < 5$ der größtmögliche Wert von $x + y$ ?
10.
Um "wenn $n^2 - 6n + 5$ gerade ist, dann ist $n$ ungerade" durch Kontraposition zu beweisen, nimm $n = 2k$ an. Dann ist $n^2 - 6n + 5 = 2(2k^2 - 6k + 2) + 1$ . Wie viel ist $2k^2 - 6k + 2$ für $k = 3$ ?
11.
Prüfe die Kontraposition von "wenn $n^2$ gerade ist, dann ist $n$ gerade" mit der ungeraden Zahl $n = 11$ .
12.
Beweise "wenn $3n + 2$ ungerade ist, dann ist $n$ ungerade" durch Kontraposition und prüfe es mit $k = 4$ .
13.
Kontraposition von "wenn $xy$ ungerade ist, dann sind $x$ und $y$ ungerade", Fall " $x$ ist gerade". Verfolge den Beweis mit $x = 6$ und $y = 7$ .
14.
Vergleiche die Spalten $p \to q$ und $\neg q \to \neg p$ in der Wahrheitstabelle mit 4 Zeilen.
15.
Beweise durch Kontraposition: Für reelle Zahlen $x$ , $y$ , $z$ gilt: Wenn $x + y + z \geq 30$ , dann ist $x \geq 10$ oder $y \geq 10$ oder $z \geq 10$ .
16.
Aussage: Wenn $n^2 - 6n + 5$ gerade ist, dann ist $n$ ungerade. Prüfe die Kontraposition mit $n = 2k$ und $k = 5$ .
17.
Beweise durch Kontraposition: Wenn 7 Zahlen eine Summe $S$ größer als 63 haben, dann ist mindestens eine von ihnen größer als 9.
18.
Beweise "wenn $n^2$ nicht durch 3 teilbar ist, dann ist $n$ nicht durch 3 teilbar" durch Kontraposition und prüfe es mit $k = 7$ .