Es gibt kein Bild. Wie stelle ich mir die Form vor?

Lies die Beschreibung langsam und mach eine schnelle Skizze. Schreibe jedes Teil mit seinen eigenen Maßen auf, zum Beispiel: Zylinder $r = 2$, $h = 6$; Halbkugel $r = 2$. Sobald die Teile aufgelistet sind, wird die Aufgabe zu zwei kleinen Aufgaben.

Soll ich $\pi \approx 3{,}14$ oder die $\pi$-Taste verwenden?

Nimm, was die Aufgabe verlangt. Diese Lektion rechnet mit $3{,}14$. Die $\pi$-Taste liefert ein etwas größeres, genaueres Ergebnis (zum Beispiel ist $102\pi$ mit $3{,}14$ gleich $320{,}28$ und mit der Taste $320{,}44$). Wenn die Aufgabe sagt, das Ergebnis mit $\pi$ anzugeben, schreibst du etwa $102\pi$.

Zähle ich die flache Fläche mit, an der sich die beiden Teile berühren?

Beim Volumen nicht. Die Fläche, an der zwei Teile zusammentreffen, hat keine Dicke, also bringt sie kein Volumen. Sie spielt nur bei der Oberfläche eine Rolle, und das ist eine andere Lektion (Oberfläche von zusammengesetzten Körpern).

Lehrermaterialien

Volumen zusammengesetzter Körper

Lerne, wie du das Volumen von Körpern aus Würfeln, Prismen, Zylindern, Kegeln, Kugeln und Pyramiden berechnest, indem du die Volumen der Teile addierst oder subtrahierst.

Fortgeschritten30 MinLektion

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Definition

Ein zusammengesetzter Körper ist ein räumliches Objekt aus zwei oder mehr einfachen Körpern, die aneinandergesetzt sind, oder ein einfacher Körper, aus dem ein Teil herausgenommen wurde. Ein Bleistift ist ein Zylinder mit einem Kegel am Ende, ein Getreidesilo ist ein Zylinder mit einer Halbkugel obendrauf, und ein Rohr ist ein Zylinder, aus dem ein kleinerer Zylinder entfernt wurde.

Du musst keine neue Formel lernen. Du zerlegst den Körper in Teile, die du schon kennst, berechnest das Volumen jedes Teils und fügst die Ergebnisse zusammen:

V_{\text{gesamt}} = V_1 + V_2 \quad \text{(Teile zusammengesetzt)}

V = V_{\text{außen}} - V_{\text{entfernt}} \quad \text{(Loch oder Hohlraum)}

Die Formeln im Überblick

Würfel: $V = s^3$
Quader: $V = l \times b \times h$
Zylinder: $V = \pi r^2 h$
Kegel: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
Kugel: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , also hat eine Halbkugel das Volumen $V = \frac{2}{3}\pi r^3$
Pyramide: $V = \frac{1}{3}Bh$ , wobei $B$ der Inhalt der Grundfläche ist (oft auch $G$ genannt)

Eine Methode, die immer funktioniert

1.Beschreibe den Körper in Worten (oder skizziere ihn): welche einfachen Körper, wie sie verbunden sind, welche Maße zu welchem Teil gehören.
2.Bestimme die Maße jedes Teils. Teile haben oft denselben Radius, aber jedes Teil hat seine eigene Höhe.
3.Berechne jedes Volumen. Wenn du Ergebnisse mit $\pi$ stehen lässt (wie $90\pi$ ), ist das Addieren leicht.
4.Addiere oder subtrahiere.
5.**Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ und runde erst am Ende**, auf die Stelle, die die Aufgabe verlangt. Schreibe Kubikeinheiten (cm³, m³). Denk daran: $1$ L $= 1000$ cm³ und $1$ m³ $= 1000$ L.

Probier es gleich aus

Ein Körper ist ein Zylinder mit einem Kegel obendrauf, sodass die runde Grundfläche des Kegels genau auf der Deckfläche des Zylinders liegt. Wie berechnest du das Volumen des ganzen Körpers?

Lösungsbeispiele

Ein Gartenhaus hat einen quaderförmigen Unterbau, der $4$ m lang, $3$ m breit und $2{,}5$ m hoch ist. Darauf sitzt ein Dach in Form einer Pyramide mit derselben rechteckigen Grundfläche von $4$ m mal $3$ m und einer Höhe von $1{,}5$ m. Wie groß ist das Gesamtvolumen des Gartenhauses?

Benenne die Teile

Quader ( $4 \times 3 \times 2{,}5$ ) + Pyramide (Grundfläche $4 \times 3$ , Höhe $1{,}5$ ) → Zwei Teile, zusammengesetzt

Volumen des Quaders

$V_1 = 4 \times 3 \times 2{,}5 = 30$ → $30$ m³

Grundfläche der Pyramide

$B = 4 \times 3 = 12$ → $12$ m²

Volumen der Pyramide

$V_2 = \frac{1}{3} \times 12 \times 1{,}5 = 6$ → $6$ m³

Addiere die Teile

$V = 30 + 6 = 36$ → $36$ m³

Antwort: Das Gartenhaus hat ein Volumen von $36$ m³.

Häufige Fehler

Die Gesamthöhe für jedes Teil verwenden (ein $14$ cm langer Bleistift wird als Zylinder mit Höhe $14$ plus Kegel mit Höhe $4$ gerechnet)

Warum es falsch ist: Jedes Teil hat seine eigene Höhe. Die Gesamthöhe gehört zum ganzen Gegenstand, nicht zu einem einzelnen Teil, deshalb wird der Bereich des Kegels doppelt gezählt.

Richtig: Teile die Höhe auf: Zylinder $h = 10$ , Kegel $h = 4$ . Prüfe, ob die Höhen der Teile zusammen die Gesamthöhe ergeben: $10 + 4 = 14$ .

Die Formel der ganzen Kugel für eine Kuppel oder Eiskugel verwenden

Warum es falsch ist: Eine Kuppel, eine Eiskugel auf der Tüte oder das runde Ende eines Silos ist nur eine halbe Kugel. Mit $\frac{4}{3}\pi r^3$ verdoppelst du dieses Teil.

Richtig: Eine Halbkugel hat $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$ . Zwei Halbkugeln (die beiden Enden einer Kapsel) ergeben eine ganze Kugel.

Bei einem Rohr zuerst die Radien subtrahieren: $\pi (5 - 4)^2 \times 100 = 100\pi$

Warum es falsch ist: Das Volumen hängt von $r^2$ ab, deshalb darfst du die Radien nicht vor dem Quadrieren abziehen. Die Differenz der Volumen ist nicht das Volumen der Differenz.

Richtig: Ziehe ganze Volumen ab: $\pi \times 5^2 \times 100 - \pi \times 4^2 \times 100 = \pi (25 - 16) \times 100 = 900\pi$ .

Jedes Teil vor dem Addieren runden

Warum es falsch ist: Kleine Rundungsfehler in jedem Teil summieren sich, und das Endergebnis kann in der letzten Stelle falsch sein.

Richtig: Lass jedes Teil mit $\pi$ stehen (oder behalte alle Dezimalstellen), addiere oder subtrahiere und runde einmal am Ende auf die verlangte Stelle.

Interaktive Visualisierung

Zusammengesetzter Körper

X-Drehung (20°)

Y-Drehung (30°)

Volumen

Quader: V = lwh = 30 m³
+ Rechteckpyramide: V = ⅓lwh = 6 m³

Gesamtvolumen: 36 m³

Das Volumen eines zusammengesetzten Körpers ist die Summe der Volumen seiner Teile. Ein Loch wird abgezogen.

Oberfläche

Quader: 59 − 12 (Berührflächen) = 47 m²
+ Rechteckpyramide: 27,99 − 12 (Berührflächen) ≈ 15,99 m²

Gesamtoberfläche: 62,99 m²

Zur Oberfläche zählt nur, was außen liegt: Wo sich zwei Teile berühren, ist diese Fläche verdeckt und fällt bei beiden Teilen weg. Ein Loch nimmt seine Öffnungen weg und bringt seine Innenwand dazu.

Gerechnet mit π ≈ 3,14.

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

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Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Ein Körper ist ein Zylinder mit einem Kegel obendrauf, sodass die runde Grundfläche des Kegels genau auf der Deckfläche des Zylinders liegt. Wie berechnest du das Volumen des ganzen Körpers?

Übungsaufgaben: Volumen zusammengesetzter Körper

1. Ein Körper ist ein Zylinder mit einem Kegel obendrauf, sodass die runde Grundfläche des Kegels genau auf der Deckfläche des Zylinders liegt. Wie berechnest du das Volumen des ganzen Körpers?
2. Ein Würfel mit der Kantenlänge 4 cm ist auf einen größeren Würfel mit der Kantenlänge 6 cm geklebt. Wie groß ist das Gesamtvolumen des Körpers in cm³?
3. Ein Treppenklotz besteht aus zwei Quadern. Der untere Quader ist 8 cm lang, 4 cm breit und 2 cm hoch. Ein zweiter Quader, 4 cm lang, 4 cm breit und 2 cm hoch, liegt darauf. Berechne das Gesamtvolumen in cm³.
4. Welcher Term gibt das Volumen einer Halbkugel mit dem Radius r an?
5. Ein kleiner Schuppen ist ein Würfel mit der Kantenlänge 2 m. Sein Dach ist eine Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche von 2 m mal 2 m (die Deckfläche des Würfels) und einer Höhe von 1,5 m. Wie groß ist das Gesamtvolumen des Schuppens in m³?
6. Ein Modellhaus ist ein Quader, 6 m lang, 4 m breit und 3 m hoch, mit einem Pyramidendach obendrauf. Das Dach hat dieselbe rechteckige Grundfläche von 6 m mal 4 m und eine Höhe von 2 m. Berechne das Gesamtvolumen in m³.
7. Ein Holzwürfel hat die Kantenlänge 10 cm. Aus einer Ecke wird ein kleiner Würfel mit der Kantenlänge 4 cm herausgeschnitten. Wie viel Holz bleibt übrig, in cm³?
8. Ein Raketenmodell ist 15 cm hoch: ein Zylinder mit dem Radius 2 cm und der Höhe 9 cm, mit einem Kegel vom Radius 2 cm und der Höhe 6 cm obendrauf. Welcher Term gibt sein Volumen an?
9. Ein Wachsmalstift ist ein Zylinder mit dem Radius 1 cm und der Länge 9 cm, mit einer kegelförmigen Spitze vom Radius 1 cm und der Höhe 3 cm. Berechne sein Volumen in cm³ mit π ≈ 3,14.
10. Eine Eistüte hat den Radius 3 cm und die Höhe 8 cm und ist ganz gefüllt. Obendrauf sitzt eine halbkugelförmige Eiskugel mit dem Radius 3 cm. Das Gesamtvolumen des Eises ist kπ cm³. Wie groß ist k?
11. Ein kapselförmiger Behälter ist ein Zylinder mit dem Radius 3 cm und der Länge 12 cm, mit einer Halbkugel vom Radius 3 cm an jedem Ende. Rechne mit π ≈ 3,14 und runde das Gesamtvolumen auf ganze cm³.
12. Ein Holzklotz ist 10 cm lang, 10 cm breit und 6 cm hoch. Ein zylinderförmiges Loch mit dem Radius 2 cm wird senkrecht durch die ganze Höhe von 6 cm gebohrt. Wie viel Holz bleibt übrig, mit π ≈ 3,14 und auf Zehntel gerundet?
13. Ein Silo ist ein Zylinder mit dem Radius 2 m und der Höhe 8 m, mit einem halbkugelförmigen Dach vom Radius 2 m. Rechne mit π ≈ 3,14. Wie groß ist das Volumen des Silos in m³, auf ganze Zahlen gerundet?
14. Ein massiver Zylinder hat den Radius 6 cm und die Höhe 10 cm. Ein Kegel mit derselben Grundfläche (Radius 6 cm) und derselben Höhe (10 cm) wird herausgehöhlt, die Spitze zeigt im Zylinder nach unten. Berechne mit π ≈ 3,14, wie viel Material übrig bleibt, in cm³.
15. Ein Metallrohr ist 50 cm lang. Sein äußerer Radius ist 6 cm, sein innerer Radius (das Loch) 5 cm. Welcher Term gibt das Volumen des Metalls im Rohr an?
16. Ein Abflussrohr aus Beton ist 200 cm lang. Sein äußerer Radius ist 10 cm und sein innerer Radius 8 cm. Berechne mit π ≈ 3,14, wie viele Liter Beton es enthält (1 L = 1000 cm³).
17. Ein Aquarium ist ein Quader, 30 cm lang, 20 cm breit und 20 cm hoch. Darin steht eine massive Deko in Form eines Zylinders mit dem Radius 5 cm und der Höhe 20 cm. Wie viele Liter Wasser braucht man mit π ≈ 3,14, um den Rest des Aquariums zu füllen? (1 L = 1000 cm³)
18. Ein Körper ist ein Zylinder mit einer Halbkugel obendrauf, beide mit dem Radius 3 cm. Sein Gesamtvolumen beträgt 90π cm³. Wie hoch ist der Zylinderteil? (Rechne mit π als Faktor.)

Warum es wichtig ist

Echte Gegenstände haben selten eine einzige perfekte Form:

Technik: Gastanks und Medikamentenkapseln sind Zylinder mit runden Enden (zwei Halbkugeln).
Landwirtschaft: Ein Silo ist ein Zylinder mit einer Kuppel oder einem Kegel obendrauf, und Landwirte brauchen sein Volumen, um zu wissen, wie viel Getreide hineinpasst.
Bau: Bauleute bestellen Beton für Blöcke und Rohre mit Löchern, also müssen sie den leeren Raum abziehen.
Essen: Eine Eistüte mit einer Kugel Eis obendrauf, ein Kuchen mit Loch in der Mitte, eine Süßigkeit in Bleistiftform.
Architektur: Ein Haus ist ein Quader mit einem Pyramiden- oder Prismendach, und die Heizung hängt vom Luftvolumen im Inneren ab.

Wenn du eine Form in einfache Teile zerlegen kannst, kannst du das Volumen von fast allem berechnen.

Anwendungen im echten Leben

Gastanks und Kapseln

Tanks für Gas, Wasser oder Milch sind oft Zylinder mit einer Halbkugel an jedem Ende, weil runde Enden den Druck besser aushalten als flache. Die beiden Halbkugeln ergeben zusammen eine ganze Kugel.

Beispiel:

Eine Medikamentenkapsel mit dem Radius $3$ mm und einem $4$ mm langen Zylinder in der Mitte hat das Volumen $\pi \times 3^2 \times 4 + \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi + 36\pi = 72\pi \approx 226{,}08$ mm³.

1Probiere es selbst

Ein Wassertank ist ein Zylinder mit dem Radius $30$ cm und der Länge $100$ cm, mit einer Halbkugel vom Radius $30$ cm an jedem Ende. Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ .

Wie viele Liter Wasser fasst der Tank?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Zylinder plus eine ganze Kugel:

Pflanzkübel aus Beton

Pflanzkübel für den Garten werden oft als Betonblock mit einem Loch für die Erde gegossen. Der benötigte Beton ist das Volumen des Blocks minus das Volumen des Lochs.

Beispiel:

Ein Block von $8$ cm mal $8$ cm mal $5$ cm mit einem zylinderförmigen Loch vom Radius $1$ cm durch die ganze Höhe braucht $320 - \pi \times 1^2 \times 5 \approx 304{,}3$ cm³ Material.

2Probiere es selbst

Ein Pflanzkübel ist ein Betonwürfel mit der Kantenlänge $50$ cm. Oben bleibt ein zylinderförmiges Loch mit dem Radius $20$ cm und der Tiefe $40$ cm für die Erde frei. Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ .

Wie viele cm³ Beton braucht der Pflanzkübel?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Würfel minus zylinderförmiges Loch:

Modellraketen

Der Körper einer Modellrakete ist ein Zylinder mit einer kegelförmigen Spitze. Konstrukteure nutzen das Volumen, um den Platz im Inneren für Bauteile zu planen und das Gewicht eines massiven Modells abzuschätzen.

Beispiel:

Eine Rakete mit dem Radius $4$ cm, einem $15$ cm langen Zylinder und einer $6$ cm hohen Kegelspitze hat das Volumen $240\pi + 32\pi = 272\pi \approx 854{,}08$ cm³.

3Probiere es selbst

Eine Spielzeugrakete ist ein Zylinder mit dem Radius $2$ cm und der Höhe $12$ cm, oben mit einem Kegel vom Radius $2$ cm und der Höhe $6$ cm. Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ .

Wie groß ist das Volumen der Rakete?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Zylinder plus Kegel:

Wichtige Erkenntnisse

1Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einfachen Körpern, die aneinandergesetzt sind, oder aus einem einfachen Körper, aus dem ein Teil entfernt wurde
2Zerlege den Körper in bekannte Teile: Quader, Würfel, Zylinder, Kegel, Kugeln, Halbkugeln, Pyramiden
3Zusammengesetzte Teile: Volumen addieren. Löcher und Hohlräume: das entfernte Volumen abziehen
4Jedes Teil hat seine eigene Höhe; Teile, die sich berühren, haben oft denselben Radius
5Eine Halbkugel hat das Volumen $\frac{2}{3}\pi r^3$ , und zwei Halbkugeln ergeben eine Kugel
6Lass die Teile mit $\pi$ stehen, rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ und runde erst am Ende; gib Kubikeinheiten oder Liter an ( $1$ L $= 1000$ cm³)

Häufig gestellte Fragen

Frag dich, woraus der Körper besteht. Wenn zwei Teile aneinandergesetzt sind (ein Kegel auf einem Zylinder), addierst du. Wenn etwas herausgeschnitten oder leer ist (ein Loch, das Innere eines Rohrs), ziehst du den leeren Teil vom größeren Körper ab.

Glossar

Zusammengesetzter Körper: Ein räumlicher Körper aus zwei oder mehr einfachen Körpern oder ein einfacher Körper, aus dem ein Teil entfernt wurde
Halbkugel: Die Hälfte einer Kugel, durch den Mittelpunkt geschnitten; Volumen $\frac{2}{3}\pi r^3$
Zerlegen: Einen Körper in einfachere Teile aufteilen, deren Volumen du berechnen kannst
Hohlzylinder: Ein Zylinder, aus dessen Mitte ein kleinerer Zylinder entfernt wurde, wie ein Rohr oder eine Röhre
Fassungsvermögen: Wie viel ein Behälter aufnehmen kann, oft in Litern oder Millilitern angegeben ( $1$ L $= 1000$ cm³)

Formelkarte

Zusammengesetzte Teile

V_{\text{gesamt}} = V_1 + V_2 + \dots

Addiere die Volumen der Teile

Teil entfernt

V = V_{\text{außen}} - V_{\text{entfernt}}

Ziehe das Volumen des Lochs oder Hohlraums ab

Zylinder und Kegel

V = \pi r^2 h

\quad V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

Ein Kegel ist ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe

Kugel und Halbkugel

V = \frac{4}{3}\pi r^3

\quad V = \frac{2}{3}\pi r^3

Eine Halbkugel ist eine halbe Kugel

Prisma und Pyramide

V = Bh

\quad V = \frac{1}{3}Bh

$B$ ist die Grundfläche; eine Pyramide ist ein Drittel des Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe

Hohlzylinder (Rohr)

V = \pi (R^2 - r^2) h

$R$ ist der äußere Radius, $r$ der innere Radius

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