Gartenhaus: Quader mit Pyramidendach

Ein Gartenhaus hat einen quaderförmigen Unterbau, der $4$ m lang, $3$ m breit und $2{,}5$ m hoch ist. Darauf sitzt ein Dach in Form einer Pyramide mit derselben rechteckigen Grundfläche von $4$ m mal $3$ m und einer Höhe von $1{,}5$ m. Wie groß ist das Gesamtvolumen des Gartenhauses?

Benenne die Teile: Quader ($4 \times 3 \times 2{,}5$) + Pyramide (Grundfläche $4 \times 3$, Höhe $1{,}5$) = Zwei Teile, zusammengesetzt

Volumen des Quaders: $V_1 = 4 \times 3 \times 2{,}5 = 30$ = $30$ m³

Grundfläche der Pyramide: $B = 4 \times 3 = 12$ = $12$ m²

Volumen der Pyramide: $V_2 = \frac{1}{3} \times 12 \times 1{,}5 = 6$ = $6$ m³

Addiere die Teile: $V = 30 + 6 = 36$ = $36$ m³

Answer: Das Gartenhaus hat ein Volumen von $36$ m³.

Gespitzter Bleistift: Zylinder mit Kegel

Ein Modellbleistift ist ein Zylinder mit dem Radius $3$ cm und der Höhe $10$ cm. An einem Ende sitzt ein Kegel mit demselben Radius $3$ cm und der Höhe $4$ cm. Berechne das Volumen. Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ und runde auf Zehntel.

Benenne die Teile: Zylinder ($r = 3$, $h = 10$) + Kegel ($r = 3$, $h = 4$). Die Gesamtlänge $14$ cm kommt in KEINER Formel vor. = Zwei Teile, zusammengesetzt

Zylinder mit $\pi$: $V_1 = \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi$ = $90\pi$ cm³

Kegel mit $\pi$: $V_2 = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = 12\pi$ = $12\pi$ cm³

Addiere, dann einmal mit $3{,}14$ multiplizieren: $90\pi + 12\pi = 102\pi \approx 102 \times 3{,}14 = 320{,}28$ = $\approx 320{,}3$ cm³

Answer: Der Bleistift hat ein Volumen von $102\pi \approx 320{,}3$ cm³.

Getreidesilo: Zylinder mit Halbkugel

Ein Getreidesilo ist ein Zylinder mit dem Radius $2$ m und der Höhe $6$ m. Sein Dach ist eine Halbkugel mit demselben Radius $2$ m. Wie viel Getreide passt in das volle Silo? Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ und runde auf Zehntel.

Benenne die Teile: Zylinder ($r = 2$, $h = 6$) + Halbkugel ($r = 2$) = Zwei Teile, zusammengesetzt

Zylinder: $V_1 = \pi \times 2^2 \times 6 = 24\pi$ = $24\pi$ m³

Halbkugel: eine halbe Kugel: $V_2 = \frac{2}{3} \times \pi \times 2^3 = \frac{16}{3}\pi$ = $\frac{16}{3}\pi$ m³

Addiere mit $\pi$: $24\pi + \frac{16}{3}\pi = \frac{72}{3}\pi + \frac{16}{3}\pi = \frac{88}{3}\pi$ = $\frac{88}{3}\pi$ m³

Setze $\pi \approx 3{,}14$ ein und runde am Ende: $\frac{88 \times 3{,}14}{3} = \frac{276{,}32}{3} \approx 92{,}11$ = $\approx 92{,}1$ m³

Answer: Das Silo fasst etwa $92{,}1$ m³ Getreide.

Eistüte mit einer Kugel Eis

Ein Kegel mit der Höhe $10$ cm und dem Radius $3$ cm ist mit Eis gefüllt, und obendrauf sitzt eine halbkugelförmige Eiskugel mit dem Radius $3$ cm. Wie viele Milliliter Eis sind das? Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ und runde auf ganze Zahlen.

Benenne die Teile: Kegel ($r = 3$, $h = 10$) + Halbkugel ($r = 3$) = Zwei Teile, zusammengesetzt

Kegel: $V_1 = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 10 = 30\pi$ = $30\pi$ cm³

Halbkugel: $V_2 = \frac{2}{3} \times \pi \times 3^3 = 18\pi$ = $18\pi$ cm³

Addiere und rechne mit $3{,}14$: $30\pi + 18\pi = 48\pi \approx 48 \times 3{,}14 = 150{,}72$ = $\approx 150{,}72$ cm³

In Milliliter umrechnen: $1$ cm³ $= 1$ mL, also $150{,}72$ cm³ $= 150{,}72$ mL = $\approx 151$ mL

Answer: Es sind etwa $151$ mL Eis.

Hohles Rohr: einen Zylinder abziehen

Ein Betonrohr ist $100$ cm lang. Sein äußerer Radius beträgt $5$ cm, und das Loch in der Mitte hat den Radius $4$ cm. Wie viel Beton steckt im Rohr? Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$.

Beschreibe den Körper: Großer Zylinder ($r = 5$, $h = 100$), aus dem ein kleinerer Zylinder ($r = 4$, $h = 100$) entfernt wurde = Subtrahieren

Äußerer Zylinder: $V_{\text{außen}} = \pi \times 5^2 \times 100 = 2500\pi$ = $2500\pi$ cm³

Loch (innerer Zylinder): $V_{\text{Loch}} = \pi \times 4^2 \times 100 = 1600\pi$ = $1600\pi$ cm³

Subtrahiere und rechne mit $3{,}14$: $2500\pi - 1600\pi = 900\pi \approx 900 \times 3{,}14 = 2826$ = $2826$ cm³

Answer: Im Rohr stecken etwa $2826$ cm³ Beton, das sind etwa $2{,}8$ L.

Mistake: Die Gesamthöhe für jedes Teil verwenden (ein $14$ cm langer Bleistift wird als Zylinder mit Höhe $14$ plus Kegel mit Höhe $4$ gerechnet)

Why: Jedes Teil hat seine eigene Höhe. Die Gesamthöhe gehört zum ganzen Gegenstand, nicht zu einem einzelnen Teil, deshalb wird der Bereich des Kegels doppelt gezählt.

Correct: Teile die Höhe auf: Zylinder $h = 10$, Kegel $h = 4$. Prüfe, ob die Höhen der Teile zusammen die Gesamthöhe ergeben: $10 + 4 = 14$.

Mistake: Die Formel der ganzen Kugel für eine Kuppel oder Eiskugel verwenden

Why: Eine Kuppel, eine Eiskugel auf der Tüte oder das runde Ende eines Silos ist nur eine halbe Kugel. Mit $\frac{4}{3}\pi r^3$ verdoppelst du dieses Teil.

Correct: Eine Halbkugel hat $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$. Zwei Halbkugeln (die beiden Enden einer Kapsel) ergeben eine ganze Kugel.

Mistake: Bei einem Rohr zuerst die Radien subtrahieren: $\pi (5 - 4)^2 \times 100 = 100\pi$

Why: Das Volumen hängt von $r^2$ ab, deshalb darfst du die Radien nicht vor dem Quadrieren abziehen. Die Differenz der Volumen ist nicht das Volumen der Differenz.

Correct: Ziehe ganze Volumen ab: $\pi \times 5^2 \times 100 - \pi \times 4^2 \times 100 = \pi (25 - 16) \times 100 = 900\pi$.

Mistake: Jedes Teil vor dem Addieren runden

Why: Kleine Rundungsfehler in jedem Teil summieren sich, und das Endergebnis kann in der letzten Stelle falsch sein.

Correct: Lass jedes Teil mit $\pi$ stehen (oder behalte alle Dezimalstellen), addiere oder subtrahiere und runde einmal am Ende auf die verlangte Stelle.

Gastanks und Kapseln

Tanks für Gas, Wasser oder Milch sind oft Zylinder mit einer Halbkugel an jedem Ende, weil runde Enden den Druck besser aushalten als flache. Die beiden Halbkugeln ergeben zusammen eine ganze Kugel.

Eine Medikamentenkapsel mit dem Radius $3$ mm und einem $4$ mm langen Zylinder in der Mitte hat das Volumen $\pi \times 3^2 \times 4 + \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi + 36\pi = 72\pi \approx 226{,}08$ mm³.

Pflanzkübel aus Beton

Pflanzkübel für den Garten werden oft als Betonblock mit einem Loch für die Erde gegossen. Der benötigte Beton ist das Volumen des Blocks minus das Volumen des Lochs.

Ein Block von $8$ cm mal $8$ cm mal $5$ cm mit einem zylinderförmigen Loch vom Radius $1$ cm durch die ganze Höhe braucht $320 - \pi \times 1^2 \times 5 \approx 304{,}3$ cm³ Material.

Modellraketen

Der Körper einer Modellrakete ist ein Zylinder mit einer kegelförmigen Spitze. Konstrukteure nutzen das Volumen, um den Platz im Inneren für Bauteile zu planen und das Gewicht eines massiven Modells abzuschätzen.

Eine Rakete mit dem Radius $4$ cm, einem $15$ cm langen Zylinder und einer $6$ cm hohen Kegelspitze hat das Volumen $240\pi + 32\pi = 272\pi \approx 854{,}08$ cm³.

Q: Woher weiß ich, ob ich addieren oder subtrahieren muss?

A: Frag dich, woraus der Körper besteht. Wenn zwei Teile aneinandergesetzt sind (ein Kegel auf einem Zylinder), addierst du. Wenn etwas herausgeschnitten oder leer ist (ein Loch, das Innere eines Rohrs), ziehst du den leeren Teil vom größeren Körper ab.

Q: Es gibt kein Bild. Wie stelle ich mir die Form vor?

A: Lies die Beschreibung langsam und mach eine schnelle Skizze. Schreibe jedes Teil mit seinen eigenen Maßen auf, zum Beispiel: Zylinder $r = 2$, $h = 6$; Halbkugel $r = 2$. Sobald die Teile aufgelistet sind, wird die Aufgabe zu zwei kleinen Aufgaben.

Q: Soll ich $\pi \approx 3{,}14$ oder die $\pi$-Taste verwenden?

A: Nimm, was die Aufgabe verlangt. Diese Lektion rechnet mit $3{,}14$. Die $\pi$-Taste liefert ein etwas größeres, genaueres Ergebnis (zum Beispiel ist $102\pi$ mit $3{,}14$ gleich $320{,}28$ und mit der Taste $320{,}44$). Wenn die Aufgabe sagt, das Ergebnis mit $\pi$ anzugeben, schreibst du etwa $102\pi$.

Q: Zähle ich die flache Fläche mit, an der sich die beiden Teile berühren?

A: Beim Volumen nicht. Die Fläche, an der zwei Teile zusammentreffen, hat keine Dicke, also bringt sie kein Volumen. Sie spielt nur bei der Oberfläche eine Rolle, und das ist eine andere Lektion (Oberfläche von zusammengesetzten Körpern).