Wann lasse ich das Ergebnis mit $\pi$ stehen?

Wenn die Aufgabe ein exaktes Ergebnis verlangt oder sagt: Gib das Ergebnis mit $\pi$ an. Sonst rechnest du mit $\pi \approx 3{,}14$ (oder der $\pi$-Taste des Taschenrechners) und rundest auf die verlangte Stelle.

Was ist, wenn der Zylinder liegt?

Dann ändert sich nichts. Die Höhe ist immer der Abstand zwischen den beiden Kreisflächen, bei einem liegenden Rohr oder Nudelholz ist die Höhe also seine Länge.

Was passiert mit dem Volumen, wenn ich den Radius verdopple?

Das Volumen wird 4-mal so groß, weil der Radius quadriert wird: $(2r)^2 = 4r^2$. Verdoppelst du nur die Höhe, verdoppelt sich das Volumen.

Lehrermaterialien

Volumen von Zylindern

Q: Warum steht $\pi r^2$ in der Formel?

Weil $\pi r^2$ der Flächeninhalt der kreisförmigen Grundfläche ist. Das Volumen jedes prismaähnlichen Körpers ist Grundfläche mal Höhe, und ein Zylinder ist wie ein Prisma mit einem Kreis als Grundfläche.

Lerne, wie du das Volumen eines Zylinders mit V = πr²h berechnest, den Radius statt des Durchmessers verwendest und cm³ in Liter umrechnest.

Mittelstufe25 MinLektion

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Definition

Ein Zylinder ist ein Körper mit zwei gleich großen, parallelen Kreisflächen als Grundfläche und Deckfläche, die durch eine gekrümmte Mantelfläche verbunden sind. Denk an eine Getränkedose, eine Kerze oder einen Wassertank.

Du weißt schon, dass das Volumen eines Prismas Grundfläche mal Höhe ist. Beim Zylinder funktioniert es genauso: Stapelst du dünne Kreisscheiben übereinander, bis die Höhe erreicht ist, entsteht ein Zylinder.

V = B \times h

(In vielen deutschen Schulbüchern heißt die Grundfläche

G

, hier schreiben wir

B

.) Die Grundfläche ist ein Kreis, und der Flächeninhalt eines Kreises ist

\pi r^2

. Also gilt:

V = \pi r^2 h

Dabei ist:

$r$ = Radius der Grundfläche (vom Mittelpunkt bis zum Rand)
$h$ = Höhe (der Abstand zwischen den beiden Kreisflächen)
$\pi \approx 3{,}14$

Radius oder Durchmesser? Die Formel braucht den Radius. Ist der Durchmesser

d

gegeben (einmal ganz quer durch), halbierst du ihn zuerst:

r = d \div 2

Zwei Arten, das Ergebnis anzugeben:

**Mit $\pi$ ** (exakt): Du lässt $\pi$ als Symbol stehen, zum Beispiel $90\pi$ cm³.
Als Zahl: Du rechnest mit $\pi \approx 3{,}14$ und rundest auf die Stelle, die die Aufgabe verlangt, zum Beispiel $90 \times 3{,}14 = 282{,}6$ cm³.

Liter:

1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}

, also

1000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ L}

. Für große Tanks:

1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}

Probier es gleich aus

Mit welcher Formel berechnest du das Volumen eines Zylinders mit Radius

r

und Höhe

h

Lösungsbeispiele

Ein Zylinder hat den Radius $3$ cm und die Höhe $10$ cm. Berechne sein Volumen mit $\pi$ und danach mit $\pi \approx 3{,}14$ .

Schreibe die Formel auf

$V = \pi r^2 h$ → Formel bereit

Quadriere den Radius

$r^2 = 3^2 = 9$ → $r^2 = 9$

Multipliziere mit der Höhe

$V = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi$ → $V = 90\pi$ cm³ (exakt)

Setze $\pi \approx 3{,}14$ ein

$90 \times 3{,}14 = 282{,}6$ → $V \approx 282{,}6$ cm³

Antwort: $V = 90\pi$ cm³, das sind etwa $282{,}6$ cm³

Häufige Fehler

Den Durchmesser statt des Radius verwenden

Warum es falsch ist: Die Formel quadriert den Radius. Quadrierst du den Durchmesser, ist das Ergebnis 4-mal zu groß. Für $d = 10$ cm und $h = 5$ cm ist $\pi \times 10^2 \times 5 = 500\pi$ falsch.

Richtig: Halbiere zuerst den Durchmesser: $r = 5$ , also $V = \pi \times 5^2 \times 5 = 125\pi$ cm³.

Den Radius verdoppeln statt quadrieren

Warum es falsch ist: $r^2$ bedeutet $r \times r$ , nicht $r \times 2$ . Für $r = 3$ ist $3^2 = 9$ , nicht $6$ .

Richtig: Multipliziere den Radius immer mit sich selbst: $r^2 = 3 \times 3 = 9$ .

Beim Umrechnen in Liter durch 100 statt durch 1000 teilen

Warum es falsch ist: Ein Liter ist ein Würfel mit $10$ cm Kantenlänge, er fasst also $10 \times 10 \times 10 = 1000$ cm³, nicht $100$ .

Richtig: $942000$ cm³ $\div 1000 = 942$ L. Merke: $1$ cm³ $= 1$ mL.

Zu früh runden

Warum es falsch ist: Rundest du die Grundfläche, bevor du mit der Höhe multiplizierst, wird der Fehler größer. Für $r = 2{,}5$ cm und $h = 10$ cm ergibt das Runden von $B = 19{,}625$ auf $20$ dann $200$ cm³.

Richtig: Behalte alle Stellen bis zum Schluss: $19{,}625 \times 10 = 196{,}25$ cm³, und runde nur das Endergebnis.

Interaktive Visualisierung

3D-Körper-Ansicht

X-Drehung (20°)

Y-Drehung (30°)

Radius (3)

Höhe (10)

Flächen

Kanten

Ecken

Volumen

V = πr²h

V = π · 3² · 10 = 90π ≈ 282,74

282,74 cm³

Oberfläche

SA = 2πr² + 2πrh

SA = 2π · 3² + 2π · 3 · 10 = 78π ≈ 245,04

245,04 cm²

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Mit welcher Formel berechnest du das Volumen eines Zylinders mit Radius $r$ und Höhe $h$ ?

Warum es wichtig ist

Zylinder sind überall, und ihr Volumen sagt dir, wie viel hineinpasst:

Getränke und Lebensmittel: Wie viele Milliliter passen in eine Dose, eine Flasche oder ein Glas?
Wassertanks und Regentonnen: Wie viele Liter kannst du im Garten speichern?
Planschbecken: Wie viel Wasser brauchst du für ein rundes Becken?
Technik: Motorzylinder, Rohre und Silos werden alle mit $V = \pi r^2 h$ berechnet.
Kochen und Backen: Eine runde Springform fasst eine andere Menge als eine eckige Form.

Mit einer einzigen Formel beantwortest du all diese Fragen und kannst sogar rückwärts rechnen, wie hoch oder wie breit ein Behälter sein muss.

Anwendungen im echten Leben

Getränkedosen

Getränkehersteller planen Dosen so, dass sie eine feste Menge fassen, zum Beispiel 330 mL. Die Volumenformel zeigt, wie hoch und wie breit die Dose sein muss.

Beispiel:

Eine Dose mit Radius $3{,}3$ cm und Höhe $10$ cm fasst etwa $3{,}14 \times 3{,}3^2 \times 10 \approx 342$ cm³, genug für $330$ mL und etwas Luft.

1Probiere es selbst

Eine Saftdose ist ein Zylinder mit Radius $3$ cm und Höhe $12$ cm.

Wie viele Milliliter fasst sie? Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ .

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Multipliziere $3{,}14$ mit dem Quadrat des Radius und mit der Höhe:

Regentonnen

Im Garten wird Regenwasser oft in zylinderförmigen Tonnen gesammelt. Das Volumen zeigt, wie viele Liter man für trockene Wochen speichern kann.

Beispiel:

Eine Tonne mit Radius $25$ cm und Höhe $80$ cm fasst $3{,}14 \times 625 \times 80 = 157000$ cm³, also $157$ L.

2Probiere es selbst

Eine Regentonne hat einen Durchmesser von $60$ cm und eine Höhe von $90$ cm.

Wie viele Liter Wasser fasst sie? Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ .

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Halbiere den Durchmesser, verwende $V = \pi r^2 h$ und teile durch $1000$ :

Planschbecken

Bevor du ein rundes Planschbecken füllst, ist es gut zu wissen, wie viel Wasser du brauchst. Die Höhe ist hier die Wassertiefe, nicht die Höhe des Beckenrands.

Beispiel:

Ein Becken mit Radius $1{,}5$ m, gefüllt bis $0{,}2$ m, fasst $3{,}14 \times 2{,}25 \times 0{,}2 = 1{,}413$ m³, also $1413$ L.

3Probiere es selbst

Ein rundes Planschbecken hat einen Durchmesser von $2$ m. Du füllst es bis zu einer Tiefe von $0{,}4$ m mit Wasser.

Wie viele Liter Wasser brauchst du? Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ und $1$ m³ $= 1000$ L.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Verwende den Radius in Metern und rechne dann m³ in Liter um:

Wichtige Erkenntnisse

1Ein Zylinder hat zwei gleich große Kreisflächen, sein Volumen ist Grundfläche mal Höhe: $V = B \times h$
2Weil die Grundfläche ein Kreis ist, gilt $V = \pi r^2 h$
3Die Formel braucht den Radius: Ist der Durchmesser gegeben, teilst du ihn zuerst durch $2$
4Gib das Ergebnis mit $\pi$ an (exakt, etwa $90\pi$ cm³) oder rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ und runde erst am Schluss
5Für die Höhe teilst du das Volumen durch die Grundfläche: $h = V \div (\pi r^2)$ ; für den Radius bestimmst du zuerst $r^2$ und ziehst dann die Wurzel
6 $1$ cm³ $= 1$ mL, $1000$ cm³ $= 1$ L und $1$ m³ $= 1000$ L

Häufig gestellte Fragen

Weil

\pi r^2

der Flächeninhalt der kreisförmigen Grundfläche ist. Das Volumen jedes prismaähnlichen Körpers ist Grundfläche mal Höhe, und ein Zylinder ist wie ein Prisma mit einem Kreis als Grundfläche.

Glossar

Zylinder: Ein Körper mit zwei gleich großen, parallelen Kreisflächen, die durch eine gekrümmte Mantelfläche verbunden sind
Grundfläche: Eine der beiden Kreisflächen an den Enden des Zylinders; ihr Flächeninhalt ist $B = \pi r^2$
Radius: Der Abstand vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zu ihrem Rand ( $r$ )
Durchmesser: Die Strecke quer durch die Grundfläche über den Mittelpunkt; sie ist doppelt so lang wie der Radius ( $d = 2r$ )
Höhe: Der Abstand zwischen den beiden Kreisflächen des Zylinders ( $h$ )
Pi ( $\pi$ ): Die Zahl, die du erhältst, wenn du den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser teilst, etwa $3{,}14$

Formelkarte

Volumen eines Zylinders

V = \pi r^2 h

Pi mal Radius zum Quadrat mal Höhe

Grundfläche mal Höhe

V = B \times h

, mit

B = \pi r^2

Dieselbe Regel wie bei Prismen

Radius aus dem Durchmesser

r = d \div 2

Halbiere immer zuerst den Durchmesser

Fehlende Höhe

h = V \div (\pi r^2)

Teile das Volumen durch die Grundfläche

Liter

1000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ L}

Teile cm³ durch 1000, um Liter zu erhalten ($1$ cm³ $= 1$ mL)

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Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

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Interaktiver Sandkasten

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Übungsaufgaben

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Getränkedosen

Regentonnen

Planschbecken

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Volumen eines Zylinders

Grundfläche mal Höhe

Radius aus dem Durchmesser

Fehlende Höhe

Liter

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Einführung in das Volumen

Metrische Volumeneinheiten (mL, L)

Volumen von Quadern

Imperiale Volumeneinheiten (Cup, Pint, Gallone)