Volumen aus dem Radius

Ein Zylinder hat den Radius $3$ cm und die Höhe $10$ cm. Berechne sein Volumen mit $\pi$ und danach mit $\pi \approx 3{,}14$.

Schreibe die Formel auf: $V = \pi r^2 h$ = Formel bereit

Quadriere den Radius: $r^2 = 3^2 = 9$ = $r^2 = 9$

Multipliziere mit der Höhe: $V = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi$ = $V = 90\pi$ cm³ (exakt)

Setze $\pi \approx 3{,}14$ ein: $90 \times 3{,}14 = 282{,}6$ = $V \approx 282{,}6$ cm³

Answer: $V = 90\pi$ cm³, das sind etwa $282{,}6$ cm³

Achtung: Der Durchmesser ist gegeben

Eine Dose hat einen Durchmesser von $8$ cm und eine Höhe von $12$ cm. Berechne ihr Volumen mit $\pi \approx 3{,}14$, gerundet auf ganze cm³.

Bestimme den Radius aus dem Durchmesser: $r = 8 \div 2 = 4$ = $r = 4$ cm

Quadriere den Radius: $4^2 = 16$ = $r^2 = 16$

Multipliziere mit der Höhe: $16 \times 12 = 192$ = $V = 192\pi$ cm³

Multipliziere mit $3{,}14$ und runde: $192 \times 3{,}14 = 602{,}88 \approx 603$ = $V \approx 603$ cm³

Answer: Die Dose fasst etwa $603$ cm³, also etwa $603$ mL

Wie viele Liter passen in einen Wassertank?

Ein zylinderförmiger Wassertank hat den Radius $50$ cm und die Höhe $120$ cm. Wie viele Liter fasst er? Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$.

Quadriere den Radius: $50^2 = 2500$ = $r^2 = 2500$

Multipliziere mit der Höhe: $2500 \times 120 = 300000$ = $V = 300000\pi$ cm³

Setze $\pi \approx 3{,}14$ ein: $300000 \times 3{,}14 = 942000$ = $V \approx 942000$ cm³

Rechne in Liter um ($1000$ cm³ $= 1$ L): $942000 \div 1000 = 942$ = $942$ L

Answer: Der Tank fasst etwa $942$ Liter

Die Höhe berechnen

Ein Zylinder hat ein Volumen von $471$ cm³ und einen Radius von $5$ cm. Wie hoch ist er? Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$.

Berechne die Grundfläche: $B = 3{,}14 \times 5^2 = 3{,}14 \times 25 = 78{,}5$ = $B = 78{,}5$ cm²

Verwende $V = B \times h$: $471 = 78{,}5 \times h$ = Gleichung aufgestellt

Teile das Volumen durch die Grundfläche: $h = 471 \div 78{,}5 = 6$ = $h = 6$ cm

Mache die Probe: $78{,}5 \times 6 = 471$ = Stimmt

Answer: Die Höhe beträgt $6$ cm

Den Radius berechnen

Ein Zylinder ist $20$ cm hoch und hat ein Volumen von $1004{,}8$ cm³. Wie groß ist sein Radius? Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$.

Setze die bekannten Werte in die Formel ein: $1004{,}8 = 3{,}14 \times r^2 \times 20$ = Gleichung aufgestellt

Multipliziere $\pi$ mit der Höhe: $3{,}14 \times 20 = 62{,}8$ = $1004{,}8 = 62{,}8 \times r^2$

Dividiere, um $r^2$ zu erhalten: $r^2 = 1004{,}8 \div 62{,}8 = 16$ = $r^2 = 16$

Ziehe die Wurzel: $r = \sqrt{16} = 4$ = $r = 4$ cm

Answer: Der Radius beträgt $4$ cm (der Durchmesser also $8$ cm)

Mistake: Den Durchmesser statt des Radius verwenden

Why: Die Formel quadriert den Radius. Quadrierst du den Durchmesser, ist das Ergebnis 4-mal zu groß. Für $d = 10$ cm und $h = 5$ cm ist $\pi \times 10^2 \times 5 = 500\pi$ falsch.

Correct: Halbiere zuerst den Durchmesser: $r = 5$, also $V = \pi \times 5^2 \times 5 = 125\pi$ cm³.

Mistake: Den Radius verdoppeln statt quadrieren

Why: $r^2$ bedeutet $r \times r$, nicht $r \times 2$. Für $r = 3$ ist $3^2 = 9$, nicht $6$.

Correct: Multipliziere den Radius immer mit sich selbst: $r^2 = 3 \times 3 = 9$.

Mistake: Beim Umrechnen in Liter durch 100 statt durch 1000 teilen

Why: Ein Liter ist ein Würfel mit $10$ cm Kantenlänge, er fasst also $10 \times 10 \times 10 = 1000$ cm³, nicht $100$.

Correct: $942000$ cm³ $\div 1000 = 942$ L. Merke: $1$ cm³ $= 1$ mL.

Mistake: Zu früh runden

Why: Rundest du die Grundfläche, bevor du mit der Höhe multiplizierst, wird der Fehler größer. Für $r = 2{,}5$ cm und $h = 10$ cm ergibt das Runden von $B = 19{,}625$ auf $20$ dann $200$ cm³.

Correct: Behalte alle Stellen bis zum Schluss: $19{,}625 \times 10 = 196{,}25$ cm³, und runde nur das Endergebnis.

Getränkedosen

Getränkehersteller planen Dosen so, dass sie eine feste Menge fassen, zum Beispiel 330 mL. Die Volumenformel zeigt, wie hoch und wie breit die Dose sein muss.

Eine Dose mit Radius $3{,}3$ cm und Höhe $10$ cm fasst etwa $3{,}14 \times 3{,}3^2 \times 10 \approx 342$ cm³, genug für $330$ mL und etwas Luft.

Regentonnen

Im Garten wird Regenwasser oft in zylinderförmigen Tonnen gesammelt. Das Volumen zeigt, wie viele Liter man für trockene Wochen speichern kann.

Eine Tonne mit Radius $25$ cm und Höhe $80$ cm fasst $3{,}14 \times 625 \times 80 = 157000$ cm³, also $157$ L.

Planschbecken

Bevor du ein rundes Planschbecken füllst, ist es gut zu wissen, wie viel Wasser du brauchst. Die Höhe ist hier die Wassertiefe, nicht die Höhe des Beckenrands.

Ein Becken mit Radius $1{,}5$ m, gefüllt bis $0{,}2$ m, fasst $3{,}14 \times 2{,}25 \times 0{,}2 = 1{,}413$ m³, also $1413$ L.

Q: Warum steht $\pi r^2$ in der Formel?

A: Weil $\pi r^2$ der Flächeninhalt der kreisförmigen Grundfläche ist. Das Volumen jedes prismaähnlichen Körpers ist Grundfläche mal Höhe, und ein Zylinder ist wie ein Prisma mit einem Kreis als Grundfläche.

Q: Wann lasse ich das Ergebnis mit $\pi$ stehen?

A: Wenn die Aufgabe ein exaktes Ergebnis verlangt oder sagt: Gib das Ergebnis mit $\pi$ an. Sonst rechnest du mit $\pi \approx 3{,}14$ (oder der $\pi$-Taste des Taschenrechners) und rundest auf die verlangte Stelle.

Q: Was ist, wenn der Zylinder liegt?

A: Dann ändert sich nichts. Die Höhe ist immer der Abstand zwischen den beiden Kreisflächen, bei einem liegenden Rohr oder Nudelholz ist die Höhe also seine Länge.

Q: Was passiert mit dem Volumen, wenn ich den Radius verdopple?

A: Das Volumen wird 4-mal so groß, weil der Radius quadriert wird: $(2r)^2 = 4r^2$. Verdoppelst du nur die Höhe, verdoppelt sich das Volumen.