Kombinierte Teilbarkeitsregeln

Manche Teiler haben keine eigene Regel, aber du kannst zwei einfache Regeln **kombinieren**. **Kombinierte Regel:** Wenn $a$ und $b$ **teilerfremd** sind (ihr einziger gemeinsamer Teiler ist $1$), dann ist eine Zahl, die durch $a$ und durch $b$ teilbar ist, auch durch $a \times b$ teilbar. | Teiler | Test | Warum es funktioniert | |---|---|---| | $12 = 3 \times 4$ | Quersumme durch 3 teilbar **und** letzte zwei Ziffern durch 4 teilbar | 3 und 4 sind teilerfremd | | $15 = 3 \times 5$ | Quersumme durch 3 teilbar **und** letzte Ziffer 0 oder 5 | 3 und 5 sind teilerfremd | | $18 = 2 \times 9$ | letzte Ziffer gerade **und** Quersumme durch 9 teilbar | 2 und 9 sind teilerfremd | | $36 = 4 \times 9$ | letzte zwei Ziffern durch 4 teilbar **und** Quersumme durch 9 teilbar | 4 und 9 sind teilerfremd | **Vorsicht:** $12 = 2 \times 6$ ist KEIN gültiger Test, denn 2 und 6 haben den gemeinsamen Teiler 2. Die Zahl $18$ ist durch 2 und durch 6 teilbar, aber $18 : 12 = 1{,}5$. Allgemein beweisen die Tests für $a$ und $b$ die Teilbarkeit durch $\text{kgV}(a, b)$, und das ist nur dann $a \times b$, wenn $a$ und $b$ teilerfremd sind. **Teilbarkeit durch 11 (alternierende Quersumme):** Beginne bei der Einerziffer und addiere und subtrahiere die Ziffern abwechselnd: $+ - + - \dots$ Ist das Ergebnis durch 11 teilbar (dazu gehören $0$, $11$, $-11$, $22$), dann ist die Zahl durch 11 teilbar. $$82.918: \quad 8 - 1 + 9 - 2 + 8 = 22 \Rightarrow 82.918 \text{ ist teilbar durch } 11$$

Teilbar durch 12: Nutze 3 und 4

Ist $7128$ durch $12$ teilbar?

Zerlege 12 in teilerfremde Faktoren: $12 = 3 \times 4$, und 3 und 4 haben außer 1 keinen gemeinsamen Teiler = Teste 3 und 4

Teste 3 mit der Quersumme: $7 + 1 + 2 + 8 = 18$, und $18$ ist durch 3 teilbar = Teilbar durch 3

Teste 4 mit den letzten zwei Ziffern: Die letzten zwei Ziffern bilden $28$, und $28 : 4 = 7$ = Teilbar durch 4

Kombiniere und prüfe: Beide Tests sind erfüllt, also teilt 12 die Zahl: $7128 : 12 = 594$ = Teilbar durch 12

Answer: Ja, $7128$ ist durch $12$ teilbar ($7128 = 12 \times 594$).

Die Falle mit 2 und 6

$18$ ist durch $2$ und durch $6$ teilbar. Ist sie auch durch $2 \times 6 = 12$ teilbar?

Prüfe 2 und 6: $18 : 2 = 9$ und $18 : 6 = 3$ = Beide teilen 18

Prüfe 12 direkt: $18 = 12 \times 1 + 6$ = Rest 6, nicht teilbar

Finde den Grund: $2 = 2$ und $6 = 2 \times 3$ haben den gemeinsamen Teiler 2, die 2 wird also doppelt gezählt. Teilbar durch 2 und 6 heißt nur teilbar durch $\text{kgV}(2, 6) = 6$ = 2 und 6 sind nicht teilerfremd

Answer: Nein. $18$ besteht die Tests für 2 und 6, ist aber nicht durch 12 teilbar. Nimm stattdessen das teilerfremde Paar 3 und 4.

Teilbar durch 11: alternierende Quersumme

Ist $82.918$ durch $11$ teilbar?

Schreibe die Ziffern von der Einerziffer nach links auf: $8, 1, 9, 2, 8$ = Beginne mit der Einerziffer

Addiere und subtrahiere abwechselnd: $8 - 1 + 9 - 2 + 8 = 22$ = Alternierende Quersumme: 22

Teste das Ergebnis: $22 = 2 \times 11$ = Teilbar durch 11

Prüfe durch Dividieren: $82.918 : 11 = 7538$ = Kein Rest

Answer: Ja, $82.918$ ist durch $11$ teilbar, weil ihre alternierende Quersumme $22$ ein Vielfaches von 11 ist.

Schnelle Teilersuche

Welche der Zahlen $2$ bis $12$ teilen $1980$?

Tests mit der letzten Ziffer: Endet auf 0: teilbar durch 2, 5 und 10 = 2, 5, 10

Tests mit der Quersumme: $1 + 9 + 8 + 0 = 18$: teilbar durch 3 und durch 9 = 3, 9

Letzte zwei und drei Ziffern: $80 : 4 = 20$: teilbar durch 4. $980 : 8 = 122{,}5$: nicht teilbar durch 8 = 4 ja, 8 nein

Alternierende Quersumme für 11: $0 - 8 + 9 - 1 = 0$ = 11

Kombiniere die teilerfremden Paare: $6 = 2 \times 3$ und $12 = 3 \times 4$ sind beide erfüllt. Für 7 gibt es keine einfache Regel: $1980 = 7 \times 282 + 6$ = 6, 12; nicht 7

Answer: $1980$ ist durch $2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11$ und $12$ teilbar, aber nicht durch $7$ oder $8$.

Fehlende Ziffer mit zwei Regeln

Welche Ziffern $d$ machen $38d4$ durch $12$ teilbar?

Regel für 4: die letzten zwei Ziffern $d4$: $04, 24, 44, 64, 84$ sind Vielfache von 4 = $d$ = 0, 2, 4, 6 oder 8

Regel für 3: die Quersumme: $3 + 8 + d + 4 = 15 + d$ muss ein Vielfaches von 3 sein = $d$ = 0, 3, 6 oder 9

Behalte die Ziffern, die beide Regeln erfüllen: In beiden Listen: 0 und 6 = $d = 0$ oder $d = 6$

Probe: $3804 : 12 = 317$ und $3864 : 12 = 322$ = Beide passen

Answer: $d = 0$ oder $d = 6$: Die Zahlen $3804$ und $3864$ sind beide durch $12$ teilbar.

Kombinierte Regeln machen aus großen Fragen zwei schnelle Prüfungen: - **Gerecht verteilen**: Lassen sich 1350 Sticker ohne Rest auf 15 Klassen verteilen? Zwei Prüfungen sagen ja. - **Fahrpläne**: Ein Tag hat 1440 Minuten. Eine Straßenbahn alle 36 Minuten passt genau in den Tag, wenn 1440 durch 36 teilbar ist. - **Brüche**: Wer erkennt, dass 12 oder 18 Zähler und Nenner teilt, kürzt einen Bruch in einem Schritt. - **Riesige Zahlen**: Eine 12-stellige Zahl lässt sich in Sekunden auf 11 oder 12 testen, auch wenn der Taschenrechner zu wenige Stellen anzeigt. Die Idee hinter jeder kombinierten Regel, teilerfremde Faktoren, ist auch der Schlüssel zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen und zu vielen Rätseln mit fehlenden Ziffern.

Mistake: 12 mit den Regeln für 2 und 6 testen

Why: 2 und 6 haben den gemeinsamen Teiler 2, beide Tests zusammen beweisen also nur die Teilbarkeit durch 6. Gegenbeispiel: $18$ (und auch $30$) ist durch 2 und 6 teilbar, aber nicht durch 12.

Correct: Nimm teilerfremde Faktoren: $12 = 3 \times 4$. Prüfe die Quersumme für 3 und die letzten zwei Ziffern für 4.

Mistake: 36 mit 3 und 12 testen

Why: 3 und 12 haben den gemeinsamen Teiler 3. $24$ ist durch 3 und durch 12 teilbar, aber $24 : 36$ ist keine ganze Zahl.

Correct: Nimm $36 = 4 \times 9$: letzte zwei Ziffern durch 4 teilbar und Quersumme durch 9 teilbar.

Mistake: Glauben, dass ein bestandener Test reicht

Why: Eine kombinierte Regel braucht BEIDE Tests. $25$ endet auf 5, aber ihre Quersumme ist 7, also ist sie nicht durch 15 teilbar.

Correct: Prüfe jeden Faktor des Paares. Wenn ein Test nicht erfüllt ist, ist die Zahl nicht durch das Produkt teilbar.

Mistake: Eine alternierende Quersumme von $0$ oder $-11$ als nicht teilbar durch 11 lesen

Why: $0$, $-11$ und $-22$ sind auch Vielfache von 11. Für $9174$: $4 - 7 + 1 - 9 = -11$, und tatsächlich ist $9174 = 11 \times 834$.

Correct: Die Zahl ist durch 11 teilbar, sobald die alternierende Quersumme $0$ oder ein beliebiges Vielfaches von 11 ist, positiv oder negativ.

Gerecht verteilen

Lehrkräfte, Trainer und Veranstalter müssen oft wissen, ob sich Dinge ohne Rest verteilen lassen.

Eine Schule hat 1350 Sticker für 15 Klassen. $15 = 3 \times 5$: Die letzte Ziffer ist 0 (teilbar durch 5) und $1 + 3 + 5 + 0 = 9$ (teilbar durch 3). Die Sticker lassen sich also gerecht verteilen.

Fahrpläne

Verkehrsplaner wollen Abfahrten, die sich jeden Tag im gleichen Muster wiederholen. Ein Tag hat $24 \times 60 = 1440$ Minuten.

Ein Bus alle 12 Minuten passt genau in einen Tag: $1 + 4 + 4 + 0 = 9$ (teilbar durch 3) und $40 : 4 = 10$, also ist 1440 durch 12 teilbar, das ergibt 120 Abfahrten.

Der 12-Stellen-Check

Viele Taschenrechner zeigen nur 8 bis 10 Stellen und können eine 12-stellige Zahl nicht genau teilen. Teilbarkeitsregeln funktionieren bei Zahlen jeder Länge.

Bei $123.456.789.012$ ist die Quersumme $48$ (teilbar durch 3) und die letzten zwei Ziffern bilden $12$ (teilbar durch 4), also ist die Zahl durch 12 teilbar.

Wenn $a$ und $b$ teilerfremd sind, ist eine Zahl, die durch $a$ und durch $b$ teilbar ist, auch durch $a \times b$ teilbar

Teste 12 mit 3 und 4, 15 mit 3 und 5, 18 mit 2 und 9, 36 mit 4 und 9

Teste ein Produkt nie mit zwei Faktoren, die einen gemeinsamen Teiler haben: 18 ist durch 2 und 6 teilbar, aber nicht durch 12

Teilbar durch 11: Die alternierende Quersumme ($+ - + - \dots$ ab der Einerziffer) ist ein Vielfaches von 11, auch $0$ und negative Vielfache zählen

Für eine schnelle Teilersuche nutzt du Endziffern, Quersummen und die alternierende Quersumme und kombinierst dann teilerfremde Paare

Bei einer fehlenden Ziffer mit zwei Regeln listest du die Ziffern für jede Regel auf und behältst die, die in beiden Listen stehen

Q: Warum müssen die beiden Faktoren teilerfremd sein?

A: Eine Zahl, die durch $a$ und durch $b$ teilbar ist, ist ein gemeinsames Vielfaches von $a$ und $b$, also durch $\text{kgV}(a, b)$ teilbar. Sind $a$ und $b$ teilerfremd, gilt $\text{kgV}(a, b) = a \times b$. Haben sie einen gemeinsamen Teiler, ist das kgV kleiner: $\text{kgV}(2, 6) = 6$, nicht 12.

Q: Warum funktioniert die alternierende Quersumme für 11?

A: $10 = 11 - 1$, also lässt 10 beim Teilen durch 11 den Rest $-1$, $100 = 99 + 1$ lässt $+1$, $1000 = 1001 - 1$ lässt $-1$ und so weiter. Jede Ziffer zählt also mit dem Vorzeichen $+, -, +, -, \dots$ ab der Einerziffer, und die Zahl hat denselben Rest wie ihre alternierende Quersumme.

Q: Ist es egal, ob ich die alternierende Quersumme von links oder von rechts beginne?

A: Für die Antwort ja oder nein ist es egal: Die beiden Ergebnisse sind gleich oder Gegenzahlen, und $-22$ ist genau dann ein Vielfaches von 11, wenn $22$ es ist. Wer bei der Einerziffer mit $+$ beginnt, behält außerdem den Rest der Zahl (addiere oder subtrahiere 11, bis du zwischen 0 und 10 landest), deshalb ist das die sicherere Gewohnheit.

Q: Kann ich 24 mit 4 und 6 testen?

A: Nein, 4 und 6 haben den gemeinsamen Teiler 2. $12$ ist durch 4 und 6 teilbar, aber nicht durch 24. Nimm das teilerfremde Paar $24 = 3 \times 8$: Quersumme durch 3 teilbar und letzte drei Ziffern durch 8 teilbar.

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Zahlentheorie / Teilbarkeit

Kombinierte Teilbarkeitsregeln

Kombiniere einfache Regeln, um auf 12, 15, 18 und 36 zu testen, lerne die alternierende Quersumme für 11 und finde alle Teiler von 2 bis 12 in Sekunden.

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