Kombinierte Teilbarkeitsregeln

Kombiniere einfache Regeln, um auf 12, 15, 18 und 36 zu testen, lerne die alternierende Quersumme für 11 und finde alle Teiler von 2 bis 12 in Sekunden.

Mittelstufe25 MinLektion
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Definition

Manche Teiler haben keine eigene Regel, aber du kannst zwei einfache Regeln kombinieren.
Kombinierte Regel: Wenn aa und bb teilerfremd sind (ihr einziger gemeinsamer Teiler ist 11), dann ist eine Zahl, die durch aa und durch bb teilbar ist, auch durch a×ba \times b teilbar.
TeilerTestWarum es funktioniert
12=3×412 = 3 \times 4Quersumme durch 3 teilbar und letzte zwei Ziffern durch 4 teilbar3 und 4 sind teilerfremd
15=3×515 = 3 \times 5Quersumme durch 3 teilbar und letzte Ziffer 0 oder 53 und 5 sind teilerfremd
18=2×918 = 2 \times 9letzte Ziffer gerade und Quersumme durch 9 teilbar2 und 9 sind teilerfremd
36=4×936 = 4 \times 9letzte zwei Ziffern durch 4 teilbar und Quersumme durch 9 teilbar4 und 9 sind teilerfremd
Vorsicht: 12=2×612 = 2 \times 6 ist KEIN gültiger Test, denn 2 und 6 haben den gemeinsamen Teiler 2. Die Zahl 1818 ist durch 2 und durch 6 teilbar, aber 18:12=1,518 : 12 = 1{,}5. Allgemein beweisen die Tests für aa und bb die Teilbarkeit durch kgV(a,b)\text{kgV}(a, b), und das ist nur dann a×ba \times b, wenn aa und bb teilerfremd sind.
Teilbarkeit durch 11 (alternierende Quersumme): Beginne bei der Einerziffer und addiere und subtrahiere die Ziffern abwechselnd: +−+−…+ - + - \dots Ist das Ergebnis durch 11 teilbar (dazu gehören 00, 1111, −11-11, 2222), dann ist die Zahl durch 11 teilbar.
82.918:8−1+9−2+8=22⇒82.918 ist teilbar durch 1182.918: \quad 8 - 1 + 9 - 2 + 8 = 22 \Rightarrow 82.918 \text{ ist teilbar durch } 11

Probier es gleich aus

Welches Paar von Tests beweist zusammen, dass eine Zahl durch 1212 teilbar ist?

Lösungsbeispiele

Ist 71287128 durch 1212 teilbar?
1

Zerlege 12 in teilerfremde Faktoren

12=3×412 = 3 \times 4, und 3 und 4 haben außer 1 keinen gemeinsamen Teiler → Teste 3 und 4
2

Teste 3 mit der Quersumme

7+1+2+8=187 + 1 + 2 + 8 = 18, und 1818 ist durch 3 teilbar → Teilbar durch 3
3

Teste 4 mit den letzten zwei Ziffern

Die letzten zwei Ziffern bilden 2828, und 28:4=728 : 4 = 7 → Teilbar durch 4
4

Kombiniere und prüfe

Beide Tests sind erfüllt, also teilt 12 die Zahl: 7128:12=5947128 : 12 = 594 → Teilbar durch 12

Häufige Fehler

12 mit den Regeln für 2 und 6 testen

Warum es falsch ist: 2 und 6 haben den gemeinsamen Teiler 2, beide Tests zusammen beweisen also nur die Teilbarkeit durch 6. Gegenbeispiel: 1818 (und auch 3030) ist durch 2 und 6 teilbar, aber nicht durch 12.

Richtig: Nimm teilerfremde Faktoren: 12=3×412 = 3 \times 4. Prüfe die Quersumme für 3 und die letzten zwei Ziffern für 4.

36 mit 3 und 12 testen

Warum es falsch ist: 3 und 12 haben den gemeinsamen Teiler 3. 2424 ist durch 3 und durch 12 teilbar, aber 24:3624 : 36 ist keine ganze Zahl.

Richtig: Nimm 36=4×936 = 4 \times 9: letzte zwei Ziffern durch 4 teilbar und Quersumme durch 9 teilbar.

Glauben, dass ein bestandener Test reicht

Warum es falsch ist: Eine kombinierte Regel braucht BEIDE Tests. 2525 endet auf 5, aber ihre Quersumme ist 7, also ist sie nicht durch 15 teilbar.

Richtig: Prüfe jeden Faktor des Paares. Wenn ein Test nicht erfüllt ist, ist die Zahl nicht durch das Produkt teilbar.

Eine alternierende Quersumme von 00 oder −11-11 als nicht teilbar durch 11 lesen

Warum es falsch ist: 00, −11-11 und −22-22 sind auch Vielfache von 11. Für 91749174: 4−7+1−9=−114 - 7 + 1 - 9 = -11, und tatsächlich ist 9174=11×8349174 = 11 \times 834.

Richtig: Die Zahl ist durch 11 teilbar, sobald die alternierende Quersumme 00 oder ein beliebiges Vielfaches von 11 ist, positiv oder negativ.

Interaktive Visualisierung

Erst raten: Welche Zahlen von 2 bis 12 teilen die Zahl? Dann prüfe jede Regel

0 von 0 richtig
3960

Für 2: Schau auf die letzte Ziffer.

Wähle einen Teiler, tippe auf Ja oder Nein und sieh dir dann die Regel an.

Ist 3960 durch 2 teilbar?

Für 2: Schau auf die letzte Ziffer.

Eine 12-stellige Zahl: Die Regeln funktionieren auch dort, wo der Taschenrechner zu wenig Stellen hat

123456789012

Für 2: Schau auf die letzte Ziffer.

Tippe auf einen Teiler, um seine Regel an dieser Zahl zu sehen.

Ist 123.456.789.012 durch 2 teilbar?

Die letzte Ziffer ist 2. Sie ist gerade (0, 2, 4, 6 oder 8).

123.456.789.012 ist durch 2 teilbar.

Probe mit Division: 123.456.789.012 ÷ 2 = 61.728.394.506

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben
Aufgabe 1 von 18
Einfach
Welches Paar von Tests beweist zusammen, dass eine Zahl durch 1212 teilbar ist?

Warum es wichtig ist

Kombinierte Regeln machen aus großen Fragen zwei schnelle Prüfungen:
  • Gerecht verteilen: Lassen sich 1350 Sticker ohne Rest auf 15 Klassen verteilen? Zwei Prüfungen sagen ja.
  • Fahrpläne: Ein Tag hat 1440 Minuten. Eine Straßenbahn alle 36 Minuten passt genau in den Tag, wenn 1440 durch 36 teilbar ist.
  • Brüche: Wer erkennt, dass 12 oder 18 Zähler und Nenner teilt, kürzt einen Bruch in einem Schritt.
  • Riesige Zahlen: Eine 12-stellige Zahl lässt sich in Sekunden auf 11 oder 12 testen, auch wenn der Taschenrechner zu wenige Stellen anzeigt.
Die Idee hinter jeder kombinierten Regel, teilerfremde Faktoren, ist auch der Schlüssel zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen und zu vielen Rätseln mit fehlenden Ziffern.

Anwendungen im echten Leben

Gerecht verteilen

Lehrkräfte, Trainer und Veranstalter müssen oft wissen, ob sich Dinge ohne Rest verteilen lassen.

Beispiel:

Eine Schule hat 1350 Sticker für 15 Klassen. 15=3×515 = 3 \times 5: Die letzte Ziffer ist 0 (teilbar durch 5) und 1+3+5+0=91 + 3 + 5 + 0 = 9 (teilbar durch 3). Die Sticker lassen sich also gerecht verteilen.

1Probiere es selbst

Eine Schule möchte 1350 Sticker an 15 Klassen verteilen, jede Klasse bekommt gleich viele.

Wie viele Sticker bekommt jede Klasse?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Division, die die Sticker pro Klasse ergibt:

Fahrpläne

Verkehrsplaner wollen Abfahrten, die sich jeden Tag im gleichen Muster wiederholen. Ein Tag hat $24 \times 60 = 1440$ Minuten.

Beispiel:

Ein Bus alle 12 Minuten passt genau in einen Tag: 1+4+4+0=91 + 4 + 4 + 0 = 9 (teilbar durch 3) und 40:4=1040 : 4 = 10, also ist 1440 durch 12 teilbar, das ergibt 120 Abfahrten.

2Probiere es selbst

Eine Straßenbahn fährt Tag und Nacht alle 36 Minuten ab, die erste um Mitternacht.

Wie viele Straßenbahnen fahren an einem Tag mit 1440 Minuten ab?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Division, die die Anzahl der Abfahrten ergibt:

Der 12-Stellen-Check

Viele Taschenrechner zeigen nur 8 bis 10 Stellen und können eine 12-stellige Zahl nicht genau teilen. Teilbarkeitsregeln funktionieren bei Zahlen jeder Länge.

Beispiel:

Bei 123.456.789.012123.456.789.012 ist die Quersumme 4848 (teilbar durch 3) und die letzten zwei Ziffern bilden 1212 (teilbar durch 4), also ist die Zahl durch 12 teilbar.

3Probiere es selbst

Ein 12-stelliger Code lautet 123.456.789.012123.456.789.012. Du willst ohne Taschenrechner wissen, ob er durch 12 und durch 11 teilbar ist.

Welcher Rest bleibt, wenn man 123.456.789.012123.456.789.012 durch 12 teilt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Gib den Rest ein:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Wenn aa und bb teilerfremd sind, ist eine Zahl, die durch aa und durch bb teilbar ist, auch durch a×ba \times b teilbar
  • 2Teste 12 mit 3 und 4, 15 mit 3 und 5, 18 mit 2 und 9, 36 mit 4 und 9
  • 3Teste ein Produkt nie mit zwei Faktoren, die einen gemeinsamen Teiler haben: 18 ist durch 2 und 6 teilbar, aber nicht durch 12
  • 4Teilbar durch 11: Die alternierende Quersumme (+−+−…+ - + - \dots ab der Einerziffer) ist ein Vielfaches von 11, auch 00 und negative Vielfache zählen
  • 5Für eine schnelle Teilersuche nutzt du Endziffern, Quersummen und die alternierende Quersumme und kombinierst dann teilerfremde Paare
  • 6Bei einer fehlenden Ziffer mit zwei Regeln listest du die Ziffern für jede Regel auf und behältst die, die in beiden Listen stehen

Häufig gestellte Fragen

Eine Zahl, die durch aa und durch bb teilbar ist, ist ein gemeinsames Vielfaches von aa und bb, also durch kgV(a,b)\text{kgV}(a, b) teilbar. Sind aa und bb teilerfremd, gilt kgV(a,b)=a×b\text{kgV}(a, b) = a \times b. Haben sie einen gemeinsamen Teiler, ist das kgV kleiner: kgV(2,6)=6\text{kgV}(2, 6) = 6, nicht 12.
Eine Zahl, die durch aa und durch bb teilbar ist, ist ein gemeinsames Vielfaches von aa und bb, also durch kgV(a,b)\text{kgV}(a, b) teilbar. Sind aa und bb teilerfremd, gilt kgV(a,b)=a×b\text{kgV}(a, b) = a \times b. Haben sie einen gemeinsamen Teiler, ist das kgV kleiner: kgV(2,6)=6\text{kgV}(2, 6) = 6, nicht 12.
10=11−110 = 11 - 1, also lässt 10 beim Teilen durch 11 den Rest −1-1, 100=99+1100 = 99 + 1 lässt +1+1, 1000=1001−11000 = 1001 - 1 lässt −1-1 und so weiter. Jede Ziffer zählt also mit dem Vorzeichen +,−,+,−,…+, -, +, -, \dots ab der Einerziffer, und die Zahl hat denselben Rest wie ihre alternierende Quersumme.
Für die Antwort ja oder nein ist es egal: Die beiden Ergebnisse sind gleich oder Gegenzahlen, und −22-22 ist genau dann ein Vielfaches von 11, wenn 2222 es ist. Wer bei der Einerziffer mit ++ beginnt, behält außerdem den Rest der Zahl (addiere oder subtrahiere 11, bis du zwischen 0 und 10 landest), deshalb ist das die sicherere Gewohnheit.
Nein, 4 und 6 haben den gemeinsamen Teiler 2. 1212 ist durch 4 und 6 teilbar, aber nicht durch 24. Nimm das teilerfremde Paar 24=3×824 = 3 \times 8: Quersumme durch 3 teilbar und letzte drei Ziffern durch 8 teilbar.

Glossar

Teilerfremd
Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr einziger gemeinsamer Teiler 1 ist. Beispiel: 4 und 9 sind teilerfremd, 2 und 6 nicht.
Kombinierte Teilbarkeitsregel
Ein Test für ein Produkt a×ba \times b teilerfremder Zahlen: Die Zahl muss den Test für aa und den Test für bb bestehen.
Alternierende Quersumme
Die Ziffern abwechselnd addiert und subtrahiert, ab der Einerziffer: Für 2816 ist sie 6−1+8−2=116 - 1 + 8 - 2 = 11.
Quersumme
Die Summe aller Ziffern einer Zahl. Die Quersumme von 1980 ist 1+9+8+0=181 + 9 + 8 + 0 = 18.
Rest
Was beim Teilen übrig bleibt. 18:12=118 : 12 = 1 Rest 66.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Die kleinste Zahl, die ein Vielfaches beider Zahlen ist. kgV(3,4)=12\text{kgV}(3, 4) = 12, kgV(2,6)=6\text{kgV}(2, 6) = 6.

Formelkarte

Kombinierte Regel

a,ba, b teilerfremd: a∣na \mid n und b∣n⇒a×b∣nb \mid n \Rightarrow a \times b \mid n

Gilt nur, wenn die beiden Faktoren außer 1 keinen gemeinsamen Teiler haben

Teilbar durch 12

12=3×412 = 3 \times 4

Quersumme durch 3 teilbar und letzte zwei Ziffern durch 4 teilbar

Teilbar durch 15

15=3×515 = 3 \times 5

Quersumme durch 3 teilbar und letzte Ziffer 0 oder 5

Teilbar durch 18

18=2×918 = 2 \times 9

Letzte Ziffer gerade und Quersumme durch 9 teilbar

Teilbar durch 36

36=4×936 = 4 \times 9

Letzte zwei Ziffern durch 4 teilbar und Quersumme durch 9 teilbar

Teilbar durch 11

d0−d1+d2−d3+…d_0 - d_1 + d_2 - d_3 + \dots

Alternierende Quersumme ab der Einerziffer ist ein Vielfaches von 11 (auch 0)

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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