Teilbarkeit durch 2 (Gerade Zahlen)

Ist $246$ durch $2$ teilbar?

Schaue auf die letzte Ziffer: Die letzte Ziffer von $246$ ist $6$ = Letzte Ziffer: $6$

Prüfe, ob sie gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8): $6$ ist eine gerade Zahl = Ja, $6$ ist gerade

Wende die Regel an: Wenn die letzte Ziffer gerade ist, ist die ganze Zahl durch $2$ teilbar = Teilbar durch $2$

Answer: Ja, $246$ ist durch $2$ teilbar, weil sie auf $6$ endet (eine gerade Ziffer).

Teilbarkeit durch 3 (Quersumme)

Ist $531$ durch $3$ teilbar?

Addiere alle Ziffern: $5 + 3 + 1 = 9$ = Quersumme: $9$

Prüfe, ob die Summe durch 3 teilbar ist: $9 \div 3 = 3$ ohne Rest = Ja, $9$ ist durch $3$ teilbar

Wende die Regel an: Wenn die Quersumme durch $3$ teilbar ist, ist es auch die ganze Zahl = Teilbar durch $3$

Answer: Ja, $531$ ist durch $3$ teilbar, weil $5 + 3 + 1 = 9$, und $9$ ist durch $3$ teilbar.

Teilbarkeit durch 4 (Letzte zwei Ziffern)

Ist $1.324$ durch $4$ teilbar?

Schaue auf die letzten zwei Ziffern: Die letzten zwei Ziffern von $1.324$ sind $24$ = Letzte zwei Ziffern: $24$

Prüfe, ob diese Zahl durch 4 teilbar ist: $24 \div 4 = 6$ ohne Rest = Ja, $24$ ist durch $4$ teilbar

Wende die Regel an: Wenn die letzten zwei Ziffern eine durch $4$ teilbare Zahl bilden, ist es auch die ganze Zahl = Teilbar durch $4$

Answer: Ja, $1.324$ ist durch $4$ teilbar, weil die letzten zwei Ziffern ($24$) durch $4$ teilbar sind.

Teilbarkeit durch 5 (Letzte Ziffer)

Ist $7.835$ durch $5$ teilbar?

Schaue auf die letzte Ziffer: Die letzte Ziffer von $7.835$ ist $5$ = Letzte Ziffer: $5$

Prüfe, ob sie 0 oder 5 ist: $5$ ist eine der Zielziffern = Ja, es ist $5$

Wende die Regel an: Wenn die letzte Ziffer $0$ oder $5$ ist, ist die Zahl durch $5$ teilbar = Teilbar durch $5$

Answer: Ja, $7.835$ ist durch $5$ teilbar, weil sie auf $5$ endet.

Teilbarkeit durch 6 (Kombinierte Regeln)

Ist $432$ durch $6$ teilbar?

Prüfe Teilbarkeit durch 2: Letzte Ziffer ist $2$ (gerade), also durch $2$ teilbar = Durch $2$ teilbar: Ja

Prüfe Teilbarkeit durch 3: $4 + 3 + 2 = 9$, und $9 \div 3 = 3$ = Durch $3$ teilbar: Ja

Wende die Regel für 6 an: Wenn durch $2$ UND $3$ teilbar, dann durch $6$ teilbar = Teilbar durch $6$

Answer: Ja, $432$ ist durch $6$ teilbar, weil sie sowohl durch $2$ (endet auf $2$) als auch durch $3$ (Quersumme $9$) teilbar ist.

Teilbarkeit durch 9 (Quersumme)

Ist $2.457$ durch $9$ teilbar?

Addiere alle Ziffern: $2 + 4 + 5 + 7 = 18$ = Quersumme: $18$

Prüfe, ob die Summe durch 9 teilbar ist: $18 \div 9 = 2$ ohne Rest = Ja, $18$ ist durch $9$ teilbar

Wende die Regel an: Wenn die Quersumme durch $9$ teilbar ist, ist es auch die ganze Zahl = Teilbar durch $9$

Answer: Ja, $2.457$ ist durch $9$ teilbar, weil $2 + 4 + 5 + 7 = 18$, und $18$ ist durch $9$ teilbar.

Gegenbeispiel: Wenn Regeln fehlschlagen

Ist $523$ durch $3$ teilbar?

Addiere alle Ziffern: $5 + 2 + 3 = 10$ = Quersumme: $10$

Prüfe, ob die Summe durch 3 teilbar ist: $10 \div 3 = 3$ Rest $1$ = Nein, $10$ ist NICHT durch $3$ teilbar

Wende die Regel an: Da die Quersumme nicht durch $3$ teilbar ist, ist es auch die Originalzahl nicht = NICHT durch $3$ teilbar

Answer: Nein, $523$ ist NICHT durch $3$ teilbar, weil $5 + 2 + 3 = 10$, und $10$ ist nicht durch $3$ teilbar.

Mistake: Die Endziffer-Regel für Teilbarkeit durch 3 verwenden

Why: Anders als bei Teilbarkeit durch 2 oder 5 sagt die letzte Ziffer allein nichts über Teilbarkeit durch 3 aus. Zum Beispiel endet $13$ auf $3$, ist aber NICHT durch $3$ teilbar.

Correct: Für Teilbarkeit durch 3: Addiere ALLE Ziffern und prüfe, ob diese Summe durch 3 teilbar ist.

Mistake: Nur Teilbarkeit durch 2 ODER 3 für Teilbarkeit durch 6 prüfen

Why: Eine Zahl muss BEIDE Tests bestehen. Zum Beispiel ist $9$ durch $3$ teilbar, aber nicht durch $2$, also ist sie nicht durch $6$ teilbar.

Correct: Für Teilbarkeit durch 6 muss die Zahl sowohl durch 2 ALS AUCH durch 3 teilbar sein.

Mistake: Die Regeln für 3 und 9 verwechseln

Why: Beide Regeln beinhalten das Addieren von Ziffern, aber sie prüfen unterschiedliche Teiler. Eine durch 9 teilbare Zahl ist immer durch 3 teilbar, aber nicht umgekehrt.

Correct: Für 3: Quersumme durch 3 teilbar. Für 9: Quersumme durch 9 teilbar. Beispiel: $12$ (Quersumme $3$) ist durch $3$ teilbar, aber nicht durch $9$.

Mistake: Nur die letzte Ziffer für Teilbarkeit durch 4 betrachten

Why: Anders als bei 2 und 5 brauchst du die letzten ZWEI Ziffern für 4. Zum Beispiel endet $14$ auf $4$, aber $14 \div 4 = 3$ Rest $2$.

Correct: Für Teilbarkeit durch 4: Prüfe, ob die letzten ZWEI Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden.

Kosten gerecht aufteilen

Beim Teilen einer Rechnung unter Freunden helfen Teilbarkeitsregeln sofort zu wissen, ob es glatt aufgeht.

Eine Restaurantrechnung beträgt 72€. Können 6 Personen sie gerecht aufteilen? Prüfung: $72$ endet auf $2$ (durch $2$ teilbar) und $7 + 2 = 9$ (durch $3$ teilbar), also ja, durch $6$ teilbar. Jeder zahlt 12€.

Gegenstände in Gruppen ordnen

Lehrer, Trainer und Veranstalter nutzen Teilbarkeit, um Personen oder Gegenstände in gleiche Gruppen einzuteilen.

Eine Lehrerin hat 28 Schüler. Kann sie Gruppen von 4 bilden? Prüfung: Die letzten zwei Ziffern sind $28$, und $28 \div 4 = 7$. Ja! Sie kann 7 Gruppen von 4 bilden.

Q: Warum funktioniert die Quersumme für 3 und 9?

A: Das hängt mit dem Stellenwert zusammen! Jede Stelle (Einer, Zehner, Hunderter) lässt bei Division durch 9 (oder 3) den Rest 1. Daher entspricht der Rest der ganzen Zahl dem Rest der Quersumme.

Q: Gibt es eine Regel für Teilbarkeit durch 7?

A: Ja, aber sie ist komplizierter! Verdopple die letzte Ziffer, ziehe sie vom Rest ab und prüfe, ob das Ergebnis durch 7 teilbar ist. In den meisten Fällen ist es einfacher, direkt zu dividieren.

Q: Wenn eine Zahl durch 9 teilbar ist, ist sie auch durch 3 teilbar?

A: Ja! Da 9 = 3 mal 3, ist jedes Vielfache von 9 automatisch ein Vielfaches von 3. Aber nicht umgekehrt: 12 ist durch 3 teilbar, aber nicht durch 9.