Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Lerne, wie du die kleinste Zahl findest, die ein Vielfaches von zwei oder mehr Zahlen ist.

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Definition

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei oder mehr Zahlen ist die kleinste positive Zahl, die ein Vielfaches aller gegebenen Zahlen ist.
Zum Beispiel, um das kgV von 44 und 66 zu finden:
  • Vielfache von 44: 4,8,12,16,20,24,...4, 8, 12, 16, 20, 24, ...
  • Vielfache von 66: 6,12,18,24,30,...6, 12, 18, 24, 30, ...
  • Gemeinsame Vielfache: 12,24,36,...12, 24, 36, ...
  • **kgV = 1212** (das kleinste gemeinsame Vielfache)
Wir schreiben: kgV(4,6)=12\text{kgV}(4, 6) = 12

Probier es gleich aus

Was ist das kgV von 22 und 33?

Lösungsbeispiele

Finde das kgV von 33 und 55.
1

Liste Vielfache von 3 auf

3×1=33 \times 1 = 3, 3×2=63 \times 2 = 6, 3×3=93 \times 3 = 9, 3×4=123 \times 4 = 12, 3×5=153 \times 5 = 15, ... → 3,6,9,12,15,18,21,...3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...
2

Liste Vielfache von 5 auf

5×1=55 \times 1 = 5, 5×2=105 \times 2 = 10, 5×3=155 \times 3 = 15, ... → 5,10,15,20,25,...5, 10, 15, 20, 25, ...
3

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache

Beide Listen enthalten 1515 → kgV(3,5)=15\text{kgV}(3, 5) = 15

Häufige Fehler

Die Zahlen multiplizieren statt das kgV zu finden

Warum es falsch ist: Obwohl 4×6=244 \times 6 = 24 ein gemeinsames Vielfaches ergibt, ist es nicht immer das kleinste. Das kgV von 44 und 66 ist 1212, nicht 2424.

Richtig: Prüfe immer, ob es ein kleineres gemeinsames Vielfaches gibt, indem du auflistest oder die Primfaktorzerlegung verwendest.

kgV mit ggT verwechseln

Warum es falsch ist: kgV ist das kleinste gemeinsame Vielfache; ggT ist der größte gemeinsame Teiler. Für 44 und 66: kgV ist 1212, ggT ist 22.

Richtig: Merke: kgV verwendet Vielfache (größere Zahlen), ggT verwendet Teiler (kleinere Zahlen).

Beim Auflisten ein gemeinsames Vielfaches übersehen

Warum es falsch ist: Schüler hören manchmal zu früh auf zu listen und wählen eine Zahl, die nicht die kleinste ist.

Richtig: Schreibe weiter Vielfache auf, bis eine Zahl in beiden Listen vorkommt. Die erste solche Zahl ist das kgV.

Interaktive Visualisierung

Venn-Diagramm - ggT & kgV

Zahl A:
Zahl B:
46223Nur in AGemeinsamNur in B

Primfaktoren von 4:

22

Primfaktoren von 6:

23

ggT

2

2 = 2

kgV

12

2 × 2 × 3 = 12

So funktioniert es:

  • • ggT = Produkt der gemeinsamen Primfaktoren (Mitte des Diagramms)
  • • kgV = Produkt aller Primfaktoren (gesamtes Diagramm)

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache mit Primfaktorzerlegung.

Faktorbaum

Zahl:
Zusammengesetzt
Primzahl

Gib eine Zahl ein, um ihren Faktorbaum und die Primfaktorzerlegung zu sehen.

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

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Übungsaufgaben

15 Aufgaben
Aufgabe 1 von 15
Einfach
Was ist das kgV von 22 und 33?

Warum es wichtig ist

Das kgV ist in vielen mathematischen und alltäglichen Situationen wichtig:
  • Brüche addieren: Um 14+16\frac{1}{4} + \frac{1}{6} zu addieren, brauchst du kgV(4,6)=12\text{kgV}(4, 6) = 12 als gemeinsamen Nenner
  • Fahrpläne: Wenn Bus A alle 4 Minuten und Bus B alle 6 Minuten kommt, kommen sie alle 12 Minuten zusammen an
  • Verpackung: Stifte gibt es in Packungen zu 4, Radiergummis in Packungen zu 6. Die kleinste gleiche Anzahl von beiden ist kgV(4,6)=12\text{kgV}(4, 6) = 12 (3 und 2 Packungen)
  • Musik: Ein Trommelmuster aus 3 Schlägen und eines aus 4 Schlägen beginnen alle kgV(3,4)=12\text{kgV}(3, 4) = 12 Schläge wieder gemeinsam

Anwendungen im echten Leben

Busfahrpläne

Verwende das kgV, um herauszufinden, wann zwei Busse mit verschiedenen Fahrplänen gleichzeitig ankommen.

Beispiel:

Bus A kommt alle 88 Minuten und Bus B alle 1212 Minuten. Wenn beide um 9:00 Uhr ankommen, wann kommen sie das nächste Mal zusammen an?

1Probiere es selbst

Bus A kommt alle 88 Minuten und Bus B alle 1212 Minuten. Beide kommen jetzt an.

In wie vielen Minuten kommen beide wieder zusammen an?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Finde kgV(8,12)\text{kgV}(8, 12)

Brüche addieren

Das kgV hilft, den gemeinsamen Nenner zu finden, wenn Brüche mit verschiedenen Nennern addiert werden.

Beispiel:

Um 14+16\frac{1}{4} + \frac{1}{6} zu addieren, bestimme kgV(4,6)=12\text{kgV}(4, 6) = 12 und schreibe die Brüche dann um: 312+212=512\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}.

2Probiere es selbst

Du möchtest 13+15\frac{1}{3} + \frac{1}{5} addieren.

Welchen gemeinsamen Nenner solltest du verwenden?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Finde kgV(3,5)\text{kgV}(3, 5)

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die ein Vielfaches aller gegebenen Zahlen ist
  • 2Methode 1: Liste Vielfache jeder Zahl auf und finde das kleinste gemeinsame
  • 3Methode 2: Verwende Primfaktorzerlegung und nimm die höchste Potenz jeder Primzahl
  • 4Das kgV wird verwendet, um gemeinsame Nenner beim Addieren von Brüchen zu finden
  • 5Verwechsle kgV (Vielfache, größer) nicht mit ggT (Teiler, kleiner)

Häufig gestellte Fragen

Das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) ist die kleinste Zahl, die durch beide Zahlen teilbar ist. Der ggT (größter gemeinsamer Teiler) ist die größte Zahl, die beide Zahlen ohne Rest teilt. Das kgV ist immer größer oder gleich der größeren Zahl; der ggT ist immer kleiner oder gleich der kleineren Zahl.
Das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) ist die kleinste Zahl, die durch beide Zahlen teilbar ist. Der ggT (größter gemeinsamer Teiler) ist die größte Zahl, die beide Zahlen ohne Rest teilt. Das kgV ist immer größer oder gleich der größeren Zahl; der ggT ist immer kleiner oder gleich der kleineren Zahl.
Ja! Wenn eine Zahl ein Vielfaches der anderen ist, entspricht das kgV der größeren Zahl. Zum Beispiel ist kgV(3,6)=6\text{kgV}(3, 6) = 6, weil 66 bereits ein Vielfaches von 33 ist.
Ja! Du kannst die Formel verwenden: kgV(a,b)=a×bggT(a,b)\text{kgV}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{ggT}(a, b)}. Zum Beispiel für 44 und 66: ggT ist 22, also kgV =4×62=242=12= \frac{4 \times 6}{2} = \frac{24}{2} = 12.

Glossar

Vielfaches
Eine Zahl, die durch eine andere Zahl ohne Rest teilbar ist. Zum Beispiel ist 1212 ein Vielfaches von 44, weil 12÷4=312 \div 4 = 3.
Gemeinsames Vielfaches
Eine Zahl, die ein Vielfaches von zwei oder mehr Zahlen ist. Zum Beispiel ist 1212 ein gemeinsames Vielfaches von 33 und 44.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Das kleinste positive gemeinsame Vielfache von zwei oder mehr Zahlen.
Primfaktorzerlegung
Das Schreiben einer Zahl als Produkt ihrer Primfaktoren. Zum Beispiel 12=22×312 = 2^2 \times 3.
Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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