Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche dieser Zahlen ist eine Primzahl?
1. a) $21$
2. b) $11$
3. c) $9$
4. d) $15$
Lösung: $11$
$11$ ist prim, weil ihre einzigen Teiler $1$ und $11$ sind. Die anderen sind zusammengesetzt: $9 = 3 \times 3$ , $15 = 3 \times 5$ , $21 = 3 \times 7$ .
2.
Welche Aussage über die Zahl $1$ ist richtig?
1. a) $1$ ist weder prim noch zusammengesetzt
2. b) $1$ ist eine zusammengesetzte Zahl
3. c) $1$ ist sowohl prim als auch zusammengesetzt
4. d) $1$ ist eine Primzahl
Lösung: $1$ ist weder prim noch zusammengesetzt
$1$ hat nur einen Teiler (sich selbst), also erfüllt sie nicht die Definition von prim (genau zwei Teiler) oder zusammengesetzt (mehr als zwei Teiler).
3.
Was ist die kleinste Primzahl?
1. a) $1$
2. b) $3$
3. c) $2$
4. d) $0$
Lösung: $2$
$2$ ist die kleinste Primzahl. Sie hat genau zwei Teiler: $1$ und $2$ . Sie ist auch die einzige gerade Primzahl!
4.
Welche dieser Zahlen ist zusammengesetzt?
1. a) $12$
2. b) $7$
3. c) $13$
4. d) $17$
Lösung: $12$
$12$ ist zusammengesetzt, weil sie die Teiler $1, 2, 3, 4, 6, 12$ hat. Die Zahlen $7$ , $13$ und $17$ sind alle prim.
5.
Wie viele Teiler hat $19$ ? Entscheide damit, ob $19$ prim oder zusammengesetzt ist.
Lösung: 2
$19$ ist nicht durch $2$ teilbar (ungerade) und nicht durch $3$ ( $1+9=10$ , nicht durch $3$ teilbar). Da $5 \times 5 = 25 > 19$ , müssen wir nicht weiter prüfen. $19$ hat also genau $2$ Teiler, $1$ und $19$ : Sie ist eine Primzahl.
6.
Wie viele Primzahlen gibt es zwischen $1$ und $10$ ?
Lösung: 4
Die Primzahlen zwischen $1$ und $10$ sind: $2, 3, 5, 7$ . Das sind $4$ Primzahlen.
7.
Was ist die nächste Primzahl nach $23$ ?
Lösung: 29
$24 = 2 \times 12$ , $25 = 5 \times 5$ , $26 = 2 \times 13$ , $27 = 3 \times 9$ , $28 = 4 \times 7$ . Aber $29$ hat nur die Teiler $1$ und $29$ , also ist sie prim!
8.
Wie viele Teiler hat die Zahl $18$ ?
Lösung: 6
Die Teiler von $18$ sind: $1, 2, 3, 6, 9, 18$ . Das sind $6$ Teiler, also ist $18$ zusammengesetzt.
9.
Bestimme, ob $37$ prim oder zusammengesetzt ist.
Lösung: Primzahl
1. Welche ist die größte natürliche Zahl, deren Quadrat höchstens $37$ ist? (Das ist $\sqrt{37}$ abgerundet.) 6
2. Ist $37$ durch $2$ teilbar? nein
3. Ist $37$ durch $3$ teilbar? nein
4. Ist $37$ durch $5$ teilbar? nein
5. Ist $37$ prim oder zusammengesetzt? prim
10.
Finde alle Teiler von $36$ und bestimme, ob sie prim oder zusammengesetzt ist.
Lösung: zusammengesetzt
1. Ist $36$ durch $1$ teilbar? ja
2. Ist $36$ durch $2$ teilbar? Wenn ja, was ist $36 \div 2$ ? 18
3. Ist $36$ durch $3$ teilbar? Wenn ja, was ist $36 \div 3$ ? 12
4. Ist $36$ durch $4$ teilbar? Wenn ja, was ist $36 \div 4$ ? 9
5. Ist $36$ durch $6$ teilbar? Wenn ja, was ist $36 \div 6$ ? 6
6. Die Teiler von $36$ sind $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ . Ist $36$ prim oder zusammengesetzt? zusammengesetzt
11.
Liste alle Primzahlen zwischen $20$ und $30$ auf.
Lösung: 23, 29
1. Ist $21$ prim? nein
2. Ist $22$ prim? nein
3. Ist $23$ prim? ja
4. Ist $25$ prim? nein
5. Ist $27$ prim? nein
6. Ist $29$ prim? ja
12.
Welche der folgenden Aussagen ist WAHR?
1. a)Alle Primzahlen sind ungerade
2. b)Alle geraden Zahlen größer als $2$ sind zusammengesetzt
3. c)Alle ungeraden Zahlen sind prim
4. d)Die Zahl $51$ ist prim
Lösung: Alle geraden Zahlen größer als $2$ sind zusammengesetzt
Jede gerade Zahl > $2$ ist durch $2$ teilbar, hat also mindestens $3$ Teiler ( $1$ , $2$ , sich selbst). $2$ ist prim (und gerade). $9$ und $15$ sind ungerade aber zusammengesetzt. $51 = 3 \times 17$ .
13.
Was ist die Summe aller Primzahlen zwischen $10$ und $20$ ?
Lösung: 60
Die Primzahlen zwischen $10$ und $20$ sind $11, 13, 17, 19$ . Summe: $11 + 13 + 17 + 19 = 60$ .
14.
Ist $91$ prim oder zusammengesetzt? Zeige deinen Rechenweg.
Lösung: zusammengesetzt
1. Welche ist die größte natürliche Zahl, deren Quadrat höchstens $91$ ist? (Das ist $\sqrt{91}$ abgerundet.) 9
2. Ist $91$ durch $2$ teilbar? nein
3. Ist $91$ durch $3$ teilbar? nein
4. Ist $91$ durch $5$ teilbar? nein
5. Ist $91$ durch $7$ teilbar? Was ist $91 \div 7$ ? 13
6. Ist $91$ prim oder zusammengesetzt? zusammengesetzt
15.
Schreibe $60$ als Produkt von Primfaktoren.
Lösung: $60 = 2^2 × 3 × 5$
1. Ist $60$ durch $2$ teilbar? Was ist $60 \div 2$ ? 30
2. Ist $30$ durch $2$ teilbar? Was ist $30 \div 2$ ? 15
3. Ist $15$ durch $2$ teilbar? nein
4. Ist $15$ durch $3$ teilbar? Was ist $15 \div 3$ ? 5
5. Ist $5$ prim? ja
6. $60 = 2^{\square} \times 3 \times 5$ . Welcher Exponent gehört in das Kästchen? 2