Modulare Arithmetik

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was ist $23 \bmod 5$ ?
1. a)2
2. b)4
3. c)3
4. d)18
Lösung: 3
$23 = 4 \times 5 + 3$ , also ist der Rest $3$ . Die $4$ ist der Quotient, und $18$ ist $23 - 5$ , nicht der Rest.
2.
Bestimme $45 \bmod 7$ .
Lösung: 3
$45 = 6 \times 7 + 3$ , also $45 \bmod 7 = 3$ .
3.
Es ist 8 Uhr. Was zeigt eine 12-Stunden-Uhr 7 Stunden später?
1. a)1 Uhr
2. b)11 Uhr
3. c)15 Uhr
4. d)3 Uhr
Lösung: 3 Uhr
$8 + 7 = 15$ und $15 \bmod 12 = 3$ : Die Uhr zeigt 3. 15 Uhr gibt es nur auf einer 24-Stunden-Uhr.
4.
Bestimme $-5 \bmod 12$ (einen Rest von 0 bis 11).
Lösung: 7
$-5 + 12 = 7$ , also $-5 = (-1) \times 12 + 7$ und $-5 \bmod 12 = 7$ . Auf der Uhr: 5 Stunden zurück von 12 ist 7.
5.
Bestimme $58 \bmod 9$ .
Lösung: 4
1. Welches ist das größte Vielfache von 9, das nicht größer als 58 ist? 54
2. Wie oft passt 9 in 58 (der Quotient)? 6
3. Wie groß ist der Rest $58 - 54$ ? 4
6.
Die Zahlen $a$ und $b$ sind beide ungerade. Was sind $(a + b) \bmod 2$ und $(a \times b) \bmod 2$ ?
1. a)1 und 1
2. b)0 und 1
3. c)0 und 0
4. d)1 und 0
Lösung: 0 und 1
Ungerade heißt Rest 1 modulo 2. Summe: $1 + 1 = 2 \equiv 0$ , also ist ungerade plus ungerade gerade. Produkt: $1 \times 1 = 1$ , also ist ungerade mal ungerade ungerade. Beispiel: $3 + 5 = 8$ und $3 \times 5 = 15$ .
7.
Heute ist Dienstag. Welcher Wochentag ist in 60 Tagen?
1. a)Samstag
2. b)Donnerstag
3. c)Montag
4. d)Sonntag
Lösung: Samstag
$60 = 8 \times 7 + 4$ : 60 Tage sind 8 volle Wochen und 4 Tage. 4 Tage nach Dienstag ist Samstag.
8.
Es ist 10 Uhr. Auf welche Zahl zeigt der Stundenzeiger einer 12-Stunden-Uhr 250 Stunden später? (Antworte mit einer Zahl von 1 bis 12.)
Lösung: 8
$250 \bmod 12 = 10$ , dann $10 + 10 = 20$ und $20 \bmod 12 = 8$ . Der Zeiger zeigt auf 8.
9.
Bestimme $(47 + 86) \bmod 9$ , indem du zuerst reduzierst.
Lösung: 7
1. Was ist $47 \bmod 9$ ? 2
2. Was ist $86 \bmod 9$ ? 5
3. Was ist $(2 + 5) \bmod 9$ ? 7
10.
Bestimme $(34 \times 29) \bmod 5$ , indem du zuerst reduzierst.
Lösung: 1
1. Was ist $34 \bmod 5$ ? 4
2. Was ist $29 \bmod 5$ ? 4
3. Multipliziere die Reste: $4 \times 4 = ?$ 16
4. Was ist $16 \bmod 5$ ? 1
11.
Welche Aussage ist wahr?
1. a) $17 \equiv 5 \pmod{8}$
2. b) $38 \equiv 14 \pmod{12}$
3. c) $25 \equiv 4 \pmod{6}$
4. d) $40 \equiv 2 \pmod{3}$
Lösung: $38 \equiv 14 \pmod{12}$
$38 - 14 = 24 = 2 \times 12$ , also ist $38 \equiv 14 \pmod{12}$ wahr. Aber $25 - 4 = 21$ ist kein Vielfaches von 6, $17 - 5 = 12$ kein Vielfaches von 8 und $40 - 2 = 38$ kein Vielfaches von 3.
12.
Prüfe, dass $83 \equiv 20 \pmod{9}$ gilt, und bestimme dann den Rest, den beide Zahlen bei Division durch 9 lassen.
Lösung: 2
1. Was ist $83 - 20$ ? 63
2. Was ist $63 \bmod 9$ ? 0
3. Welchen Rest lassen 83 und 20 beide bei Division durch 9? 2
13.
Es ist 3 Uhr. Auf welche Zahl zeigte der Stundenzeiger einer 12-Stunden-Uhr vor 40 Stunden?
Lösung: 11
1. Was ist $40 \bmod 12$ ? 4
2. Gehe von 3 zurück: Was ist $3 - 4$ ? -1
3. Was ist $-1 \bmod 12$ ? 11
14.
Was ist die letzte Ziffer von $7^{50}$ ?
Lösung: 9
Die Endziffern wiederholen sich mit Zykluslänge 4: $7, 9, 3, 1$ . $50 = 12 \times 4 + 2$ , also endet $7^{50}$ wie $7^2 = 49$ : Die letzte Ziffer ist 9.
15.
Was ist die letzte Ziffer von $2^{2026}$ ?
Lösung: 4
1. Die Endziffern von $2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5$ sind $2, 4, 8, 6, 2$ . Wie groß ist die Zykluslänge? 4
2. Was ist $2026 \bmod 4$ ? 2
3. Also endet $2^{2026}$ wie $2^2$ . Was ist seine letzte Ziffer? 4
16.
Bestimme die EAN-13-Prüfziffer für die 12 Ziffern $590123412345$ . Ziffern an ungeraden Stellen zählen einfach, Ziffern an geraden Stellen dreifach, und die Prüfziffer macht die Summe zu einem Vielfachen von 10.
Lösung: 7
1. Addiere die Ziffern an den ungeraden Stellen (1., 3., ..., 11.). 17
2. Addiere die Ziffern an den geraden Stellen und multipliziere die Summe mit 3. 66
3. Was ist $(17 + 66) \bmod 10$ ? 3
4. Welche Ziffer ergänzt die Summe zu einem Vielfachen von 10? 7
17.
Eine ISBN-10 beginnt mit den 9 Ziffern 0-306-40615. Multipliziere diese Ziffern mit $10, 9, 8, \ldots, 2$ und addiere. Die Prüfziffer $x$ (Gewicht 1) macht die Summe zu einem Vielfachen von 11. Bestimme $x$ .
Lösung: 2
1. Berechne $10 \times 0 + 9 \times 3 + 8 \times 0 + 7 \times 6 + 6 \times 4$ . 93
2. Addiere $5 \times 0 + 4 \times 6 + 3 \times 1 + 2 \times 5$ . Wie groß ist die ganze gewichtete Summe? 130
3. Was ist $130 \bmod 11$ ? 9
4. Welche Ziffer $x$ macht $9 + x$ zu einem Vielfachen von 11? 2
18.
Was ist $5^{100} \bmod 7$ ?
Lösung: 2
Der Zyklus hat die Länge 6. $100 = 16 \times 6 + 4$ , also $5^{100} \equiv 5^4 \pmod{7}$ . $5^4 = 625 = 89 \times 7 + 2$ , also ist der Rest 2.