Mittelpunkt und Radius identifizieren

Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Mit Normalform vergleichen: Normalform: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ = Muster abgleichen

h identifizieren (x-Koordinate des Mittelpunkts): $(x - 3)^2$ bedeutet $h = 3$ = $h = 3$

k identifizieren (y-Koordinate des Mittelpunkts): $(y + 2)^2 = (y - (-2))^2$ bedeutet $k = -2$ = $k = -2$

Radius bestimmen: $r^2 = 25$, also $r = \sqrt{25} = 5$ = $r = 5$

Answer: Mittelpunkt: $(3, -2)$, Radius: $5$

Gleichung aus Mittelpunkt und Radius aufstellen

Schreibe die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt $(-4, 1)$ und Radius $6$.

Werte identifizieren: $h = -4$, $k = 1$, $r = 6$ = Werte bestimmt

In Normalform einsetzen: $(x - (-4))^2 + (y - 1)^2 = 6^2$ = Werte einsetzen

Vereinfachen: $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 36$ = Endgültige Gleichung

Answer: $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 36$

Kreis durch einen Punkt

Schreibe die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt $(2, -1)$, der durch den Punkt $(5, 3)$ verläuft.

Radius mit Abstandsformel berechnen: $r = \sqrt{(5-2)^2 + (3-(-1))^2}$ = $r = \sqrt{9 + 16}$

Radius ausrechnen: $r = \sqrt{25} = 5$ = $r = 5$

Gleichung aufstellen: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$ = Gleichung in Normalform

Answer: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$

Mistake: Verwechslung der Vorzeichen bei $(y + 2)^2$

Why: Die Normalform verwendet Subtraktion: $(y - k)^2$. Wenn du $(y + 2)^2$ siehst, ist das gleich $(y - (-2))^2$, also ist $k = -2$, nicht $+2$.

Correct: Immer als Subtraktion umschreiben: $(y + 2)^2 = (y - (-2))^2$, daher ist $k = -2$.

Mistake: $r^2$ als Radius verwenden statt $r$

Why: Die Gleichung enthält $r^2$, nicht $r$. Du musst die Quadratwurzel ziehen.

Correct: Wenn die Gleichung $= 49$ zeigt, dann ist $r^2 = 49$ und $r = 7$ (nicht 49).

Mistake: Vergessen, den Radius zu quadrieren beim Aufstellen der Gleichung

Why: Wenn der Radius $r = 4$ gegeben ist, schreiben Schüler oft $= 4$ statt $= 16$.

Correct: Immer den Radius quadrieren: wenn $r = 4$, schreibe $r^2 = 16$ in der Gleichung.

GPS-Triangulation

Mobilfunkmasten und GPS-Satelliten nutzen Kreise zur Positionsbestimmung. Jeder Mast kennt seine Entfernung zu deinem Handy und erzeugt einen Kreis möglicher Standorte.

Ein Mobilfunkmast an Position $(2, 3)$ km erkennt dein Handy in $5$ km Entfernung. Deine möglichen Standorte bilden den Kreis $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$.

Kreisförmige Rennstrecken

Architekten entwerfen kreisförmige Strecken mit Kreisgleichungen, um die korrekten Abmessungen sicherzustellen.

Eine Laufbahn hat eine Innenkante mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius $30$ Meter: $x^2 + y^2 = 900$. Die Außenkante hat Radius $35$ Meter: $x^2 + y^2 = 1225$.

Q: Warum steht ein Minuszeichen in $(x - h)$?

A: Die Normalform verwendet Subtraktion, weil sie auf der Abstandsformel basiert. Der Ausdruck $(x - h)^2 + (y - k)^2$ berechnet den quadrierten Abstand von jedem Punkt $(x, y)$ zum Mittelpunkt $(h, k)$.

Q: Kann der Radius negativ sein?

A: Nein. Der Radius ist immer positiv, weil er einen Abstand darstellt. Wenn $r^2 = 25$, dann ist $r = 5$ (wir nehmen die positive Quadratwurzel).

Q: Was ist, wenn die Gleichung nicht wie die Normalform aussieht?

A: Manche Gleichungen müssen umgeschrieben werden. Zum Beispiel kann $x^2 + y^2 - 6x + 4y = 12$ durch quadratische Ergänzung in Normalform gebracht werden. Dies wird in der Lektion 'In Normalform umwandeln' behandelt.