Kreise in Normalform

Lerne, wie man die Gleichung eines Kreises in Normalform schreibt und interpretiert.

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Definition

Die Normalform einer Kreisgleichung lautet:
(x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Dabei ist:
  • (h,k)(h, k) der Mittelpunkt des Kreises
  • rr der Radius (immer positiv)
Wichtige Erkenntnis: Jeder Punkt (x,y)(x, y) auf dem Kreis hat genau den Abstand rr vom Mittelpunkt.
Spezialfall: Wenn der Mittelpunkt im Ursprung (0,0)(0, 0) liegt:
x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2

Probier es gleich aus

Was ist der Mittelpunkt des Kreises (x−4)2+(y−7)2=16(x - 4)^2 + (y - 7)^2 = 16?

Lösungsbeispiele

Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises: (x−3)2+(y+2)2=25(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25
1

Mit Normalform vergleichen

Normalform: (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 → Muster abgleichen
2

h identifizieren (x-Koordinate des Mittelpunkts)

(x−3)2(x - 3)^2 bedeutet h=3h = 3
3

k identifizieren (y-Koordinate des Mittelpunkts)

(y+2)2=(y−(−2))2(y + 2)^2 = (y - (-2))^2 bedeutet k=−2k = -2
4

Radius bestimmen

r2=25r^2 = 25, also r=25=5r = \sqrt{25} = 5 → r=5r = 5

Häufige Fehler

Verwechslung der Vorzeichen bei (y+2)2(y + 2)^2

Warum es falsch ist: Die Normalform verwendet Subtraktion: (y−k)2(y - k)^2. Wenn du (y+2)2(y + 2)^2 siehst, ist das gleich (y−(−2))2(y - (-2))^2, also ist k=−2k = -2, nicht +2+2.

Richtig: Immer als Subtraktion umschreiben: (y+2)2=(y−(−2))2(y + 2)^2 = (y - (-2))^2, daher ist k=−2k = -2.

r2r^2 als Radius verwenden statt rr

Warum es falsch ist: Die Gleichung enthält r2r^2, nicht rr. Du musst die Quadratwurzel ziehen.

Richtig: Wenn die Gleichung =49= 49 zeigt, dann ist r2=49r^2 = 49 und r=7r = 7 (nicht 49).

Vergessen, den Radius zu quadrieren beim Aufstellen der Gleichung

Warum es falsch ist: Wenn der Radius r=4r = 4 gegeben ist, schreiben Schüler oft =4= 4 statt =16= 16.

Richtig: Immer den Radius quadrieren: wenn r=4r = 4, schreibe r2=16r^2 = 16 in der Gleichung.

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

-10-50510-10-50510xyC(3 | -2)
  • r² = 25
(x − h)² + (y − k)² = r²
  • Mittelpunkt: (3 | -2)

Funktionsgraph

-4-202468-505xyC(2 | -1)(5 | 3)
(x − 2)² + (y + 1)² = 25
  • Mittelpunkt: (2 | -1)
  • Länge von (2 | -1) – (5 | 3): d = 5

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

-10-50510-10-50510xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = -2 + sqrt(25 - (x - 3)^2)

y = -2 - sqrt(25 - (x - 3)^2)

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

15 Aufgaben
Aufgabe 1 von 15
Einfach
Was ist der Mittelpunkt des Kreises (x−4)2+(y−7)2=16(x - 4)^2 + (y - 7)^2 = 16?

Warum es wichtig ist

Kreisgleichungen erscheinen überall in der Mathematik und in praktischen Anwendungen:
  • GPS und Navigation: Mobilfunkmasten nutzen Kreise zur Positionsbestimmung
  • Ingenieurwesen: Konstruktion von Zahnrädern, Rädern und kreisförmigen Bauteilen
  • Astronomie: Modellierung von Planetenbahnen (vereinfacht als Kreise)
  • Architektur: Planung von runden Gebäuden, Kuppeln und Arenen
  • Physik: Beschreibung von Kreisbewegungen und Wellenausbreitung
Das Verständnis der Normalform ermöglicht es dir, die wichtigsten Eigenschaften eines Kreises schnell aus seiner Gleichung abzulesen.

Anwendungen im echten Leben

GPS-Triangulation

Mobilfunkmasten und GPS-Satelliten nutzen Kreise zur Positionsbestimmung. Jeder Mast kennt seine Entfernung zu deinem Handy und erzeugt einen Kreis möglicher Standorte.

Beispiel:

Ein Mobilfunkmast an Position (2,3)(2, 3) km erkennt dein Handy in 55 km Entfernung. Deine möglichen Standorte bilden den Kreis (x−2)2+(y−3)2=25(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25.

1Probiere es selbst

Ein Rettungssender wird in 10 km Entfernung von einer Station an den Koordinaten (0,0)(0, 0) erkannt.

Welche Gleichung beschreibt alle möglichen Standorte des Senders?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Mittelpunkt im Ursprung, Radius 10:

Kreisförmige Rennstrecken

Architekten entwerfen kreisförmige Strecken mit Kreisgleichungen, um die korrekten Abmessungen sicherzustellen.

Beispiel:

Eine Laufbahn hat eine Innenkante mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 3030 Meter: x2+y2=900x^2 + y^2 = 900. Die Außenkante hat Radius 3535 Meter: x2+y2=1225x^2 + y^2 = 1225.

2Probiere es selbst

Ein kreisförmiger Brunnen wird mit Mittelpunkt bei (5,5)(5, 5) Metern von einer Ecke und Radius 33 Metern entworfen.

Schreibe die Gleichung für den Brunnenrand.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Gleichung in Normalform:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Normalform eines Kreises: (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
  • 2(h,k)(h, k) ist der Mittelpunkt, rr ist der Radius
  • 3Achte auf die Vorzeichen: (y+2)2(y + 2)^2 bedeutet k=−2k = -2
  • 4Die rechte Seite ist r2r^2, nicht rr - ziehe die Quadratwurzel für den Radius
  • 5Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung: x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2

Häufig gestellte Fragen

Die Normalform verwendet Subtraktion, weil sie auf der Abstandsformel basiert. Der Ausdruck (x−h)2+(y−k)2(x - h)^2 + (y - k)^2 berechnet den quadrierten Abstand von jedem Punkt (x,y)(x, y) zum Mittelpunkt (h,k)(h, k).
Die Normalform verwendet Subtraktion, weil sie auf der Abstandsformel basiert. Der Ausdruck (x−h)2+(y−k)2(x - h)^2 + (y - k)^2 berechnet den quadrierten Abstand von jedem Punkt (x,y)(x, y) zum Mittelpunkt (h,k)(h, k).
Nein. Der Radius ist immer positiv, weil er einen Abstand darstellt. Wenn r2=25r^2 = 25, dann ist r=5r = 5 (wir nehmen die positive Quadratwurzel).
Manche Gleichungen müssen umgeschrieben werden. Zum Beispiel kann x2+y2−6x+4y=12x^2 + y^2 - 6x + 4y = 12 durch quadratische Ergänzung in Normalform gebracht werden. Dies wird in der Lektion 'In Normalform umwandeln' behandelt.

Glossar

Normalform
Die Gleichung (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, wobei (h,k)(h, k) der Mittelpunkt und rr der Radius ist
Mittelpunkt
Der feste Punkt (h,k)(h, k), der von allen Punkten auf dem Kreis gleich weit entfernt ist
Radius
Der konstante Abstand rr vom Mittelpunkt zu jedem Punkt auf dem Kreis
Kegelschnitt
Eine Kurve, die durch Schneiden einer Ebene mit einem Kegel entsteht - Kreise, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln
Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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