Ellipsen in Standardform

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was ist der Mittelpunkt der Ellipse ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Aus erhalten wir . Aus erhalten wir . Der Mittelpunkt ist .
2.
Ist die Ellipse horizontal oder vertikal?
1. a)Vertikal
2. b)Keines von beiden
3. c)Horizontal
4. d)Beides
Lösung: Vertikal
Da , ist der größere Nenner unter , also ist mit verbunden. Das bedeutet, die große Achse ist vertikal.
3.
Für die Ellipse , was ist der Wert von ?
Lösung: 6
Der größere Nenner ist , also und .
4.
Für eine Ellipse mit und , finde (den Abstand vom Mittelpunkt zum Brennpunkt).
Lösung: 4
, also .
5.
Was sind die Scheitelpunkte der Ellipse ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Da , ist also . Die große Achse ist horizontal (größerer Nenner unter ), also sind die Scheitelpunkte bei .
6.
Finde den Wert von für die Ellipse .
Lösung: 6
, . Also , und .
7.
Finde die Brennpunkte der Ellipse .
Lösung: (-3, 2) and (5, 2)
1. Was ist der Mittelpunkt ? (1, 2)
2. Was ist (der größere Nenner)? 25
3. Berechne 16
4. Was ist ? 4
5. Da die große Achse horizontal ist, wo sind die Brennpunkte? (1-4, 2) und (1+4, 2)
8.
Schreibe die Gleichung in Standardform für eine Ellipse mit Mittelpunkt , Scheitelpunkten bei und Nebenscheitelpunkten bei .
Lösung: x^2/64 + y^2/25 = 1
1. Was ist (Abstand vom Mittelpunkt zum Scheitelpunkt)? 8
2. Was ist (Abstand vom Mittelpunkt zum Nebenscheitelpunkt)? 5
3. Ist diese Ellipse horizontal oder vertikal? horizontal
4. Was ist ? 64
5. Was ist ? 25
9.
Die Brennpunkte der Ellipse befinden sich bei:
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
(größer), . Also , . Da unter steht, ist die große Achse vertikal, also sind die Brennpunkte bei .
10.
Eine Ellipse hat Brennpunkte bei und Scheitelpunkte bei . Was ist ?
Lösung: 3
, . Also , und .
11.
Wandle in Standardform um:
Lösung: (x-2)^2/16 + (y+1)^2/36 = 1
1. Gruppiere die x- und y-Terme (9x^2 - 36x) + (4y^2 + 8y) = 104
2. Faktorisiere die Koeffizienten 9(x^2 - 4x) + 4(y^2 + 2y) = 104
3. Vervollständige das Quadrat für x: welcher Wert vervollständigt ? 4
4. Vervollständige das Quadrat für y: welcher Wert vervollständigt ? 1
5. Was ist die neue rechte Seite nach Addition von zu beiden Seiten? 144
6. Dividiere beide Seiten durch 144, um die Standardform zu erhalten (x-2)^2/16 + (y+1)^2/36 = 1
12.
Finde die Gleichung in Standardform für eine Ellipse mit Brennpunkten bei und einer großen Achsenlänge von 10.
Lösung: x^2/9 + y^2/25 = 1
1. Ist die große Achse horizontal oder vertikal? vertikal
2. Was ist (Abstand vom Mittelpunkt zum Brennpunkt)? 4
3. Was ist (halbe Länge der großen Achse)? 5
4. Berechne 9
5. Schreibe die Standardform (vertikale Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung) x^2/9 + y^2/25 = 1
13.
Was ist die Exzentrizität der Ellipse ? Gib deine Antwort als Bruch an.
Lösung: 5/13
, . , also und . Exzentrizität .
14.
Welche Ellipse hat die höchste Exzentrizität?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Option A: . Option B: . Option C: . Option D: . Die erste Ellipse hat die höchste Exzentrizität.
15.
Finde alle Hauptmerkmale der Ellipse : Mittelpunkt, Scheitelpunkte, Nebenscheitelpunkte und Brennpunkte.
Lösung: Center: (-3, 1); Vertices: (-9, 1) and (3, 1); Co-vertices: (-3, 1-sqrt(20)) and (-3, 1+sqrt(20)); Foci: (-7, 1) and (1, 1)
1. Was ist der Mittelpunkt ? (-3, 1)
2. Was ist ? 36
3. Was ist ? 6
4. Ist die große Achse horizontal oder vertikal? horizontal
5. Was ist ? 16
6. Was ist ? 4
16.
Für die Ellipse , was ist der Wert von ?
Lösung: 7
Der kleinere Nenner ist , also und .
17.
Schreibe die Gleichung einer Ellipse mit Mittelpunkt , (horizontal) und .
Lösung: (x-2)^2/16 + (y+1)^2/9 = 1
1. Was ist für den Mittelpunkt ? (x-2)^2
2. Was ist für den Mittelpunkt ? (y+1)^2
3. Was ist ? 16
4. Was ist ? 9
5. Schreibe die vollständige Gleichung (x-2)^2/16 + (y+1)^2/9 = 1