Hyperbeln in Standardform

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche Gleichung stellt eine Hyperbel mit horizontaler Hauptachse dar?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
ist richtig. Wenn den positiven Koeffizienten hat, öffnet sich die Hyperbel nach links und rechts (horizontale Hauptachse).
2.
Für die Hyperbel , was ist der Wert von ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Da positiv ist, gilt , also . Merke: steht immer unter dem positiven Term.
3.
Was ist der Mittelpunkt der Hyperbel ? Gib als ein
Lösung: (3, -2)
Aus erhalten wir . Aus erhalten wir . Der Mittelpunkt ist also .
4.
Für eine Hyperbel mit und , was ist ?
Lösung: 5
, also .
5.
Was sind die Scheitelpunkte der Hyperbel ?
1. a) und
2. b) und
3. c) und
4. d) und
Lösung: und
Dies ist eine horizontale Hyperbel mit Mittelpunkt und . Die Scheitelpunkte liegen bei , also und .
6.
Was ist die Steigung der Asymptoten für ? Gib als Bruch ein.
Lösung: 3/4
Mit und haben wir und . Für eine horizontale Hyperbel gilt Steigung .
7.
Was sind die Brennpunkte von ?
1. a) und
2. b) und
3. c) und
4. d) und
Lösung: und
, also . Dies ist eine horizontale Hyperbel, also liegen die Brennpunkte bei .
8.
Finde den Mittelpunkt, die Scheitelpunkte und die Brennpunkte von
Lösung: Center: (-1, 2), Vertices: (-3, 2) and (1, 2), Foci: (-4, 2) and (2, 2)
1. Was ist der Mittelpunkt ? (-1, 2)
2. Was ist ? 2
3. Was ist ? sqrt(5)
4. Was ist ? 3
9.
Schreibe die Standardformgleichung für eine Hyperbel mit Mittelpunkt , Scheitelpunkt bei und Brennpunkt bei . Gib als y^2/a - x^2/b = 1 ein
Lösung: y^2/16 - x^2/9 = 1
Vertikale Hyperbel mit , . . Gleichung: .
10.
Wie lauten die Gleichungen der Asymptoten für ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Mittelpunkt , , . Vertikale Hyperbel, also Steigung . Asymptoten: .
11.
Wandle in die Standardform um.
Lösung: (x-2)^2/4 - (y+1)^2/9 = 1
1. Gruppiere x- und y-Terme: 4
2. Quadratische Ergänzung für x: 4
3. Quadratische Ergänzung für y: 1
4. Nach quadratischer Ergänzung, rechte Seite = 36
12.
Eine Hyperbel hat Brennpunkte bei und , und der Unterschied der Abstände von jedem Punkt auf der Hyperbel zu den Brennpunkten beträgt 8. Was ist ?
Lösung: 4
Für eine Hyperbel gilt . Da der Unterschied 8 beträgt, haben wir , also .
13.
Schreibe die Gleichung der Hyperbel mit Brennpunkten bei und , die durch den Punkt verläuft.
Lösung: y^2/10 - x^2/15 = 1
1. Was ist ? 5
2. Abstand von zu ist sqrt(10)
3. Abstand von zu ist 3sqrt(10)
4. Was ist ? 2sqrt(10)
5. Also 10
6. Was ist ? 15
14.
Die Exzentrizität einer Hyperbel mit und ist:
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
, also . Mit : . Hinweis: Für Hyperbeln gilt immer .
15.
Finde alle Schlüsselmerkmale von
Lösung: Center (1,-2), a=6, b=8, c=10, Vertices (-5,-2) and (7,-2), Foci (-9,-2) and (11,-2), Asymptotes y+2=+/-4/3(x-1)
1. Was ist der Mittelpunkt? (1, -2)
2. Was ist ? 6
3. Was ist ? 8
4. Was ist ? 10
5. Was ist die Asymptoten-Steigung? 4/3