Einführung in Kegelschnitte

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche Art von Kegelschnitt ist ?
1. a)Parabel
2. b)Ellipse
3. c)Hyperbel
4. d)Kreis
Lösung: Kreis
Dies ist ein Kreis, weil sowohl als auch gleiche Koeffizienten (beide 1) haben und addiert werden. Der Radius ist .
2.
Welche Art von Kegelschnitt ist ?
1. a)Hyperbel
2. b)Parabel
3. c)Kreis
4. d)Ellipse
Lösung: Parabel
Dies ist eine Parabel, weil nur quadriert ist, während linear ist. Parabeln haben immer genau eine quadrierte Variable.
3.
Wie groß ist der Radius des Kreises ?
Lösung: 6
Da , haben wir . Der Radius beträgt 6 Einheiten.
4.
Welche Art von Kegelschnitt ist ?
1. a)Kreis
2. b)Ellipse
3. c)Parabel
4. d)Hyperbel
Lösung: Ellipse
Dies ist eine Ellipse, weil beide Terme positiv sind (Addition) und verschiedene Nenner haben (). Wenn sie gleich wären, wäre es ein Kreis.
5.
Welche Art von Kegelschnitt ist ?
1. a)Parabel
2. b)Kreis
3. c)Ellipse
4. d)Hyperbel
Lösung: Hyperbel
Dies ist eine Hyperbel, weil es eine Subtraktion zwischen den quadrierten Termen gibt. Das Minuszeichen ist das Schlüsselkennzeichen für Hyperbeln.
6.
Für die Ellipse , was ist der Wert der großen Halbachse ?
Lösung: 7
Die große Halbachse ist die Quadratwurzel des größeren Nenners. Da , haben wir , also .
7.
Identifiziere den Kegelschnitt und finde seine Hauptmerkmale:
Lösung: circle, radius 7
1. Sind die Koeffizienten von und gleich? ja
2. Gibt es Addition oder Subtraktion zwischen den Termen? Addition
3. Welche Art von Kegelschnitt ist das? Kreis
4. Wie groß ist der Radius? (r = Wurzel aus 49) 7
8.
In welche Richtung öffnet sich die Parabel ?
1. a)Oben
2. b)Links
3. c)Unten
4. d)Rechts
Lösung: Links
Da quadriert ist (nicht ), öffnet sich die Parabel horizontal. Der negative Koeffizient bedeutet, dass sie sich nach links öffnet.
9.
Identifiziere den Kegelschnitt und bestimme seine Orientierung:
Lösung: vertical hyperbola
1. Gibt es Addition oder Subtraktion zwischen den Termen? Subtraktion
2. Welche Art von Kegelschnitt hat Subtraktion zwischen quadrierten Termen? Hyperbel
3. Welcher Term ist positiv (kommt zuerst)? y^2
4. Da positiv ist, öffnet sich die Hyperbel... oben und unten
10.
Für die Ellipse , wie lang ist die große Achse?
Lösung: 20
Da , haben wir , also . Die Länge der großen Achse ist .
11.
Wie viele Arten von Kegelschnitten gibt es?
1. a)4
2. b)3
3. c)5
4. d)2
Lösung: 4
Es gibt 4 Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel. Jeder wird durch Schneiden eines Kegels in einem anderen Winkel gebildet.
12.
Analysiere die Gleichung und identifiziere den Kegelschnitt mit seinem Radius.
Lösung: circle, radius 4
1. Teile beide Seiten durch 4, um zu vereinfachen. Was erhältst du? x^2 + y^2 = 16
2. Sind die Koeffizienten von und jetzt gleich? ja
3. Welche Art von Kegelschnitt ist das? Kreis
4. Wie groß ist der Radius? () 4
13.
Eine Parabel hat die Gleichung . Wenn der Brennpunkt bei liegt, wobei , was ist ?
Lösung: 3
Vergleichen wir , erhalten wir , also . Der Brennpunkt liegt bei .
14.
Klassifiziere und analysiere:
Lösung: ellipse, a=3, b=2
1. Teile durch 36, um die Standardform zu erhalten. Wie lautet der -Term? x^2/4
2. Wie lautet der -Term? y^2/9
3. Ist dies ein Kreis oder eine Ellipse? Ellipse
4. Was ist (vom größeren Nenner 9)? 3
15.
Welcher Kegelschnitt stellt die Bahn eines Planeten dar, der die Sonne umkreist?
1. a)Kreis
2. b)Hyperbel
3. c)Ellipse
4. d)Parabel
Lösung: Ellipse
Nach Keplers erstem Gesetz umkreisen Planeten die Sonne auf elliptischen Bahnen, wobei die Sonne in einem Brennpunkt liegt. Ein Kreis ist ein Spezialfall einer Ellipse.
16.
Wie viele quadrierte Variablen hat eine Parabelgleichung?
Lösung: 1
Eine Parabel hat genau 1 quadrierte Variable. Zum Beispiel hat nur quadriert, während nur quadriert hat.
17.
Bestimme, ob ein Kreis oder eine Ellipse ist, und finde den Radius, wenn es ein Kreis ist.
Lösung: circle, radius 2
1. Teile beide Seiten durch 25. Was erhältst du? x^2 + y^2 = 4
2. Sind die Koeffizienten von und gleich? ja
3. Also ist das ein...? Kreis
4. Wie groß ist der Radius? (Wurzel aus 4) 2