Sparen mit stetiger Verzinsung

Du zahlst 1000 € auf ein Konto ein, das 5% Zinsen bei stetiger Verzinsung zahlt. Wie viel ist nach 10 Jahren auf dem Konto? Runde auf den Cent.

Werte bestimmen: $P = 1000$, $r = 0{,}05$, $t = 10$ = Werte bestimmt

Exponenten $rt$ berechnen: $rt = 0{,}05 \times 10 = 0{,}5$ = $rt = 0{,}5$

$e^{0{,}5}$ mit dem Taschenrechner berechnen: $2{,}71828^{0{,}5} \approx 1{,}648721$ = $e^{0{,}5} \approx 1{,}648721$

Mit $P$ multiplizieren: $A = 1000 \times 1{,}648721 \approx 1648{,}72$ = $A \approx 1648{,}72$

Answer: Nach 10 Jahren sind etwa **1648,72 €** auf dem Konto.

Stetige und jährliche Verzinsung im Vergleich

Du legst 2000 € zu 6% für 5 Jahre an. Vergleiche jährliche Verzinsung mit stetiger Verzinsung. Runde auf den Cent.

Jährliche Verzinsung: $A = P(1 + r)^t$ verwenden: $A = 2000 \times 1{,}06^{5} \approx 2000 \times 1{,}338226$ = $A \approx 2676{,}45$

Stetige Verzinsung: Exponenten berechnen: $rt = 0{,}06 \times 5 = 0{,}3$ = $rt = 0{,}3$

$A = Pe^{rt}$ verwenden: $A = 2000 \times e^{0{,}3} \approx 2000 \times 1{,}349859$ = $A \approx 2699{,}72$

Beide Ergebnisse vergleichen: $2699{,}72 - 2676{,}45 = 23{,}27$ = Stetig bringt 23,27 mehr

Answer: Bei gleichem Zinssatz und gleicher Zeit ergibt stetige Verzinsung **2699,72 €**, jährliche Verzinsung **2676,45 €**: Stetig bringt **23,27 €** mehr.

Stetig wachsende Bakterien

Eine Kultur beginnt mit 500 Bakterien und wächst stetig mit einer Rate von 20% pro Stunde. Wie viele Bakterien sind es nach 10 Stunden? Runde auf eine ganze Zahl.

Modell aufstellen: $N(t) = 500 e^{0{,}2t}$ = $P = 500$, $r = 0{,}2$

Exponenten für $t = 10$ berechnen: $0{,}2 \times 10 = 2$ = Exponent $= 2$

$e^{2}$ berechnen: $2{,}71828^{2} \approx 7{,}38905$ = $e^{2} \approx 7{,}38905$

Multiplizieren und runden: $N(10) = 500 \times 7{,}38905 \approx 3694{,}5$ = $N(10) \approx 3695$

Answer: Nach 10 Stunden gibt es etwa **3695 Bakterien**, mehr als das 7-Fache des Anfangswerts.

Radioaktiver Zerfall

Eine Probe enthält 80 Gramm eines radioaktiven Stoffes, der stetig mit einer Rate von 3% pro Jahr zerfällt. Wie viel ist nach 20 Jahren übrig? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Zerfallsmodell aufstellen: $A(t) = 80 e^{-0{,}03t}$ = Negativer Exponent: Zerfall

Exponenten für $t = 20$ berechnen: $-0{,}03 \times 20 = -0{,}6$ = Exponent $= -0{,}6$

$e^{-0{,}6}$ berechnen: $2{,}71828^{-0{,}6} \approx 0{,}548812$ = $e^{-0{,}6} \approx 0{,}548812$

Mit dem Anfangswert multiplizieren: $A(20) = 80 \times 0{,}548812 \approx 43{,}90$ = $A(20) \approx 43{,}90$ g

Answer: Nach 20 Jahren sind noch etwa **43,90 Gramm** übrig, also sind etwa $80 - 43{,}90 = 36{,}10$ Gramm zerfallen.

Den Anfangswert bestimmen

Wie viel musst du heute bei 4% stetiger Verzinsung einzahlen, um nach 8 Jahren 5000 € zu haben? Runde auf den Cent.

Gleichung aufstellen: $5000 = P e^{0{,}04 \times 8} = P e^{0{,}32}$ = $P$ ist unbekannt

$e^{0{,}32}$ berechnen: $2{,}71828^{0{,}32} \approx 1{,}37713$ = $e^{0{,}32} \approx 1{,}37713$

Beide Seiten durch $e^{0{,}32}$ teilen: $P = \frac{5000}{e^{0{,}32}}$ = $P = 5000 \div e^{0{,}32}$

Ausrechnen: $P = 5000 \div 2{,}71828^{0{,}32} \approx 3630{,}75$ = $P \approx 3630{,}75$

Answer: Du musst heute etwa **3630,75 €** einzahlen. Probe: $3630{,}75 \times 1{,}37713 \approx 5000$.

Mistake: Die Rate als Prozentzahl in den Exponenten schreiben: $1000 e^{5 \times 10}$

Why: Die Formel braucht die Rate als Dezimalzahl. $e^{50}$ ist eine riesige Zahl (etwa $5 \times 10^{21}$), was für ein Sparkonto keinen Sinn ergibt.

Correct: Zuerst umrechnen: $5\% = 0{,}05$, also $A = 1000 e^{0{,}05 \times 10} = 1000 e^{0{,}5}$.

Mistake: Das Minuszeichen beim Zerfall vergessen: $80 e^{0{,}03 \times 20}$

Why: Ohne Minuszeichen ist der Exponent positiv, und der Bestand wächst auf etwa 145,77 Gramm, also mehr als die 80 Gramm am Anfang.

Correct: Zerfall braucht einen negativen Exponenten: $A = 80 e^{-0{,}03 \times 20} = 80 e^{-0{,}6} \approx 43{,}90$.

Mistake: Erst multiplizieren, dann potenzieren: $(1000 \times 2{,}71828)^{0{,}5}$

Why: Der Exponent gehört nur zu $e$, nicht zu $P$. Nach der Rechenreihenfolge kommen Potenzen vor der Multiplikation.

Correct: Zuerst $e^{rt}$ berechnen, dann mit $P$ multiplizieren. Im Taschenrechner: 1000 × e^(0.05 × 10), mit Klammern um den Exponenten.

Mistake: $(1 + r)^t$ verwenden, obwohl die Aufgabe stetige Verzinsung verlangt

Why: $(1 + r)^t$ bedeutet Verzinsung einmal pro Periode. Stetige Verzinsung bringt beim gleichen Zinssatz immer etwas mehr.

Correct: Achte auf die Wörter stetig oder stetige Rate: Sie bedeuten $Pe^{rt}$. Einmal im Jahr bedeutet $P(1 + r)^t$.

Bank: stetig verzinstes Sparen

Banken vergleichen Angebote mit der großzügigsten möglichen Verzinsung, der stetigen. Sie zeigt die Obergrenze dessen, was ein Zinssatz bringen kann.

Bei 5% stetiger Verzinsung wächst 1 € in einem Jahr auf $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$ €, der effektive Jahreszins ist also etwa 5,13%, etwas mehr als 5%.

Biologie: Bakterien im Labor

Mikrobiologen beschreiben eine Bakterienkultur mit ausreichend Nahrung mit $N(t) = N_0 e^{rt}$, wobei $r$ die stetige Wachstumsrate pro Stunde ist.

Eine Kultur aus 1000 Bakterien mit einer stetigen Rate von 30% pro Stunde hat nach 2 Stunden $1000 e^{0{,}6} \approx 1822$ Bakterien.

Medizin: radioaktive Marker

Krankenhäuser setzen radioaktive Stoffe wie Iod-131 für Diagnose und Therapie ein. Die verbleibende Menge folgt $A = Pe^{-kt}$, so wissen Ärztinnen und Ärzte, wie viel an jedem Tag noch vorhanden ist.

Iod-131 zerfällt stetig mit etwa 8,6% pro Tag. Nach 1 Tag ist $e^{-0{,}086} \approx 0{,}918$, also sind noch etwa 91,8% der Probe vorhanden.

Q: Warum verwenden wir $e$ für stetiges Wachstum?

A: Verzinst man $n$-mal im Jahr mit dem Zinssatz $r$, erhält man $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$. Wird $n$ immer größer, nähert sich dieser Ausdruck $e^{rt}$. Also ist $e$ genau das, was herauskommt, wenn Wachstum in jedem Augenblick passiert.

Q: Wie viel mehr bringt stetige Verzinsung wirklich?

A: Nicht viel mehr, aber immer mehr. Bei 5% für ein Jahr multipliziert jährliche Verzinsung mit $1{,}05$ und stetige Verzinsung mit $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$. Über lange Zeiträume und bei großen Beträgen wird der Unterschied spürbar.

Q: Ist $A = Pe^{-kt}$ dasselbe wie $A = Pe^{rt}$ mit negativem $r$?

A: Ja. Manche Bücher schreiben Zerfall mit positiver Abnahmerate $k$ und einem Minuszeichen, andere verwenden eine Formel $Pe^{rt}$ und lassen $r$ negativ sein, zum Beispiel $r = -0{,}03$. Beides liefert dasselbe Ergebnis.

Q: Wie finde ich heraus, wie lange es dauert, bis ein bestimmter Betrag erreicht ist?

A: Dafür muss man $A = Pe^{rt}$ nach $t$ auflösen, und das braucht den natürlichen Logarithmus $\ln$. Den lernst du in den Lektionen über Logarithmen. Bis dahin kannst du $t$ abschätzen, indem du Werte in einer Tabelle ausprobierst.