Wie viel mehr bringt stetige Verzinsung wirklich?

Nicht viel mehr, aber immer mehr. Bei 5% für ein Jahr multipliziert jährliche Verzinsung mit $1{,}05$ und stetige Verzinsung mit $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$. Über lange Zeiträume und bei großen Beträgen wird der Unterschied spürbar.

Ist $A = Pe^{-kt}$ dasselbe wie $A = Pe^{rt}$ mit negativem $r$?

Ja. Manche Bücher schreiben Zerfall mit positiver Abnahmerate $k$ und einem Minuszeichen, andere verwenden eine Formel $Pe^{rt}$ und lassen $r$ negativ sein, zum Beispiel $r = -0{,}03$. Beides liefert dasselbe Ergebnis.

Wie finde ich heraus, wie lange es dauert, bis ein bestimmter Betrag erreicht ist?

Dafür muss man $A = Pe^{rt}$ nach $t$ auflösen, und das braucht den natürlichen Logarithmus $\ln$. Den lernst du in den Lektionen über Logarithmen. Bis dahin kannst du $t$ abschätzen, indem du Werte in einer Tabelle ausprobierst.

Lehrermaterialien

Stetiges Wachstum und stetige Abnahme

Q: Warum verwenden wir $e$ für stetiges Wachstum?

Verzinst man $n$-mal im Jahr mit dem Zinssatz $r$, erhält man $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$. Wird $n$ immer größer, nähert sich dieser Ausdruck $e^{rt}$. Also ist $e$ genau das, was herauskommt, wenn Wachstum in jedem Augenblick passiert.

Nutze A = Pe^(rt) und A = Pe^(-kt) für stetige Verzinsung, Bakterienwachstum und radioaktiven Zerfall und vergleiche stetige mit jährlicher Verzinsung.

Fortgeschritten30 MinLektion

Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

In der Lektion über die Basis

e

hast du gesehen, dass immer häufigeres Verzinsen,

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

, sich der Zahl

e \approx 2{,}71828

nähert. Wenn eine Größe stetig wächst (in jedem Augenblick, nicht nur einmal im Jahr), verwenden wir

e

als Basis.

Stetiges Wachstum:

A = P e^{rt}

Stetige Abnahme (Zerfall):

A = P e^{-kt}

Dabei ist:

$P$ der Anfangswert (bei $t = 0$ )
$r$ die stetige Wachstumsrate und $k$ die stetige Abnahmerate, beide als Dezimalzahl ( $5\% = 0{,}05$ )
$t$ die Zeit, in derselben Einheit wie die Rate (Jahre, Stunden, Tage)
$A$ der Bestand nach der Zeit $t$

Das Vorzeichen des Exponenten zeigt die Richtung: Ein positiver Exponent bedeutet Wachstum, ein negativer Exponent Abnahme. Du kannst Abnahme auch als

A = Pe^{rt}

mit negativer Rate schreiben, zum Beispiel

r = -0{,}03

Im Rechner tippst du

e^{x}

direkt als e^(x) ein, zum Beispiel e^0.5

\approx 1{,}6487

. Auf einem einfachen Taschenrechner ohne

e

-Taste tippst du stattdessen 2.71828^x.

Probier es gleich aus

Ein Stoff zerfällt stetig mit einer Rate von 4% pro Jahr. Welche Formel beschreibt die Menge

A

nach

t

Jahren, ausgehend von

P

Lösungsbeispiele

Du zahlst 1000 € auf ein Konto ein, das 5% Zinsen bei stetiger Verzinsung zahlt. Wie viel ist nach 10 Jahren auf dem Konto? Runde auf den Cent.

Werte bestimmen

$P = 1000$ , $r = 0{,}05$ , $t = 10$ → Werte bestimmt

Exponenten $rt$ berechnen

$rt = 0{,}05 \times 10 = 0{,}5$ → $rt = 0{,}5$

$e^{0{,}5}$ mit dem Taschenrechner berechnen

$2{,}71828^{0{,}5} \approx 1{,}648721$ → $e^{0{,}5} \approx 1{,}648721$

Mit $P$ multiplizieren

$A = 1000 \times 1{,}648721 \approx 1648{,}72$ → $A \approx 1648{,}72$

Antwort: Nach 10 Jahren sind etwa 1648,72 € auf dem Konto.

Häufige Fehler

Die Rate als Prozentzahl in den Exponenten schreiben: $1000 e^{5 \times 10}$

Warum es falsch ist: Die Formel braucht die Rate als Dezimalzahl. $e^{50}$ ist eine riesige Zahl (etwa $5 \times 10^{21}$ ), was für ein Sparkonto keinen Sinn ergibt.

Richtig: Zuerst umrechnen: $5\% = 0{,}05$ , also $A = 1000 e^{0{,}05 \times 10} = 1000 e^{0{,}5}$ .

Das Minuszeichen beim Zerfall vergessen: $80 e^{0{,}03 \times 20}$

Warum es falsch ist: Ohne Minuszeichen ist der Exponent positiv, und der Bestand wächst auf etwa 145,77 Gramm, also mehr als die 80 Gramm am Anfang.

Richtig: Zerfall braucht einen negativen Exponenten: $A = 80 e^{-0{,}03 \times 20} = 80 e^{-0{,}6} \approx 43{,}90$ .

Erst multiplizieren, dann potenzieren: $(1000 \times 2{,}71828)^{0{,}5}$

Warum es falsch ist: Der Exponent gehört nur zu $e$ , nicht zu $P$ . Nach der Rechenreihenfolge kommen Potenzen vor der Multiplikation.

Richtig: Zuerst $e^{rt}$ berechnen, dann mit $P$ multiplizieren. Im Taschenrechner: 1000 × e^(0.05 × 10), mit Klammern um den Exponenten.

$(1 + r)^t$ verwenden, obwohl die Aufgabe stetige Verzinsung verlangt

Warum es falsch ist: $(1 + r)^t$ bedeutet Verzinsung einmal pro Periode. Stetige Verzinsung bringt beim gleichen Zinssatz immer etwas mehr.

Richtig: Achte auf die Wörter stetig oder stetige Rate: Sie bedeuten $Pe^{rt}$ . Einmal im Jahr bedeutet $P(1 + r)^t$ .

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

P = 1000r = 0,05

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Tippe auf einen Namen, um den Graphen ein- oder auszublenden.

Asymptote

Wertetabelle

t	0	5	10	15	20
A = P·e^(rt)	1000	1284,03	1648,72	2117	2718,28
A = P(1 + r)^t	1000	1276,28	1628,89	2078,93	2653,3

Zinsrechner

Kapital (1.000,00 €)

Zinssatz (5%)

Zeitraum (10 Jahre)

Verzinsung

Formel

Zinseszins:A = Pe^(rt)A = 1000 · e^(0,05 · 10) = 1.648,72 €

Zinseszins

Verdiente Zinsen:648,72 €

Gesamtbetrag:1.648,72 €

Gleiches Geld, andere Verzinsung

Verzinsung	n	Gesamtbetrag	Verdiente Zinsen
Jährlich	1	1.628,89 €	628,89 €
Monatlich	12	1.647,01 €	647,01 €
Täglich	365	1.648,66 €	648,66 €
Stetig	∞	1.648,72 €	648,72 €

Wachstum über Zeit

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Ein Stoff zerfällt stetig mit einer Rate von 4% pro Jahr. Welche Formel beschreibt die Menge $A$ nach $t$ Jahren, ausgehend von $P$ ?

Übungsaufgaben: Stetiges Wachstum und stetige Abnahme

1. Ein Stoff zerfällt stetig mit einer Rate von 4% pro Jahr. Welche Formel beschreibt die Menge A nach t Jahren, ausgehend von P?
2. Was ist im Modell A = 250e^{0{,}07t} der Anfangswert?
3. Verwende A = Pe^{rt} mit P = 1000, r = 0{,}04 und t = 5. Nutze e^{0{,}2} \approx 1{,}2214. Wie groß ist A? Runde auf eine Dezimalstelle.
4. Eine Population folgt N = 300e^{0{,}12t}, t in Jahren. Wie groß ist die stetige Wachstumsrate in Prozent? Schreibe nur die Zahl, ohne das %-Zeichen.
5. Du legst 1500 € zu 3% bei stetiger Verzinsung für 10 Jahre an. Nutze e^{0{,}3} \approx 1{,}3499. Wie viel hast du am Ende? Runde auf ganze Euro.
6. Eine Kultur aus 400 Bakterien wächst stetig mit 25% pro Stunde. Wie viele Bakterien sind es nach 4 Stunden? Nutze e ≈ 2,71828 und runde auf eine ganze Zahl.
7. Was beschreibt das Modell N = 50e^{-0{,}3t}?
8. Zwei Konten starten mit demselben Betrag, demselben Zinssatz und derselben Laufzeit. Eines verzinst jährlich, das andere stetig. Welches hat am Ende mehr Geld?
9. 200 Gramm eines radioaktiven Stoffes zerfallen stetig mit einer Rate von 5% pro Jahr. Nutze e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065. Wie viele Gramm sind nach 10 Jahren übrig? Runde auf eine Dezimalstelle.
10. Wie viel musst du jetzt bei 5% stetiger Verzinsung einzahlen, um nach 10 Jahren 10000 € zu haben? Nutze e^{0{,}5} \approx 1{,}6487 und runde auf ganze Euro.
11. Ein Patient erhält 60 mg eines Medikaments. Der Körper baut es stetig mit einer Rate von 20% pro Stunde ab. Nutze e^{-0{,}6} \approx 0{,}5488. Wie viele mg wurden nach 3 Stunden abgebaut? Runde auf eine Dezimalstelle.
12. Du legst 3000 € zu 4% für 5 Jahre an. Nutze 1{,}04^{5} \approx 1{,}2167 und e^{0{,}2} \approx 1{,}2214. Vergleiche jährliche und stetige Verzinsung. Runde jeden Betrag auf ganze Euro.
13. Wie viel musst du heute bei 4% stetiger Verzinsung einzahlen, um nach 5 Jahren 6000 € zu haben? Nutze den Taschenrechner (e ≈ 2,71828) und runde das Ergebnis auf ganze Euro.
14. Angebot A: 6% bei jährlicher Verzinsung. Angebot B: 5,85% bei stetiger Verzinsung. Nutze e^{0{,}0585} \approx 1{,}0602. Welches Angebot bringt nach einem Jahr mehr Geld?
15. 5000 € werden zu 8% für 10 Jahre angelegt. Nutze 1{,}08^{10} \approx 2{,}158925 und e^{0{,}8} \approx 2{,}225541. Wie viele Euro mehr bringt stetige Verzinsung als jährliche Verzinsung? Runde auf ganze Euro.
16. Du willst 2000 € für 10 Jahre anlegen. Bank A zahlt 5% bei jährlicher Verzinsung, Bank B 4,9% bei stetiger Verzinsung. Nutze 1{,}05^{10} \approx 1{,}6289 und e^{0{,}49} \approx 1{,}6323. Runde jeden Betrag auf ganze Euro. Wie viele Euro mehr bringt die bessere Bank?
17. Eine Probe von 500 Gramm eines radioaktiven Stoffes zerfällt stetig mit 2% pro Jahr. Nutze e⁻¹ ≈ 0,3679. Wie viele Gramm sind nach 50 Jahren übrig? Runde auf ganze Gramm.
18. Eine Kultur beginnt mit 1000 Bakterien und wächst stetig mit 30% pro Stunde. Nutze e^{0{,}6} \approx 1{,}8221 und e^{1{,}2} \approx 3{,}3201. Um welchen Faktor wächst die Kultur von Stunde 2 bis Stunde 4? Bestimme zuerst die Anzahl der Bakterien nach 2 Stunden und nach 4 Stunden (ganze Zahl) und gib dann den Faktor mit zwei Dezimalstellen an.

Warum es wichtig ist

Viele Vorgänge warten nicht bis zum Jahresende, um sich zu ändern: Sie ändern sich in jedem Moment.

Finanzen: Manche Sparkonten und Kredite verzinsen stetig, und $Pe^{rt}$ ist die Obergrenze dessen, was irgendein Zinsplan bei gleichem Zinssatz bringen kann
Biologie: Bakterien im Labor teilen sich ständig, nicht nach Fahrplan, deshalb wird ihr Wachstum mit $e$ beschrieben
Physik und Medizin: Radioaktive Atome zerfallen zu zufälligen Zeitpunkten, und ein Medikament verlässt das Blut allmählich, beides folgt $Pe^{-kt}$
Naturwissenschaften allgemein: Fast jede Wachstums- oder Zerfallsformel in Chemie, Physik und Wirtschaft wird mit der Basis $e$ geschrieben

Wenn du

Pe^{rt}

lesen kannst, kannst du Bankangebote vergleichen, Laborergebnisse vorhersagen und verstehen, wie Forschende das Alter alter Gegenstände bestimmen.

Anwendungen im echten Leben

Bank: stetig verzinstes Sparen

Banken vergleichen Angebote mit der großzügigsten möglichen Verzinsung, der stetigen. Sie zeigt die Obergrenze dessen, was ein Zinssatz bringen kann.

Beispiel:

Bei 5% stetiger Verzinsung wächst 1 € in einem Jahr auf $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$ €, der effektive Jahreszins ist also etwa 5,13%, etwas mehr als 5%.

1Probiere es selbst

Du zahlst 4000 € auf ein Konto mit 4,5% stetiger Verzinsung ein und lässt das Geld 4 Jahre liegen.

Wie viel ist nach 4 Jahren auf dem Konto? Runde auf ganze Euro.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $4000 \times e^{0{,}045 \times 4}$ :

Biologie: Bakterien im Labor

Mikrobiologen beschreiben eine Bakterienkultur mit ausreichend Nahrung mit $N(t) = N_0 e^{rt}$, wobei $r$ die stetige Wachstumsrate pro Stunde ist.

Beispiel:

Eine Kultur aus 1000 Bakterien mit einer stetigen Rate von 30% pro Stunde hat nach 2 Stunden $1000 e^{0{,}6} \approx 1822$ Bakterien.

2Probiere es selbst

Eine Laborkultur beginnt mit 2000 Bakterien und wächst stetig mit 40% pro Stunde.

Wie viele Bakterien sind es nach 5 Stunden? Runde auf eine ganze Zahl.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $2000 \times e^{0{,}4 \times 5}$ :

Medizin: radioaktive Marker

Krankenhäuser setzen radioaktive Stoffe wie Iod-131 für Diagnose und Therapie ein. Die verbleibende Menge folgt $A = Pe^{-kt}$, so wissen Ärztinnen und Ärzte, wie viel an jedem Tag noch vorhanden ist.

Beispiel:

Iod-131 zerfällt stetig mit etwa 8,6% pro Tag. Nach 1 Tag ist $e^{-0{,}086} \approx 0{,}918$ , also sind noch etwa 91,8% der Probe vorhanden.

3Probiere es selbst

Ein Krankenhaus erhält 100 mg Iod-131, das stetig mit einer Rate von 8,6% pro Tag zerfällt.

Wie viel ist nach 10 Tagen übrig? Runde auf eine Dezimalstelle.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $100 \times e^{-0{,}086 \times 10}$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Stetiges Wachstum: $A = Pe^{rt}$ ; stetige Abnahme: $A = Pe^{-kt}$ , die Raten als Dezimalzahlen
2Ein positiver Exponent bedeutet Wachstum, ein negativer Exponent bedeutet Abnahme
3Im Rechner tippst du $e^{x}$ als e^(x) ein (ohne $e$ -Taste als 2.71828^x) und setzt Klammern um den Exponenten
4Bei gleichem Zinssatz und gleicher Zeit bringt stetige Verzinsung immer etwas mehr als jährliche Verzinsung
5Um den Anfangswert zu finden, teilst du: $P = \frac{A}{e^{rt}}$
6Um die Zeit $t$ zu bestimmen, braucht man Logarithmen, die in späteren Lektionen kommen

Häufig gestellte Fragen

Verzinst man

n

-mal im Jahr mit dem Zinssatz

r

, erhält man

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

. Wird

n

immer größer, nähert sich dieser Ausdruck

e^{rt}

. Also ist

e

genau das, was herauskommt, wenn Wachstum in jedem Augenblick passiert.

Glossar

Stetiges Wachstum: Wachstum, das in jedem Augenblick stattfindet, beschrieben durch $A = Pe^{rt}$ mit $r > 0$
Stetige Abnahme: Abnahme, die in jedem Augenblick stattfindet, beschrieben durch $A = Pe^{-kt}$ mit $k > 0$
Stetige Verzinsung: Zinsen, die in jedem Augenblick gutgeschrieben werden; der Grenzwert immer häufigerer Verzinsung
Stetige Rate: Die Rate $r$ oder $k$ im Exponenten, als Dezimalzahl geschrieben ( $4\% = 0{,}04$ )
Eulersche Zahl $e$: Die Konstante $e \approx 2{,}71828$ , die natürliche Basis für stetiges Wachstum und stetige Abnahme
Anfangswert: Der Startwert $P$ zum Zeitpunkt $t = 0$

Formelkarte

Stetiges Wachstum

A = P e^{rt}

$P$ = Anfangswert, $r$ = stetige Wachstumsrate (Dezimalzahl), $t$ = Zeit, $A$ = Bestand nach der Zeit $t$.

Stetige Abnahme

A = P e^{-kt}

$k$ = stetige Abnahmerate (Dezimalzahl, positiv). Das Minuszeichen lässt den Bestand schrumpfen.

Jährliche Verzinsung (zum Vergleich)

A = P(1 + r)^t

Zinsen einmal pro Jahr. Ergibt bei gleichem Zinssatz etwas weniger als $Pe^{rt}$.

Anfangswert

P = \frac{A}{e^{rt}}

Teile den Endbetrag durch den Wachstumsfaktor $e^{rt}$.

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Definition

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