Wachstum oder Abnahme?

Entscheide für jede Funktion, ob sie Wachstum oder Abnahme zeigt, und bestimme die prozentuale Änderung pro Zeitabschnitt: $f(t) = 300 \cdot 0{,}92^t$ und $g(t) = 50 \cdot 1{,}03^t$.

Betrachte die Basis von $f$: $b = 0{,}92$ und $0 < 0{,}92 < 1$ = $f$ zeigt Abnahme

Bestimme die Abnahmerate von $f$: $r = 1 - b = 1 - 0{,}92 = 0{,}08$ = $f$ verliert $8\%$ pro Abschnitt

Betrachte die Basis von $g$: $b = 1{,}03 > 1$, also $r = 1{,}03 - 1 = 0{,}03$ = $g$ wächst um $3\%$ pro Abschnitt

Lies die Anfangswerte ab: $f(0) = 300 \cdot 0{,}92^0 = 300$ und $g(0) = 50$ = Anfangswerte $300$ und $50$

Answer: $f$ ist exponentielle **Abnahme** mit $8\%$ pro Abschnitt (Start bei $300$); $g$ ist exponentielles **Wachstum** mit $3\%$ pro Abschnitt (Start bei $50$).

Wertverlust eines Autos

Ein neues Auto kostet 25000 € und verliert jedes Jahr $15\%$ seines Werts. Wie viel ist es nach 4 Jahren wert? Runde auf den Cent.

Werte bestimmen: $a = 25000$, $r = 0{,}15$, $t = 4$ = Werte bestimmt

Abnahmefaktor berechnen: $1 - r = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ = $b = 0{,}85$

Formel aufstellen: $V(4) = 25000 \cdot 0{,}85^4$ = Formel aufgestellt

Potenz berechnen: $0{,}85^4 = 0{,}52200625$ = Etwa $52{,}2\%$ des Werts bleiben

Multiplizieren und runden: $25000 \cdot 0{,}52200625 = 13050{,}15625 \approx 13050{,}16$ = 13050,16 €

Answer: Nach 4 Jahren ist das Auto etwa **13050,16 €** wert, also etwas mehr als die Hälfte seines Preises.

Medikament im Körper

Eine Patientin nimmt 400 mg eines Medikaments ein. Jede Stunde baut der Körper $20\%$ des noch vorhandenen Wirkstoffs ab. Wie viel ist nach 5 Stunden noch übrig, und wie viel Prozent der Dosis ist das? Runde auf eine Nachkommastelle.

Abnahmefaktor berechnen: $1 - 0{,}20 = 0{,}8$ = $b = 0{,}8$

Modell aufstellen: $M(t) = 400 \cdot 0{,}8^t$ = Modell aufgestellt

Potenz berechnen: $0{,}8^5 = 0{,}32768$ = $0{,}32768$ der Dosis bleiben

Menge berechnen: $400 \cdot 0{,}32768 = 131{,}072 \approx 131{,}1$ = $131{,}1$ mg

Faktor in Prozent umrechnen: $0{,}32768 \times 100\% = 32{,}768\% \approx 32{,}8\%$ = $32{,}8\%$ bleiben übrig

Answer: Nach 5 Stunden sind noch etwa **131,1 mg** übrig, das sind etwa **32,8 %** der Dosis.

Abkühlender Kaffee (einfaches Modell)

Eine Tasse Kaffee hat $90°C$ in einem Raum mit $20°C$. In einem einfachen Modell schrumpft der Unterschied zwischen Kaffee und Raum jede Minute um $10\%$. Welche Temperatur hat der Kaffee nach 5 Minuten? Runde auf eine Nachkommastelle.

Anfangsdifferenz bestimmen: $90 - 20 = 70$ = $D_0 = 70$ Grad

Die Differenz modellieren: $D(t) = 70 \cdot 0{,}9^t$ = Abnahmefaktor $0{,}9$

Potenz berechnen: $0{,}9^5 = 0{,}59049$ = $0{,}59049$

Differenz nach 5 Minuten berechnen: $70 \cdot 0{,}59049 = 41{,}3343$ = $D(5) \approx 41{,}33$ Grad

Raumtemperatur wieder addieren: $20 + 41{,}3343 = 61{,}3343 \approx 61{,}3$ = $61{,}3°C$

Answer: Nach 5 Minuten hat der Kaffee etwa **61,3°C**. Nur die Differenz zum Raum nimmt exponentiell ab, deshalb nähert sich der Kaffee $20°C$, fällt aber nie darunter.

Lineare und exponentielle Abnahme im Vergleich

Ein Handy kostet 800 €. Modell A: Es verliert 100 € pro Jahr. Modell B: Es verliert $20\%$ pro Jahr. Vergleiche die Werte nach 3, 6 und 8 Jahren (auf den Cent gerundet).

Beide Modelle aufschreiben: A: $V = 800 - 100t$; B: $V = 800 \cdot 0{,}8^t$ = Linear gegen exponentiell

Vergleich nach 3 Jahren: A: $800 - 300 = 500$; B: $800 \cdot 0{,}512 = 409{,}6$ = B ist niedriger

Vergleich nach 6 Jahren: A: $800 - 600 = 200$; B: $800 \cdot 0{,}262144 = 209{,}7152 \approx 209{,}72$ = Jetzt ist A niedriger

Vergleich nach 8 Jahren: A: $800 - 800 = 0$; B: $800 \cdot 0{,}16777216 \approx 134{,}22$ = A erreicht null, B nicht

Das Muster erklären: A zieht immer denselben Betrag ab; B zieht $20\%$ eines immer kleineren Werts ab = Exponentielle Verluste werden mit der Zeit kleiner

Answer: Das exponentielle Modell verliert zuerst mehr (409,60 € gegen 500 € nach 3 Jahren), aber seine jährlichen Verluste werden immer kleiner: Nach 6 Jahren liegt es höher (209,72 € gegen 200 €), und nach 8 Jahren ist der lineare Wert 0, während der exponentielle Wert noch etwa 134,22 € beträgt.

Mistake: Die Abnahmerate als Basis verwenden: $25000 \cdot 0{,}15^t$ für einen Verlust von $15\%$ schreiben

Why: $0{,}15^t$ behält jedes Jahr nur $15\%$, das bedeutet einen Verlust von $85\%$ pro Jahr. Die Basis muss der Teil sein, der **erhalten bleibt**.

Correct: Abnahmefaktor $= 1 - r$. Eine Abnahme um $15\%$ ergibt $25000 \cdot 0{,}85^t$.

Mistake: Jedes Mal denselben Betrag abziehen: '20 % von 1000 sind 200, also ist der Wert nach 5 Jahren 0'

Why: Das ist lineares Denken. Der Verlust jedes Jahres sind $20\%$ des **aktuellen** Werts, nicht des ursprünglichen, daher werden die Verluste kleiner.

Correct: Multipliziere jedes Jahr mit $0{,}8$: $1000 \to 800 \to 640 \to 512 \to 409{,}6 \to 327{,}68$. Nach 5 Jahren sind $327{,}68$ übrig.

Mistake: $a \cdot 1 - r^t$ statt $a(1 - r)^t$ berechnen

Why: Der Exponent gehört zum ganzen Abnahmefaktor. $1 - 0{,}15^2 = 0{,}9775$, aber $(1 - 0{,}15)^2 = 0{,}7225$.

Correct: Berechne zuerst $1 - r$, potenziere dann mit $t$ und multipliziere zuletzt mit $a$.

Mistake: Glauben, dass eine abnehmende Größe irgendwann genau null erreicht

Why: Wenn man eine positive Zahl mit einem Faktor wie $0{,}8$ multipliziert, bleibt das Ergebnis immer positiv.

Correct: Im Modell $y = a(1 - r)^t$ kommen die Werte $0$ immer näher (waagerechte Asymptote $y = 0$), erreichen sie aber nie.

Wertverlust von Handys und Laptops

Elektronik verliert jedes Jahr einen Prozentsatz ihres Werts. Gebrauchtwarenportale und Versicherungen schätzen mit Abnahmemodellen, was ein gebrauchtes Gerät wert ist.

Ein Laptop für 1000 €, der $30\%$ pro Jahr verliert, ist nach 2 Jahren $1000 \cdot 0{,}7^2 = 490$ € wert.

Dosierung von Medikamenten

Ärztinnen, Ärzte und Apotheker nutzen exponentielle Abnahme, um zu wissen, wie viel Wirkstoff noch im Körper ist und wann die nächste Dosis fällig ist.

Baut der Körper jede Stunde $15\%$ eines Wirkstoffs ab, dann gilt nach 4 Stunden $0{,}85^4 \approx 0{,}522$, also sind noch etwa $52{,}2\%$ der Dosis vorhanden.

Abkühlende Getränke

Ingenieure und Lebensmitteltechniker beschreiben Abkühlung mit Abnahmemodellen: Der Temperaturunterschied zwischen Gegenstand und Raum schrumpft jede Minute um einen Prozentsatz.

Kaffee mit $90°C$ in einem Raum mit $20°C$: Schrumpft der Unterschied von $70$ um $10\%$ pro Minute, beträgt er nach 1 Minute $63$, der Kaffee hat also $83°C$.

Q: Was ist der Unterschied zwischen Abnahmerate und Abnahmefaktor?

A: Die Abnahmerate $r$ ist das, was du pro Abschnitt verlierst (zum Beispiel $15\% = 0{,}15$). Der Abnahmefaktor ist das, was du behältst: $1 - r = 0{,}85$. Der Abnahmefaktor ist die Zahl, die in die Basis der Potenz kommt.

Q: Wie erkenne ich Wachstum und Abnahme direkt an der Formel?

A: Schau auf die Basis $b$ in $y = a \cdot b^t$. Ist $b > 1$, wächst die Größe (zum Beispiel bedeutet $1{,}04$ ein Plus von $4\%$). Ist $0 < b < 1$, nimmt sie ab (zum Beispiel bedeutet $0{,}96$ ein Minus von $4\%$).

Q: Erreicht eine abnehmende Größe jemals null?

A: Im Modell nicht. In jedem Abschnitt bleibt ein fester Anteil einer positiven Zahl übrig, also bleibt das Ergebnis positiv. Der Graph kommt der Geraden $y = 0$, seiner waagerechten Asymptote, immer näher. Im echten Leben hört man auf zu zählen, wenn die Menge zu klein ist, um eine Rolle zu spielen.

Q: Was ist die Halbwertszeit?

A: Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der genau die Hälfte der Größe übrig ist. Sie ist ein Sonderfall der exponentiellen Abnahme mit einer eigenen Formel und wird in der Lektion Aufgaben zur Halbwertszeit behandelt.