Wie erkenne ich Wachstum und Abnahme direkt an der Formel?

Schau auf die Basis $b$ in $y = a \cdot b^t$. Ist $b > 1$, wächst die Größe (zum Beispiel bedeutet $1{,}04$ ein Plus von $4\%$). Ist $0 < b < 1$, nimmt sie ab (zum Beispiel bedeutet $0{,}96$ ein Minus von $4\%$).

Erreicht eine abnehmende Größe jemals null?

Im Modell nicht. In jedem Abschnitt bleibt ein fester Anteil einer positiven Zahl übrig, also bleibt das Ergebnis positiv. Der Graph kommt der Geraden $y = 0$, seiner waagerechten Asymptote, immer näher. Im echten Leben hört man auf zu zählen, wenn die Menge zu klein ist, um eine Rolle zu spielen.

Was ist die Halbwertszeit?

Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der genau die Hälfte der Größe übrig ist. Sie ist ein Sonderfall der exponentiellen Abnahme mit einer eigenen Formel und wird in der Lektion Aufgaben zur Halbwertszeit behandelt.

Lehrermaterialien

Exponentielle Abnahme

Q: Was ist der Unterschied zwischen Abnahmerate und Abnahmefaktor?

Die Abnahmerate $r$ ist das, was du pro Abschnitt verlierst (zum Beispiel $15\% = 0{,}15$). Der Abnahmefaktor ist das, was du behältst: $1 - r = 0{,}85$. Der Abnahmefaktor ist die Zahl, die in die Basis der Potenz kommt.

Q: Erreicht eine abnehmende Größe jemals null?

Im Modell nicht. In jedem Abschnitt bleibt ein fester Anteil einer positiven Zahl übrig, also bleibt das Ergebnis positiv. Der Graph kommt der Geraden $y = 0$, seiner waagerechten Asymptote, immer näher. Im echten Leben hört man auf zu zählen, wenn die Menge zu klein ist, um eine Rolle zu spielen.

Q: Was ist die Halbwertszeit?

Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der genau die Hälfte der Größe übrig ist. Sie ist ein Sonderfall der exponentiellen Abnahme mit einer eigenen Formel und wird in der Lektion Aufgaben zur Halbwertszeit behandelt.

Lerne, wie Größen um einen festen Prozentsatz abnehmen, nutze die Formel y = a(1 - r)^t und löse Aufgaben zu Wertverlust, Medikamenten und Abkühlung.

Fortgeschritten25 MinLektion

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Definition

Exponentielle Abnahme liegt vor, wenn eine Größe in jedem gleich langen Zeitabschnitt um denselben Prozentsatz kleiner wird. Der Verlust wird dabei jedes Mal kleiner, weil jeder neue Verlust ein Prozentsatz dessen ist, was noch übrig ist.

y = a(1 - r)^t

Dabei ist:

$a$ = Anfangswert (die Menge bei $t = 0$ )
$r$ = Abnahmerate, der Prozentsatz, der pro Zeitabschnitt verloren geht, als Dezimalzahl ( $15\% \to r = 0{,}15$ )
$1 - r$ = Abnahmefaktor $b$ (auch Zerfallsfaktor), der Teil, der in jedem Abschnitt erhalten bleibt ( $1 - 0{,}15 = 0{,}85$ )
$t$ = Anzahl der Zeitabschnitte

In der allgemeinen Form

y = a \cdot b^t

erkennst du den Typ an der Basis:

$b > 1$ : exponentielles Wachstum
$0 < b < 1$ : exponentielle Abnahme

Nach

t

Zeitabschnitten ist der verbleibende Anteil

(1 - r)^t

, ganz egal, wie groß die Anfangsmenge ist.

Probier es gleich aus

Welche Funktion zeigt exponentielle Abnahme?

Lösungsbeispiele

Entscheide für jede Funktion, ob sie Wachstum oder Abnahme zeigt, und bestimme die prozentuale Änderung pro Zeitabschnitt: $f(t) = 300 \cdot 0{,}92^t$ und $g(t) = 50 \cdot 1{,}03^t$ .

Betrachte die Basis von $f$

$b = 0{,}92$ und $0 < 0{,}92 < 1$ → $f$ zeigt Abnahme

Bestimme die Abnahmerate von $f$

$r = 1 - b = 1 - 0{,}92 = 0{,}08$ → $f$ verliert $8\%$ pro Abschnitt

Betrachte die Basis von $g$

$b = 1{,}03 > 1$ , also $r = 1{,}03 - 1 = 0{,}03$ → $g$ wächst um $3\%$ pro Abschnitt

Lies die Anfangswerte ab

$f(0) = 300 \cdot 0{,}92^0 = 300$ und $g(0) = 50$ → Anfangswerte $300$ und $50$

Antwort: $f$ ist exponentielle Abnahme mit $8\%$ pro Abschnitt (Start bei $300$ ); $g$ ist exponentielles Wachstum mit $3\%$ pro Abschnitt (Start bei $50$ ).

Häufige Fehler

Die Abnahmerate als Basis verwenden: $25000 \cdot 0{,}15^t$ für einen Verlust von $15\%$ schreiben

Warum es falsch ist: $0{,}15^t$ behält jedes Jahr nur $15\%$ , das bedeutet einen Verlust von $85\%$ pro Jahr. Die Basis muss der Teil sein, der erhalten bleibt.

Richtig: Abnahmefaktor $= 1 - r$ . Eine Abnahme um $15\%$ ergibt $25000 \cdot 0{,}85^t$ .

Jedes Mal denselben Betrag abziehen: '20 % von 1000 sind 200, also ist der Wert nach 5 Jahren 0'

Warum es falsch ist: Das ist lineares Denken. Der Verlust jedes Jahres sind $20\%$ des aktuellen Werts, nicht des ursprünglichen, daher werden die Verluste kleiner.

Richtig: Multipliziere jedes Jahr mit $0{,}8$ : $1000 \to 800 \to 640 \to 512 \to 409{,}6 \to 327{,}68$ . Nach 5 Jahren sind $327{,}68$ übrig.

$a \cdot 1 - r^t$ statt $a(1 - r)^t$ berechnen

Warum es falsch ist: Der Exponent gehört zum ganzen Abnahmefaktor. $1 - 0{,}15^2 = 0{,}9775$ , aber $(1 - 0{,}15)^2 = 0{,}7225$ .

Richtig: Berechne zuerst $1 - r$ , potenziere dann mit $t$ und multipliziere zuletzt mit $a$ .

Glauben, dass eine abnehmende Größe irgendwann genau null erreicht

Warum es falsch ist: Wenn man eine positive Zahl mit einem Faktor wie $0{,}8$ multipliziert, bleibt das Ergebnis immer positiv.

Richtig: Im Modell $y = a(1 - r)^t$ kommen die Werte $0$ immer näher (waagerechte Asymptote $y = 0$ ), erreichen sie aber nie.

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

a = 400r = 0,2

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

y = a(1 − r)^tAsymptote

Wertetabelle

t	0	1	2	3	4	5
y	400	320	256	204,8	163,84	131,072

Folgen-Explorer

Erstes Glied (a₁ = 100)

Quotient (r = 0,8)

100,

80,

64,

51,2,

40,96,

32,768,

26,214,

20,972

, ...

Formel

a_n = 100 × 0,8^(n-1)

a_1

100

a_5

40,96

a_10

13,422

a_20

1,441

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Welche Funktion zeigt exponentielle Abnahme?

Warum es wichtig ist

Exponentielle Abnahme beschreibt viele Dinge, die mit der Zeit weniger werden:

Wertverlust: Ein neues Auto oder Handy verliert jedes Jahr einen Prozentsatz seines Werts, also am Anfang am meisten Geld
Medikamente: Der Körper baut jede Stunde einen festen Prozentsatz eines Wirkstoffs ab, und das bestimmt, wie oft man eine Dosis braucht
Abkühlung: Ein heißes Getränk kühlt zuerst schnell ab und dann immer langsamer, je näher es der Raumtemperatur kommt
Licht und Schall: Jeder Meter Wasser oder Wand schluckt einen Prozentsatz des Lichts oder Schalls, der hindurchgeht

Mit der Abnahmeformel kannst du Werte vorhersagen, Angebote vergleichen (fester Betrag weniger pro Jahr oder ein Prozentsatz weniger) und verstehen, warum manche Dinge nie ganz bei null ankommen.

Anwendungen im echten Leben

Wertverlust von Handys und Laptops

Elektronik verliert jedes Jahr einen Prozentsatz ihres Werts. Gebrauchtwarenportale und Versicherungen schätzen mit Abnahmemodellen, was ein gebrauchtes Gerät wert ist.

Beispiel:

Ein Laptop für 1000 €, der $30\%$ pro Jahr verliert, ist nach 2 Jahren $1000 \cdot 0{,}7^2 = 490$ € wert.

1Probiere es selbst

Ein neues Handy kostet 1200 € und verliert jedes Jahr $25\%$ seines Werts.

Wie viel ist das Handy nach 2 Jahren wert?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Nutze die Abnahmeformel: $1200 \cdot 0{,}75^2$

Dosierung von Medikamenten

Ärztinnen, Ärzte und Apotheker nutzen exponentielle Abnahme, um zu wissen, wie viel Wirkstoff noch im Körper ist und wann die nächste Dosis fällig ist.

Beispiel:

Baut der Körper jede Stunde $15\%$ eines Wirkstoffs ab, dann gilt nach 4 Stunden $0{,}85^4 \approx 0{,}522$ , also sind noch etwa $52{,}2\%$ der Dosis vorhanden.

2Probiere es selbst

Ein Patient nimmt 200 mg eines Medikaments ein. Der Körper baut jede Stunde $30\%$ der verbleibenden Menge ab.

Wie viele Milligramm sind nach 4 Stunden noch übrig?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne: $200 \cdot 0{,}7^4$

Abkühlende Getränke

Ingenieure und Lebensmitteltechniker beschreiben Abkühlung mit Abnahmemodellen: Der Temperaturunterschied zwischen Gegenstand und Raum schrumpft jede Minute um einen Prozentsatz.

Beispiel:

Kaffee mit $90°C$ in einem Raum mit $20°C$ : Schrumpft der Unterschied von $70$ um $10\%$ pro Minute, beträgt er nach 1 Minute $63$ , der Kaffee hat also $83°C$ .

3Probiere es selbst

Eine Tasse Tee hat $80°C$ in einem Raum mit $20°C$ . In einem einfachen Modell schrumpft der Temperaturunterschied jede Minute um $20\%$ .

Welche Temperatur hat der Tee nach 3 Minuten?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne: $20 + 60 \cdot 0{,}8^3$

Wichtige Erkenntnisse

1Exponentielle Abnahme folgt $y = a(1 - r)^t$ : Die Größe verliert in jedem Zeitabschnitt denselben Prozentsatz
2Die Abnahmerate $r$ ist der verlorene Prozentsatz; der Abnahmefaktor $1 - r$ ist der Teil, der bleibt (eine Abnahme um $15\%$ ergibt $0{,}85$ )
3In $y = a \cdot b^t$ bedeutet eine Basis $0 < b < 1$ Abnahme und $b > 1$ Wachstum
4Nach $t$ Abschnitten ist der verbleibende Anteil $(1 - r)^t$ ; mal $100\%$ ergibt den Restanteil in Prozent
5Lineare Abnahme zieht immer denselben Betrag ab und kann null erreichen; exponentielle Abnahme verliert pro Abschnitt immer weniger und nähert sich null nur an
6Runde erst am Ende und gib die Rundung an (auf den Cent, auf eine Nachkommastelle)

Häufig gestellte Fragen

Die Abnahmerate

r

ist das, was du pro Abschnitt verlierst (zum Beispiel

15\% = 0{,}15

). Der Abnahmefaktor ist das, was du behältst:

1 - r = 0{,}85

. Der Abnahmefaktor ist die Zahl, die in die Basis der Potenz kommt.

Glossar

Exponentielle Abnahme: Eine Abnahme um denselben Prozentsatz in gleich langen Zeitabschnitten, beschrieben durch $y = a(1 - r)^t$
Abnahmerate: Der Prozentsatz, der pro Abschnitt verloren geht, als Dezimalzahl $r$ (zum Beispiel $0{,}15$ für $15\%$ )
Abnahmefaktor: Der Teil, der in jedem Abschnitt bleibt, $b = 1 - r$ , mit $0 < b < 1$
Anfangswert: Die Menge $a$ zum Zeitpunkt $t = 0$
Wertverlust: Der Verlust an Wert eines Gegenstands, etwa eines Autos oder Handys, im Lauf der Zeit
Waagerechte Asymptote: Die Gerade $y = 0$ , der sich ein Abnahmegraph nähert, ohne sie je zu berühren

Formelkarte

Formel der exponentiellen Abnahme

y = a(1 - r)^t

$a$ = Anfangswert, $r$ = Abnahmerate als Dezimalzahl, $1 - r$ = Abnahmefaktor, $t$ = Anzahl der Abschnitte.

Abnahmefaktor aus Prozent

b = 1 - r

Eine Abnahme um $p\%$ pro Abschnitt ergibt $b = 1 - \frac{p}{100}$. Beispiel: $15\% \to 0{,}85$.

Restanteil in Prozent

(1 - r)^t \times 100\%

Der Prozentsatz der Anfangsmenge, der nach $t$ Abschnitten übrig ist, egal wie groß die Anfangsmenge ist.

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