Ein direkter Basisvergleich

Löse $2^x = 32$.

Schreibe 32 als Potenz von 2: $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$ = $2^x = 2^5$

Setze die Exponenten gleich: Gleiche Basis $2$, also müssen die Exponenten übereinstimmen = $x = 5$

Probe: $2^5 = 32$ ✓ = Die Lösung stimmt

Answer: $x = 5$

Ein Term im Exponenten

Löse $3^{x+1} = 81$.

Schreibe 81 als Potenz von 3: $81 = 3^4$ = $3^{x+1} = 3^4$

Setze die Exponenten gleich: $x + 1 = 4$ = Eine lineare Gleichung

Löse nach $x$ auf: $x = 4 - 1$ = $x = 3$

Probe: $3^{3+1} = 3^4 = 81$ ✓ = Die Lösung stimmt

Answer: $x = 3$

Beide Seiten umschreiben

Löse $4^x = 8$.

Finde eine gemeinsame Basis: $4 = 2^2$ und $8 = 2^3$, beide sind also Potenzen von $2$ = Gemeinsame Basis: $2$

Schreibe die linke Seite um: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ = $2^{2x} = 2^3$

Setze die Exponenten gleich: $2x = 3$ = $x = \frac{3}{2}$

Probe: $4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$ ✓ = Die Lösung stimmt

Answer: $x = \frac{3}{2} = 1{,}5$

Ein Bruch auf der rechten Seite

Löse $9^x = \frac{1}{27}$.

Schreibe die linke Seite mit Basis 3: $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$ = $3^{2x}$

Schreibe den Bruch als negativen Exponenten: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$ = $3^{2x} = 3^{-3}$

Setze die Exponenten gleich: $2x = -3$ = $x = -\frac{3}{2}$

Probe: $9^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(\sqrt{9})^3} = \frac{1}{27}$ ✓ = Die Lösung stimmt

Answer: $x = -\frac{3}{2} = -1{,}5$

Eine Lösung mit einer Tabelle schätzen

Löse $5 \cdot 2^x = 100$. Wenn die Lösung keine ganze Zahl ist, gib die zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen an, zwischen denen sie liegt.

Isoliere die Potenz: Teile beide Seiten durch $5$: $2^x = \frac{100}{5}$ = $2^x = 20$

Suche eine gemeinsame Basis: $20 = 2^2 \cdot 5$ ist keine Potenz von $2$ = Der Basisvergleich funktioniert nicht

Lege eine Tabelle mit Zweierpotenzen an: $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32$ = $16 < 20 < 32$

Grenze die Lösung ein: $2^4 < 2^x < 2^5$, und ein größerer Exponent ergibt immer eine größere Zweierpotenz = $4 < x < 5$

Verfeinere mit dem Taschenrechner: $2^{4{,}3} \approx 19{,}7$ und $2^{4{,}4} \approx 21{,}1$ = $x \approx 4{,}3$

Answer: $x$ liegt zwischen $4$ und $5$ (etwa $4{,}32$). Logarithmen, ein späteres Thema, liefern den exakten Wert.

Mistake: Durch die Basis teilen: $2^x = 32 \implies x = \frac{32}{2} = 16$

Why: $2^x$ bedeutet, dass $2$ genau $x$-mal mit sich selbst multipliziert wird, nicht $2$ mal $x$. Teilen macht eine Multiplikation rückgängig, kein Potenzieren.

Correct: Schreibe $32$ als Zweierpotenz: $32 = 2^5$, also $x = 5$. Probe: $2^{16} = 65536 \neq 32$.

Mistake: Den Faktor in die Basis hineinziehen: $3 \cdot 2^x = 48 \implies 6^x = 48$

Why: Der Exponent gehört nur zur $2$. Nach den Rechenregeln wird zuerst potenziert und danach mit $3$ multipliziert.

Correct: Zuerst teilen: $2^x = 16 = 2^4$, also $x = 4$. Probe: $3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$ ✓

Mistake: Exponenten gleichsetzen, obwohl die Basen verschieden sind: $4^x = 2^3 \implies x = 3$

Why: Der Basisvergleich funktioniert nur, wenn die Basen wirklich gleich sind. $4^3 = 64$, nicht $8$.

Correct: Schreibe zuerst $4^x = 2^{2x}$, dann $2x = 3$, also $x = \frac{3}{2}$.

Mistake: Das Minuszeichen vergessen: $9^x = \frac{1}{27} \implies x = \frac{3}{2}$

Why: Eine Zahl kleiner als $1$ braucht einen negativen Exponenten, wenn die Basis größer als $1$ ist: $\frac{1}{27} = 3^{-3}$.

Correct: $3^{2x} = 3^{-3}$, also $x = -\frac{3}{2}$. Schnelltest: $9^{\frac{3}{2}} = 27$, das ist viel größer als $\frac{1}{27}$.

Bakterienkolonien

Eine Kolonie, die sich jede Stunde verdoppelt, folgt $N = N_0 \cdot 2^t$. Wenn man nach $t$ auflöst, weiß ein Labor, wann die Kolonie eine Zielgröße erreicht.

Eine Kolonie aus 100 Zellen verdoppelt sich jede Stunde. Sie erreicht 800 Zellen, wenn $100 \cdot 2^t = 800$ gilt, also $2^t = 8 = 2^3$ und $t = 3$ Stunden.

Papier falten

Jedes Falten verdoppelt die Dicke eines Blatts Papier, also ist die Dicke nach $n$ Faltungen $T = T_0 \cdot 2^n$.

Ein 0,1 mm dickes Blatt ist nach 3 Faltungen 0,8 mm dick, denn $0{,}1 \cdot 2^3 = 0{,}8$.

Virale Videos

Aufrufe, die sich jeden Tag verdoppeln, wachsen wie $V = V_0 \cdot 2^d$. Ist das Ziel keine Zweierpotenz, zeigt eine Tabelle von Potenzen, an welchem Tag es überschritten wird.

Ein Video mit 1000 Aufrufen, die sich täglich verdoppeln, hat nach 5 Tagen $1000 \cdot 2^5 = 32000$ Aufrufe und nach 6 Tagen $1000 \cdot 2^6 = 64000$.

Q: Was mache ich, wenn ich beide Seiten nicht mit derselben Basis schreiben kann?

A: Dann funktioniert der Basisvergleich nicht. Du kannst aber schätzen: Lege eine Tabelle von Potenzen an und sieh nach, wo die rechte Seite hineinpasst, zum Beispiel $2^4 = 16 < 20 < 32 = 2^5$, also liegt die Lösung von $2^x = 20$ zwischen $4$ und $5$. Logarithmen, die später im Kurs kommen, liefern die exakte Lösung.

Q: Warum darf die Basis nicht 1 sein?

A: Weil $1^x = 1$ für jedes $x$ gilt. Die Gleichung $1^x = 1^5$ ist für alle Werte von $x$ wahr, also kannst du nicht folgern, dass $x = 5$ ist. Bei jeder anderen positiven Basis ergeben verschiedene Exponenten immer verschiedene Ergebnisse.

Q: Kann eine Exponentialgleichung keine Lösung haben?

A: Ja. Eine Potenz mit positiver Basis ist immer positiv, also haben $2^x = -4$ und $2^x = 0$ keine Lösung. Prüfe vor dem Rechnen, ob die isolierte Potenz gleich einer positiven Zahl ist.

Q: Kann es zwei Lösungen geben?

A: Ja, wenn im Exponenten $x^2$ steht. Zum Beispiel ergibt $2^{x^2} = 2^4$ die Gleichung $x^2 = 4$, also $x = 2$ oder $x = -2$. Mache für beide Lösungen die Probe in der ursprünglichen Gleichung.