Warum darf die Basis nicht 1 sein?

Weil $1^x = 1$ für jedes $x$ gilt. Die Gleichung $1^x = 1^5$ ist für alle Werte von $x$ wahr, also kannst du nicht folgern, dass $x = 5$ ist. Bei jeder anderen positiven Basis ergeben verschiedene Exponenten immer verschiedene Ergebnisse.

Kann eine Exponentialgleichung keine Lösung haben?

Ja. Eine Potenz mit positiver Basis ist immer positiv, also haben $2^x = -4$ und $2^x = 0$ keine Lösung. Prüfe vor dem Rechnen, ob die isolierte Potenz gleich einer positiven Zahl ist.

Kann es zwei Lösungen geben?

Ja, wenn im Exponenten $x^2$ steht. Zum Beispiel ergibt $2^{x^2} = 2^4$ die Gleichung $x^2 = 4$, also $x = 2$ oder $x = -2$. Mache für beide Lösungen die Probe in der ursprünglichen Gleichung.

Lehrermaterialien

Exponentialgleichungen lösen

Löse Gleichungen mit der Unbekannten im Exponenten, indem du beide Seiten als Potenzen derselben Basis schreibst, und schätze Lösungen, die keine ganzen Zahlen sind.

Fortgeschritten25 MinLektion

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Definition

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, bei der die Unbekannte im Exponenten steht, zum Beispiel

2^x = 32

oder

3^{x+1} = 81

Die zentrale Idee ist der Basisvergleich: Wenn zwei Potenzen mit derselben Basis gleich sind, dann sind auch ihre Exponenten gleich.

b^m = b^n \implies m = n \quad (b > 0,\ b \neq 1)

Das Verfahren des Basisvergleichs:

1.Potenz isolieren: Steht eine Zahl als Faktor vor der Potenz, teilst du beide Seiten durch sie ( $3 \cdot 2^x = 48 \implies 2^x = 16$ ).
2.Beide Seiten als Potenzen derselben Basis schreiben ( $16 = 2^4$ , $8 = 2^3$ , $4 = 2^2$ ).
3.Exponenten gleichsetzen und die einfachere Gleichung lösen.
4.Probe machen: Setze die Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein.

Nützliche Umformungen:

Brüche werden zu negativen Exponenten: $\frac{1}{27} = 3^{-3}$
Wurzeln werden zu gebrochenen Exponenten: $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$
Potenz einer Potenz: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$

Wenn sich die beiden Seiten nicht mit derselben Basis schreiben lassen (wie bei

2^x = 20

), kannst du die Lösung mit einer Wertetabelle von Potenzen schätzen:

2^4 = 16

und

2^5 = 32

, also liegt

x

zwischen

4

und

5

. Logarithmen, ein späteres Thema, liefern den exakten Wert.

Probier es gleich aus

Löse

2^x = 16

Lösungsbeispiele

Löse $2^x = 32$ .

Schreibe 32 als Potenz von 2

$32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$ → $2^x = 2^5$

Setze die Exponenten gleich

Gleiche Basis $2$ , also müssen die Exponenten übereinstimmen → $x = 5$

Probe

$2^5 = 32$ ✓ → Die Lösung stimmt

Antwort: $x = 5$

Häufige Fehler

Durch die Basis teilen: $2^x = 32 \implies x = \frac{32}{2} = 16$

Warum es falsch ist: $2^x$ bedeutet, dass $2$ genau $x$ -mal mit sich selbst multipliziert wird, nicht $2$ mal $x$ . Teilen macht eine Multiplikation rückgängig, kein Potenzieren.

Richtig: Schreibe $32$ als Zweierpotenz: $32 = 2^5$ , also $x = 5$ . Probe: $2^{16} = 65536 \neq 32$ .

Den Faktor in die Basis hineinziehen: $3 \cdot 2^x = 48 \implies 6^x = 48$

Warum es falsch ist: Der Exponent gehört nur zur $2$ . Nach den Rechenregeln wird zuerst potenziert und danach mit $3$ multipliziert.

Richtig: Zuerst teilen: $2^x = 16 = 2^4$ , also $x = 4$ . Probe: $3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$ ✓

Exponenten gleichsetzen, obwohl die Basen verschieden sind: $4^x = 2^3 \implies x = 3$

Warum es falsch ist: Der Basisvergleich funktioniert nur, wenn die Basen wirklich gleich sind. $4^3 = 64$ , nicht $8$ .

Richtig: Schreibe zuerst $4^x = 2^{2x}$ , dann $2x = 3$ , also $x = \frac{3}{2}$ .

Das Minuszeichen vergessen: $9^x = \frac{1}{27} \implies x = \frac{3}{2}$

Warum es falsch ist: Eine Zahl kleiner als $1$ braucht einen negativen Exponenten, wenn die Basis größer als $1$ ist: $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ .

Richtig: $3^{2x} = 3^{-3}$ , also $x = -\frac{3}{2}$ . Schnelltest: $9^{\frac{3}{2}} = 27$ , das ist viel größer als $\frac{1}{27}$ .

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

y = 5·2^xy = 100

Schnittpunkt: (4,32 | 100)

Basis:

Berechnen:2³ = 8

Sieh, wie Potenzen einer Zahl auf dem Zahlenstrahl wachsen. Ändere Basis und Exponent.

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Löse $2^x = 16$ .

Warum es wichtig ist

Exponentialgleichungen beantworten die Frage "wann?" für alles, was mit einem konstanten Faktor wächst oder schrumpft:

Biologie: Wann erreicht eine Bakterienkolonie, die sich jede Stunde verdoppelt, 4800 Zellen?
Finanzen: Wie viele Jahre dauert es, bis sich eine Geldanlage verdoppelt oder verdreifacht?
Technik: Wie oft muss sich ein Speicher verdoppeln, um eine bestimmte Datenmenge aufzunehmen?
Naturwissenschaften: Wie lange dauert es, bis ein Stoff auf einen ungefährlichen Wert gesunken ist?

In den vorherigen Lektionen hast du die Menge zu einer gegebenen Zeit berechnet. Hier drehst du die Frage um und suchst die Zeit (den Exponenten) zu einer gegebenen Menge. Der Basisvergleich trainiert außerdem, Zahlen wie

8

81

und

\frac{1}{27}

als Potenzen zu erkennen, eine Fähigkeit, die du bei den Logarithmen wieder brauchst.

Anwendungen im echten Leben

Bakterienkolonien

Eine Kolonie, die sich jede Stunde verdoppelt, folgt $N = N_0 \cdot 2^t$. Wenn man nach $t$ auflöst, weiß ein Labor, wann die Kolonie eine Zielgröße erreicht.

Beispiel:

Eine Kolonie aus 100 Zellen verdoppelt sich jede Stunde. Sie erreicht 800 Zellen, wenn $100 \cdot 2^t = 800$ gilt, also $2^t = 8 = 2^3$ und $t = 3$ Stunden.

1Probiere es selbst

Eine Probe enthält anfangs 300 Bakterien und verdoppelt sich jede Stunde.

Nach wie vielen Stunden sind es 4800 Bakterien?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Löse $300 \cdot 2^t = 4800$ . Teile zuerst:

Papier falten

Jedes Falten verdoppelt die Dicke eines Blatts Papier, also ist die Dicke nach $n$ Faltungen $T = T_0 \cdot 2^n$.

Beispiel:

Ein 0,1 mm dickes Blatt ist nach 3 Faltungen 0,8 mm dick, denn $0{,}1 \cdot 2^3 = 0{,}8$ .

2Probiere es selbst

Ein Blatt Papier ist 0,1 mm dick. Jedes Falten verdoppelt die Dicke.

Nach wie vielen Faltungen ist der Stapel 6,4 mm dick?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Löse $0{,}1 \cdot 2^n = 6{,}4$ . Teile zuerst:

Virale Videos

Aufrufe, die sich jeden Tag verdoppeln, wachsen wie $V = V_0 \cdot 2^d$. Ist das Ziel keine Zweierpotenz, zeigt eine Tabelle von Potenzen, an welchem Tag es überschritten wird.

Beispiel:

Ein Video mit 1000 Aufrufen, die sich täglich verdoppeln, hat nach 5 Tagen $1000 \cdot 2^5 = 32000$ Aufrufe und nach 6 Tagen $1000 \cdot 2^6 = 64000$ .

3Probiere es selbst

Ein Video hat 1000 Aufrufe, und die Aufrufe verdoppeln sich jeden Tag.

Zwischen welchen zwei ganzen Tagen überschreitet es 50000 Aufrufe?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Löse $1000 \cdot 2^d = 50000$ . Teile zuerst:

Wichtige Erkenntnisse

1Bei einer Exponentialgleichung steht die Unbekannte im Exponenten, wie bei $2^x = 32$
2Basisvergleich: Aus $b^m = b^n$ (mit $b > 0$ , $b \neq 1$ ) folgt $m = n$
3Isoliere zuerst die Potenz: Teile durch einen Faktor davor, wie bei $3 \cdot 2^x = 48 \implies 2^x = 16$
4Schreibe mit einer gemeinsamen Basis um, mit $(b^m)^x = b^{mx}$ , negativen Exponenten für Brüche ( $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ ) und gebrochenen Exponenten für Wurzeln
5Mache immer die Probe, indem du die Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzt
6Gibt es keine gemeinsame Basis, zeigt eine Tabelle von Potenzen, zwischen welchen ganzen Zahlen die Lösung liegt; Logarithmen liefern den exakten Wert

Häufig gestellte Fragen

Dann funktioniert der Basisvergleich nicht. Du kannst aber schätzen: Lege eine Tabelle von Potenzen an und sieh nach, wo die rechte Seite hineinpasst, zum Beispiel

2^4 = 16 < 20 < 32 = 2^5

, also liegt die Lösung von

2^x = 20

zwischen

4

und

5

. Logarithmen, die später im Kurs kommen, liefern die exakte Lösung.

Glossar

Exponentialgleichung: Eine Gleichung, in der die Unbekannte in einem Exponenten steht, zum Beispiel $5^{x-1} = 125$
Basisvergleich: Lösen einer Exponentialgleichung, indem man beide Seiten als Potenzen einer Basis schreibt und die Exponenten gleichsetzt
Gemeinsame Basis: Eine Basis, mit der sich beide Seiten schreiben lassen, etwa $2$ bei $4^x = 8$
Negativer Exponent: Ein Exponent, der einen Kehrwert bedeutet: $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$
Gebrochener Exponent: Ein Exponent, der eine Wurzel bedeutet: $b^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{b}$ , zum Beispiel $27^{\frac{1}{3}} = 3$
Logarithmus: Der Exponent, den man braucht, um eine Zahl zu erreichen; er liefert exakte Lösungen wie das $x$ in $2^x = 20$ (ein späteres Thema)

Formelkarte

Basisvergleich

b^m = b^n \implies m = n

Gilt für $b > 0$ und $b \neq 1$. Schreibe beide Seiten mit derselben Basis und setze dann die Exponenten gleich.

Potenz einer Potenz

(b^m)^x = b^{mx}

Damit wechselst du die Basis, zum Beispiel $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$.

Negativer Exponent

\frac{1}{b^n} = b^{-n}

Macht aus einem Bruch eine Potenz, zum Beispiel $\frac{1}{16} = 2^{-4}$.

Gebrochener Exponent

\sqrt[n]{b^m} = b^{\frac{m}{n}}

Macht aus einer Wurzel eine Potenz, zum Beispiel $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.

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Formelkarte

Basisvergleich

Potenz einer Potenz

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