Exponentielles Wachstum

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche Formel stellt exponentielles Wachstum dar?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
ist die Formel für exponentielles Wachstum, bei der die Anfangsmenge mit dem Wachstumsfaktor potenziert mit der Zeit multipliziert wird.
2.
Wenn etwas um 12% pro Jahr wächst, was ist der Wachstumsfaktor ?
Lösung: 1.12
Der Wachstumsfaktor . Die Wachstumsrate 12% wird in Dezimalform (0,12) umgewandelt und zu 1 addiert.
3.
Eine Bevölkerung verdoppelt sich jedes Jahr. Was ist der Wachstumsfaktor?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Wenn sich eine Größe verdoppelt, wird sie jede Periode mit 2 multipliziert. Daher ist der Wachstumsfaktor .
4.
Wenn , was ist ?
Lösung: 32
. Jedes Mal, wenn der Exponent um 1 steigt, multiplizieren wir mit der Basis.
5.
Eine Bakterienkolonie beginnt mit 100 Zellen und verdoppelt sich jede Stunde. Wie viele Zellen nach 3 Stunden?
Lösung: 800
1. Was ist die Anfangsmenge ? 100
2. Was ist der Wachstumsfaktor für Verdopplung? 2
3. Was ist ? 8
4. Berechne 800
6.
Was ist der Unterschied zwischen exponentiellem und linearem Wachstum?
1. a)Linear multipliziert; exponentiell addiert
2. b)Beide addieren jeden Zeitraum den gleichen Betrag
3. c)Linear addiert eine Konstante; exponentiell multipliziert mit einer Konstanten
4. d)Exponentiell ist immer schneller als linear
Lösung: Linear addiert eine Konstante; exponentiell multipliziert mit einer Konstanten
Lineares Wachstum: (Konstante addieren). Exponentielles Wachstum: (mit Konstante multiplizieren). Der Hauptunterschied ist Addition vs. Multiplikation.
7.
Berechne gerundet auf zwei Dezimalstellen.
Lösung: 1.16
. Das bedeutet, dass 5% Wachstum über 3 Jahre etwa 16% Gesamtzunahme ergibt.
8.
Du investierst 500 Euro bei 10% jährlichen Zinsen. Wie viel nach 2 Jahren?
Lösung: 605
1. Was ist der Wachstumsfaktor für 10% Wachstum? 1.1
2. Was ist ? 1.21
3. Berechne 605
9.
Eine Größe verdreifacht sich jedes Jahr. Nach 4 Jahren wird sie multipliziert mit:
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Mit Wachstumsfaktor und Zeit ist der Multiplikator . Das ist NICHT - exponentielles Wachstum verwendet Exponenten!
10.
Mit der 70er-Regel: Wenn eine Investition mit 7% pro Jahr wächst, ungefähr wie viele Jahre bis zur Verdopplung?
Lösung: 10
Die 70er-Regel besagt: Verdopplungszeit ≈ Jahre. Dies ist eine schnelle Schätzung für zusammengesetztes Wachstum.
11.
Eine Stadt mit 20.000 Einwohnern wächst mit 5% pro Jahr. Wie groß ist die Bevölkerung nach 3 Jahren?
Lösung: 23153
1. Was ist der Wachstumsfaktor? 1.05
2. Berechne 1.157625
3. Berechne (runde auf ganze Zahl) 23153
12.
Eine Investition wuchs von 1000 auf 1210 Euro in 2 Jahren. Wie hoch war die jährliche Wachstumsrate?
1. a)10{,}5%
2. b)10%
3. c)5%
4. d)21%
Lösung: 10%
, also , somit . Die Wachstumsrate ist .
13.
Eine Bevölkerung wuchs von 5000 auf 8000 in 4 Jahren. Finde die jährliche Wachstumsrate (runde auf 1 Dezimalstelle).
Lösung: 12.5
1. Stelle die Gleichung auf: . Was ist ? 1.6
2. Finde (benutze Taschenrechner) 1.125
3. Umrechnen in Prozent: , dann mit 100 multiplizieren 12.5
14.
Wie viele Jahre, damit 1000 Euro bei 10% jährlichen Zinsen auf 2000 Euro wachsen? (Auf ganze Zahl runden)
Lösung: 7
Mit der 70er-Regel: Jahre. Genaue Berechnung: , also Jahre.
15.
Du investierst 2000 Euro bei 8% jährlich. Wie viel nach 5 Jahren? (Auf ganzen Euro runden)
Lösung: 2939
1. Was ist der Wachstumsfaktor für 8%? 1.08
2. Berechne 1.469
3. Berechne , runde auf ganzen Euro 2939
16.
Warum wird exponentielles Wachstum in realen Bevölkerungen schließlich unhaltbar?
1. a)Wachstumsraten sinken immer natürlich
2. b)Die mathematische Formel versagt
3. c)Ressourcen werden begrenzt (Nahrung, Raum)
4. d)Zahlen werden zu groß zum Zählen
Lösung: Ressourcen werden begrenzt (Nahrung, Raum)
In der realen Welt sind Ressourcen wie Nahrung, Wasser und Raum begrenzt. Wenn Bevölkerungen wachsen, nimmt der Wettbewerb zu und das Wachstum verlangsamt sich (logistisches Wachstum). Das exponentielle Modell ist nur für frühe Wachstumsphasen genau.