Zinseszins, monatlich

Du legst 5000 € auf ein Sparkonto mit 6% Jahreszins, monatlich verzinst. Wie viel Geld ist nach 10 Jahren auf dem Konto?

Lesen: Größen notieren: $P = 5000$ €, $r = 0{,}06$, $n = 12$ (monatlich), $t = 10$ Jahre = Anfangswert, Zinssatz, Perioden pro Jahr und Zeit gefunden

Faktor pro Monat bestimmen: $1 + \frac{r}{n} = 1 + \frac{0{,}06}{12} = 1{,}005$ = Wachstum, Faktor $1{,}005$ pro Monat

Modell aufstellen: $A = 5000 \cdot 1{,}005^{12 \cdot 10} = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$ = $A = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$

Berechnen: $1{,}005^{120} \approx 1{,}819397$, also $A \approx 5000 \cdot 1{,}819397 \approx 9096{,}98$ = $A \approx 9096{,}98$

Prüfen: Jährliche Verzinsung ergibt $5000 \cdot 1{,}06^{10} \approx 8954{,}24$. Monatlich sollte etwas mehr herauskommen, und das stimmt. = Sinnvoll, in Euro

Answer: Nach 10 Jahren sind etwa **9096,98 €** auf dem Konto.

Wertverlust eines Autos

Ein neues Auto kostet 24000 € und verliert jedes Jahr 15% seines Werts. Wie viel ist es nach 5 Jahren wert? Runde auf den Cent.

Lesen: Größen notieren: $a = 24000$ €, Rate $15\% = 0{,}15$ pro Jahr, $t = 5$ Jahre = Anfangswert, Rate und Zeit gefunden

Erkennen: Wachstum oder Abnahme?: Der Wert sinkt, also Abnahme: $b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ = Zerfallsfaktor $0{,}85$

Modell aufstellen: $V(t) = 24000 \cdot 0{,}85^{t}$, also $V(5) = 24000 \cdot 0{,}85^{5}$ = $V(5) = 24000 \cdot 0{,}85^5$

Berechnen: $0{,}85^5 \approx 0{,}443705$, also $V(5) \approx 10648{,}93$ = $V(5) \approx 10648{,}93$

Prüfen: Der Wert liegt unter 24000 und über 0. Ein linearer Verlust von $3600$ pro Jahr ergäbe nur $6000$: Bei exponentieller Abnahme verliert man jedes Jahr weniger, weil 15% eines kleineren Werts kleiner sind. = Sinnvoll, in Euro

Answer: Nach 5 Jahren ist das Auto etwa **10648,93 €** wert.

Ein Post geht viral

Um 12:00 Uhr wurde ein lustiges Video 40-mal geteilt. Die Zahl der Shares verdreifacht sich alle 2 Stunden. Wie viele Shares gibt es um 22:00 Uhr am selben Tag?

Lesen: Größen notieren: $a = 40$ Shares, Faktor $3$ alle $2$ Stunden, Zeit $t = 10$ Stunden (12:00 bis 22:00) = Anfangswert, Faktor und Zeit gefunden

Faktor und Zeitabschnitt bestimmen: Wachstum mit $b = 3$, aber pro 2 Stunden, also ist der Exponent $\frac{t}{2}$ = Wachstum, $b = 3$ pro 2 Stunden

Modell aufstellen: $S(t) = 40 \cdot 3^{t/2}$, also $S(10) = 40 \cdot 3^{10/2} = 40 \cdot 3^5$ = $S(10) = 40 \cdot 3^5$

Berechnen: $3^5 = 243$, also $S(10) = 40 \cdot 243 = 9720$ = $9720$ Shares

Prüfen: 5 Verdreifachungen: $40 \to 120 \to 360 \to 1080 \to 3240 \to 9720$. Eine ganze Zahl von Shares, die schnell wächst: passt. = Sinnvoll, eine Anzahl von Shares

Answer: Um 22:00 Uhr hat das Video etwa **9720 Shares**.

Medikament und Halbwertszeit

Ein Patient nimmt 200 mg eines Medikaments ein. Die Halbwertszeit im Körper beträgt 6 Stunden. Wie viel ist nach 18 Stunden noch übrig?

Lesen: Größen notieren: $N_0 = 200$ mg, Halbwertszeit $T = 6$ Stunden, $t = 18$ Stunden = Anfangswert, Halbwertszeit und Zeit gefunden

Erkennen: Wachstum oder Abnahme?: Die Menge halbiert sich, also Abnahme mit Faktor $\frac{1}{2}$ pro 6 Stunden = Abnahme, Faktor $\frac{1}{2}$

Modell aufstellen: $N(t) = 200 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6}$, also $N(18) = 200 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ = $N(18) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3$

Berechnen: $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$, also $N(18) = \frac{200}{8} = 25$ = $25$ mg

Prüfen: Dreimal halbieren: $200 \to 100 \to 50 \to 25$. Weniger als die Dosis, nie negativ, in mg. = Sinnvoll, in mg

Answer: Nach 18 Stunden sind noch **25 mg** des Medikaments übrig.

Linear oder exponentiell? Eine Tabelle lesen

Ein Kanal hatte diese Abonnentenzahlen: Woche 0: 500, Woche 1: 600, Woche 2: 720, Woche 3: 864. Ist das Muster linear oder exponentiell? Sage die Zahl für Woche 5 voraus.

Differenzen prüfen: $600 - 500 = 100$, $720 - 600 = 120$, $864 - 720 = 144$ = Differenzen nicht konstant: nicht linear

Quotienten prüfen: $\frac{600}{500} = 1{,}2$, $\frac{720}{600} = 1{,}2$, $\frac{864}{720} = 1{,}2$ = Konstanter Quotient $b = 1{,}2$: exponentiell

Modell aufstellen: $a = 500$ (Woche 0), $b = 1{,}2$: $S(t) = 500 \cdot 1{,}2^{t}$ = $S(t) = 500 \cdot 1{,}2^t$

Woche 5 berechnen: $S(5) = 500 \cdot 1{,}2^5 = 500 \cdot 2{,}48832 = 1244{,}16$ = Etwa $1244$ Abonnenten

Deuten und prüfen: $a = 500$ ist die Anfangszahl, $b = 1{,}2$ bedeutet 20% Wachstum pro Woche. Eine lineare Schätzung ($+100$ pro Woche) ergäbe nur $1000$. = Sinnvoll, eine ganze Zahl von Personen

Answer: Das Muster ist **exponentiell** ($S(t) = 500 \cdot 1{,}2^t$, 20% pro Woche), und in Woche 5 hat der Kanal etwa **1244 Abonnenten**.

Mistake: Beim Zinseszins $r$ und $t$ statt $\frac{r}{n}$ und $nt$ verwenden

Why: Bei monatlicher Verzinsung zahlt die Bank jeden Monat $\frac{6\%}{12} = 0{,}5\%$, und das 120-mal in 10 Jahren. $5000 \cdot 1{,}06^{120}$ oder $5000 \cdot 1{,}005^{10}$ verwechselt den Zeitabschnitt.

Correct: Zinssatz pro Periode $\frac{r}{n}$, Anzahl der Perioden $nt$: $A = 5000\left(1 + \frac{0{,}06}{12}\right)^{12 \cdot 10}$.

Mistake: Die Rate als Faktor nehmen, zum Beispiel $b = 0{,}15$ bei 15% Verlust

Why: 15% Verlust heißt, dass 85% des Werts bleiben. $24000 \cdot 0{,}15^5$ ist fast null, und kein Auto verliert in 5 Jahren so viel.

Correct: Abnahme: $b = 1 - r = 0{,}85$. Wachstum: $b = 1 + r$. Der Faktor ist das, was nach einer Periode übrig ist (oder was du dann hast).

Mistake: $t$ statt $\frac{t}{T}$ verwenden, wenn der Zeitabschnitt nicht 1 ist

Why: "Verdreifacht sich alle 2 Stunden" oder "Halbwertszeit 6 Stunden" heißt, dass der Faktor einmal pro 2 oder 6 Stunden wirkt, nicht jede Stunde. $40 \cdot 3^{10}$ ist viel zu groß.

Correct: Zähle zuerst die Perioden: Exponent $= \frac{\text{Zeit}}{\text{Länge einer Periode}}$, zum Beispiel $3^{10/2} = 3^5$.

Mistake: Die Plausibilitätsprüfung weglassen

Why: Ein Ergebnis bei Abnahme, das größer als der Anfangswert ist, oder ein Ergebnis bei Wachstum, das kleiner ist, zeigt immer einen falschen Faktor oder Exponenten.

Correct: Schritt 5 jedes Mal: Wachstum endet über $a$, Abnahme endet zwischen $0$ und $a$, und die Einheit passt zur Frage.

Sparen fürs Studium

Banken verzinsen jährlich, vierteljährlich, monatlich oder täglich. Mit der Formel $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ kannst du Angebote vergleichen, bevor du dich entscheidest.

1000 € zu 4%, vierteljährlich verzinst, 3 Jahre lang: $1000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 1126{,}83$ €.

Bakterien im Labor

Mikrobiologen beschreiben Wachstum, das ständig und nicht in Stufen passiert, mit stetigem Wachstum $A = P \cdot e^{rt}$.

Eine Kultur aus 1000 Zellen wächst 10 Stunden lang stetig mit 2% pro Stunde: $1000 \cdot e^{0{,}2} \approx 1000 \cdot 1{,}2214 \approx 1221$ Zellen.

Koffein im Körper

Ärzte und Apotheker nutzen die Halbwertszeit, um zu entscheiden, wie oft ein Medikament eingenommen wird. Koffein hat bei Erwachsenen eine Halbwertszeit von etwa 5 Stunden.

Ein Kaffee mit 100 mg um 8:00 Uhr hinterlässt um 13:00 Uhr noch $100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 50$ mg.

Q: Woran erkenne ich, dass eine Aufgabe exponentiell und nicht linear ist?

A: Achte auf Wörter wie "Prozent pro Jahr", "verdoppelt", "verdreifacht", "halbiert" oder "Halbwertszeit": Die Änderung ist ein Faktor. Steht im Text "nimmt jedes Jahr um 50 zu", ist die Änderung ein fester Betrag, also linear. In einer Tabelle prüfst du die Quotienten aufeinanderfolgender Werte.

Q: Wann verwende ich $e^{rt}$ statt $(1 + r)^t$?

A: Verwende $e^{rt}$ nur, wenn die Aufgabe sagt, dass das Wachstum oder die Abnahme **stetig** ist (oder stetig verzinst wird). Steht dort jährlich, monatlich, vierteljährlich oder gar nichts zur Verzinsung, nimmst du $(1 + r)^t$ oder $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$.

Q: Mein Taschenrechner hat keine $e$-Taste. Was mache ich?

A: Nimm den Wert aus der Aufgabe, etwa $e^{0{,}4} \approx 1{,}4918$, oder tippe $2{,}71828$ für $e$ ein. Der Rechner in dieser Lektion kennt $e$, dort kannst du e^0.4 direkt eintippen. Mit 5 Nachkommastellen von $e$ rundet dein Ergebnis bei den Aufgaben dieser Lektion auf denselben Cent oder dieselbe ganze Zahl.

Q: Warum ist Schritt 5 wichtig, wenn die Rechnung stimmt?

A: Die meisten falschen Ergebnisse kommen vom Ansatz, nicht vom Rechnen: ein Faktor $0{,}15$ statt $0{,}85$ oder $t$ statt $\frac{t}{2}$. Die Frage "Sollte das größer oder kleiner als der Anfangswert sein?" findet solche Fehler in wenigen Sekunden.