Wann verwende ich $e^{rt}$ statt $(1 + r)^t$?

Verwende $e^{rt}$ nur, wenn die Aufgabe sagt, dass das Wachstum oder die Abnahme **stetig** ist (oder stetig verzinst wird). Steht dort jährlich, monatlich, vierteljährlich oder gar nichts zur Verzinsung, nimmst du $(1 + r)^t$ oder $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$.

Mein Taschenrechner hat keine $e$-Taste. Was mache ich?

Nimm den Wert aus der Aufgabe, etwa $e^{0{,}4} \approx 1{,}4918$, oder tippe $2{,}71828$ für $e$ ein. Der Rechner in dieser Lektion kennt $e$, dort kannst du e^0.4 direkt eintippen. Mit 5 Nachkommastellen von $e$ rundet dein Ergebnis bei den Aufgaben dieser Lektion auf denselben Cent oder dieselbe ganze Zahl.

Warum ist Schritt 5 wichtig, wenn die Rechnung stimmt?

Die meisten falschen Ergebnisse kommen vom Ansatz, nicht vom Rechnen: ein Faktor $0{,}15$ statt $0{,}85$ oder $t$ statt $\frac{t}{2}$. Die Frage "Sollte das größer oder kleiner als der Anfangswert sein?" findet solche Fehler in wenigen Sekunden.

Lehrermaterialien

Sachaufgaben zu Exponentialfunktionen

Löse echte Sachaufgaben zu Exponentialfunktionen mit einer 5-Schritte-Methode: Zinseszins, Wertverlust, virale Verbreitung, Halbwertszeit und stetiges Wachstum.

Fortgeschritten35 MinLektion

Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Eine exponentielle Sachaufgabe beschreibt eine Größe, die sich in jedem gleich langen Zeitabschnitt um denselben Faktor ändert. Deine Aufgabe ist es, aus dem Text ein Modell der Form

y = a \cdot b^{t}

zu machen, wobei

a

der Anfangswert und

b

der Wachstumsfaktor (

b > 1

) oder Zerfallsfaktor (

0 < b < 1

) ist.

Die 5-Schritte-Methode funktioniert für jede Aufgabe in dieser Lektion:

1.Lesen: Finde den Anfangswert, die Rate oder den Faktor, die Zeit und die Einheiten.
2.Erkennen: Wachstum oder Abnahme? Bestimme den Faktor $b$ (bei einer Rate $r$ : $b = 1 + r$ oder $b = 1 - r$ ).
3.Modell aufstellen: Wähle die passende Formel und setze die Zahlen ein.
4.Berechnen: Rechne mit dem Taschenrechner und runde so, wie es die Aufgabe verlangt.
5.Prüfen: Ist das Ergebnis sinnvoll (größer oder kleiner als der Anfangswert?) und hat es die richtige Einheit?

Formeln im Überblick (aus den früheren Lektionen):

Zinseszins, $n$ -mal pro Jahr: $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$
Stetiges Wachstum oder stetige Abnahme: $A = P \cdot e^{rt}$
Halbwertszeit $T$ : $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$

Probier es gleich aus

Ein Handy verliert jedes Jahr 15% seines Werts. Welchen Faktor

b

verwendest du im Modell

V(t) = a \cdot b^t

Lösungsbeispiele

Du legst 5000 € auf ein Sparkonto mit 6% Jahreszins, monatlich verzinst. Wie viel Geld ist nach 10 Jahren auf dem Konto?

Lesen: Größen notieren

$P = 5000$ €, $r = 0{,}06$ , $n = 12$ (monatlich), $t = 10$ Jahre → Anfangswert, Zinssatz, Perioden pro Jahr und Zeit gefunden

Faktor pro Monat bestimmen

$1 + \frac{r}{n} = 1 + \frac{0{,}06}{12} = 1{,}005$ → Wachstum, Faktor $1{,}005$ pro Monat

Modell aufstellen

$A = 5000 \cdot 1{,}005^{12 \cdot 10} = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$ → $A = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$

Berechnen

$1{,}005^{120} \approx 1{,}819397$ , also $A \approx 5000 \cdot 1{,}819397 \approx 9096{,}98$ → $A \approx 9096{,}98$

Prüfen

Jährliche Verzinsung ergibt $5000 \cdot 1{,}06^{10} \approx 8954{,}24$ . Monatlich sollte etwas mehr herauskommen, und das stimmt. → Sinnvoll, in Euro

Antwort: Nach 10 Jahren sind etwa 9096,98 € auf dem Konto.

Häufige Fehler

Beim Zinseszins $r$ und $t$ statt $\frac{r}{n}$ und $nt$ verwenden

Warum es falsch ist: Bei monatlicher Verzinsung zahlt die Bank jeden Monat $\frac{6\%}{12} = 0{,}5\%$ , und das 120-mal in 10 Jahren. $5000 \cdot 1{,}06^{120}$ oder $5000 \cdot 1{,}005^{10}$ verwechselt den Zeitabschnitt.

Richtig: Zinssatz pro Periode $\frac{r}{n}$ , Anzahl der Perioden $nt$ : $A = 5000\left(1 + \frac{0{,}06}{12}\right)^{12 \cdot 10}$ .

Die Rate als Faktor nehmen, zum Beispiel $b = 0{,}15$ bei 15% Verlust

Warum es falsch ist: 15% Verlust heißt, dass 85% des Werts bleiben. $24000 \cdot 0{,}15^5$ ist fast null, und kein Auto verliert in 5 Jahren so viel.

Richtig: Abnahme: $b = 1 - r = 0{,}85$ . Wachstum: $b = 1 + r$ . Der Faktor ist das, was nach einer Periode übrig ist (oder was du dann hast).

$t$ statt $\frac{t}{T}$ verwenden, wenn der Zeitabschnitt nicht 1 ist

Warum es falsch ist: "Verdreifacht sich alle 2 Stunden" oder "Halbwertszeit 6 Stunden" heißt, dass der Faktor einmal pro 2 oder 6 Stunden wirkt, nicht jede Stunde. $40 \cdot 3^{10}$ ist viel zu groß.

Richtig: Zähle zuerst die Perioden: Exponent $= \frac{\text{Zeit}}{\text{Länge einer Periode}}$ , zum Beispiel $3^{10/2} = 3^5$ .

Die Plausibilitätsprüfung weglassen

Warum es falsch ist: Ein Ergebnis bei Abnahme, das größer als der Anfangswert ist, oder ein Ergebnis bei Wachstum, das kleiner ist, zeigt immer einen falschen Faktor oder Exponenten.

Richtig: Schritt 5 jedes Mal: Wachstum endet über $a$ , Abnahme endet zwischen $0$ und $a$ , und die Einheit passt zur Frage.

Interaktive Visualisierung

Zinsrechner

Kapital (5.000,00 €)

Zinssatz (6%)

Zeitraum (10 Jahre)

Verzinsung

Formel

Zinseszins:A = P(1 + r/n)^(nt)A = 5000 · (1 + 0,06/12)^(12 · 10) = 9.096,98 €

Zinseszins

Verdiente Zinsen:4.096,98 €

Gesamtbetrag:9.096,98 €

Gleiches Geld, andere Verzinsung

Verzinsung	n	Gesamtbetrag	Verdiente Zinsen
Jährlich	1	8.954,24 €	3.954,24 €
Monatlich	12	9.096,98 €	4.096,98 €
Täglich	365	9.110,14 €	4.110,14 €
Stetig	∞	9.110,59 €	4.110,59 €

Wachstum über Zeit

Folgen-Explorer

Erstes Glied (a₁ = 200)

Quotient (r = 0,5)

200,

100,

50,

25,

12,5,

6,25

, ...

Formel

a_n = 200 × 0,5^(n-1)

a_1

200

a_5

12,5

a_10

0,391

a_20

0,000381

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Ein Handy verliert jedes Jahr 15% seines Werts. Welchen Faktor $b$ verwendest du im Modell $V(t) = a \cdot b^t$ ?

Übungsaufgaben: Sachaufgaben zu Exponentialfunktionen

1. Ein Handy verliert jedes Jahr 15% seines Werts. Welchen Faktor b verwendest du im Modell V(t) = a \cdot b^t?
2. Die Anzahl der Fische in einem See wird durch P(t) = 1200 \cdot 1{,}04^t beschrieben, t in Jahren. Was sagt dir die Zahl 1{,}04?
3. Jede Liste zeigt die Werte einer Größe für t = 0, 1, 2, 3. Welche Liste folgt einem exponentiellen Modell?
4. Du legst 2000 € zu 6% Jahreszins an, vierteljährlich verzinst. Welches Modell gibt den Betrag A nach t Jahren an?
5. Ein Auto, das 20000 € gekostet hat, verliert jedes Jahr 10% seines Werts. Vier Schüler haben seinen Wert nach 4 Jahren berechnet. Welches Ergebnis ist richtig?
6. Ein Video hat 500 Aufrufe, und die Zahl der Aufrufe verdoppelt sich jeden Tag. Wie viele Aufrufe hat es nach 6 Tagen?
7. Ein Stoff hat eine Halbwertszeit von 5 Stunden. Eine Probe enthält anfangs 80 mg. Wie viele mg sind nach 20 Stunden noch übrig?
8. Du legst 1000 € zu 8% Jahreszins an, vierteljährlich verzinst. Wie viel ist nach 5 Jahren auf dem Konto? Runde auf den Cent.
9. 1500 € werden zu 5% pro Jahr stetig verzinst angelegt. Verwende e^{0{,}5} \approx 1{,}6487. Wie viel ist die Anlage nach 10 Jahren wert? Runde auf ganze Euro.
10. Eine Tabelle gibt y = 80 bei t = 0, y = 120 bei t = 1, y = 180 bei t = 2 und y = 270 bei t = 3. Entscheide, ob sie linear oder exponentiell ist, und bestimme dann den genauen Wert von y bei t = 5.
11. Ein Laptop kostet 1200 € und verliert jedes Jahr 20% seines Werts. Wie viel ist er nach 3 Jahren wert?
12. Am Montag kennen 4 Schüler eine neue Tanz-Challenge. Jeden Tag verdreifacht sich die Zahl der Schüler, die sie kennen. Wie viele kennen sie 4 Tage später?
13. Du legst 3000 € zu 5% Jahreszins an, halbjährlich verzinst (zweimal pro Jahr). Wie viel hast du nach 6 Jahren? Runde auf den Cent.
14. Ein radioaktiver Stoff hat eine Halbwertszeit von 5 Jahren. Eine Probe wiegt 640 g. Wie viele Gramm sind nach 15 Jahren noch übrig?
15. Ein Patient bekommt 500 mg eines Medikaments. Die Menge im Blut nimmt stetig mit einer Rate von 10% pro Stunde ab, also A(t) = 500 \cdot e^{-0{,}1t}. Verwende e^{-0{,}2} \approx 0{,}8187. Wie viele mg sind nach 2 Stunden noch übrig? Runde auf ganze mg.
16. Bank A zahlt 5% pro Jahr bei jährlicher Verzinsung. Bank B zahlt 5% pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Du legst 10000 € für 3 Jahre an. Wie viel mehr zahlt Bank B? Runde jeden Betrag auf den Cent.
17. Ein Dorf hatte 2000 Einwohner. Zwei Jahre später waren es 2880. Nimm exponentielles Wachstum P(t) = 2000 \cdot b^t an (t in Jahren). Bestimme b, die jährliche Wachstumsrate und die Einwohnerzahl nach 4 Jahren (auf ganze Einwohner gerundet).
18. Der Wert eines Autos ist V(t) = 18000 \cdot 0{,}88^t Euro, t Jahre nach dem Kauf. Deute das Modell und bestimme dann, nach wie vielen ganzen Jahren der Wert zum ersten Mal unter 10000 € fällt.

Warum es wichtig ist

Exponentielle Modelle sind die Sprache von Geld, Medizin, Technik und Natur. Wenn du sie selbst aufstellen kannst, kannst du Behauptungen überprüfen, statt sie einfach zu glauben:

Sparen und Kredite: Der Unterschied zwischen jährlicher und monatlicher Verzinsung ist nach 10 oder 20 Jahren echtes Geld
Auto oder Handy kaufen: Der Wertverlust sagt dir, was es noch wert ist, wenn du es verkaufst
Gesundheit: Die Halbwertszeit sagt einer Ärztin, wie viel Medikament nach ein paar Stunden noch im Körper ist
Soziale Medien: Virale Posts wachsen in jedem Zeitabschnitt um einen Faktor, deshalb explodieren sie so schnell
Naturwissenschaften: Populationen, radioaktive Stoffe und abkühlende Körper folgen exponentiellen Gesetzen

Diese Lektion fasst alles aus der Einheit Exponentialfunktionen zusammen. Die 5-Schritte-Methode ist jedes Mal gleich, nur die Formel in Schritt 3 ändert sich.

Anwendungen im echten Leben

Sparen fürs Studium

Banken verzinsen jährlich, vierteljährlich, monatlich oder täglich. Mit der Formel $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ kannst du Angebote vergleichen, bevor du dich entscheidest.

Beispiel:

1000 € zu 4%, vierteljährlich verzinst, 3 Jahre lang: $1000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 1126{,}83$ €.

1Probiere es selbst

Du legst 4000 € auf ein Konto mit 6% Jahreszins, vierteljährlich verzinst, für 2 Jahre an.

Wie viel Geld ist nach 2 Jahren auf dem Konto (auf den Cent genau)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Verwende $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ mit $P = 4000$ , $r = 0{,}06$ , $n = 4$ , $t = 2$ :

Bakterien im Labor

Mikrobiologen beschreiben Wachstum, das ständig und nicht in Stufen passiert, mit stetigem Wachstum $A = P \cdot e^{rt}$.

Beispiel:

Eine Kultur aus 1000 Zellen wächst 10 Stunden lang stetig mit 2% pro Stunde: $1000 \cdot e^{0{,}2} \approx 1000 \cdot 1{,}2214 \approx 1221$ Zellen.

2Probiere es selbst

Eine Kultur beginnt mit 800 Zellen und wächst stetig mit einer Rate von 3% pro Stunde. Verwende $e^{0{,}3} \approx 1{,}3499$ .

Wie viele Zellen sind es ungefähr nach 10 Stunden (auf ganze Zellen gerundet)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Verwende $A = P \cdot e^{rt}$ mit $P = 800$ , $r = 0{,}03$ , $t = 10$ :

Koffein im Körper

Ärzte und Apotheker nutzen die Halbwertszeit, um zu entscheiden, wie oft ein Medikament eingenommen wird. Koffein hat bei Erwachsenen eine Halbwertszeit von etwa 5 Stunden.

Beispiel:

Ein Kaffee mit 100 mg um 8:00 Uhr hinterlässt um 13:00 Uhr noch $100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 50$ mg.

3Probiere es selbst

Ein Energydrink enthält 160 mg Koffein. Nimm eine Halbwertszeit von 5 Stunden an.

Wie viel Koffein ist nach 10 Stunden noch übrig?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Verwende $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ mit $N_0 = 160$ , $T = 5$ , $t = 10$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Jede exponentielle Sachaufgabe passt zu $y = a \cdot b^{t}$ : $a$ ist der Anfangswert, $b$ der Faktor pro Periode
2Nutze die 5 Schritte: lesen, Wachstum oder Abnahme und Faktor erkennen, Modell aufstellen, berechnen, prüfen
3Eine Rate $r$ ergibt den Faktor $b = 1 + r$ bei Wachstum und $b = 1 - r$ bei Abnahme
4Zinseszins: $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ ; stetig: $A = P \cdot e^{rt}$ ; Halbwertszeit: $N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$
5Wirkt der Faktor nur einmal alle $T$ Zeiteinheiten, ist der Exponent $\frac{t}{T}$
6In einer Tabelle bedeuten konstante Differenzen linear und konstante Quotienten exponentiell

Häufig gestellte Fragen

Achte auf Wörter wie "Prozent pro Jahr", "verdoppelt", "verdreifacht", "halbiert" oder "Halbwertszeit": Die Änderung ist ein Faktor. Steht im Text "nimmt jedes Jahr um 50 zu", ist die Änderung ein fester Betrag, also linear. In einer Tabelle prüfst du die Quotienten aufeinanderfolgender Werte.

Glossar

Exponentielles Modell: Eine Formel $y = a \cdot b^{t}$ , die eine Größe beschreibt, die sich in jedem gleich langen Zeitabschnitt um denselben Faktor $b$ ändert
Wachstumsfaktor / Zerfallsfaktor: Die Zahl $b$ , mit der du in jeder Periode multiplizierst: $b = 1 + r$ bei Wachstum, $b = 1 - r$ bei Abnahme
Zinseszins: Zinsen, die $n$ -mal pro Jahr zum Guthaben addiert werden, sodass spätere Zinsen auch auf frühere Zinsen anfallen
Wertverlust: Die Abnahme des Werts eines Gegenstands (Auto, Handy, Maschine) mit der Zeit, oft ein fester Prozentsatz pro Jahr
Halbwertszeit: Die Zeit $T$ , in der eine abnehmende Größe auf die Hälfte ihres Werts sinkt
Stetiges Wachstum: Wachstum, das in jedem Moment stattfindet, beschrieben durch $A = P \cdot e^{rt}$

Formelkarte

Allgemeines exponentielles Modell

y = a \cdot b^{t}

$a$ = Anfangswert, $b$ = Faktor pro Periode ($b = 1 + r$ Wachstum, $b = 1 - r$ Abnahme), $t$ = Anzahl der Perioden.

Zinseszins

A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

$P$ = Anfangskapital, $r$ = Jahreszinssatz als Dezimalzahl, $n$ = Verzinsungen pro Jahr, $t$ = Jahre.

Stetiges Wachstum oder stetige Abnahme

A = P \cdot e^{rt}

$r > 0$ bei Wachstum, $r < 0$ bei Abnahme, $e \approx 2{,}71828$.

Halbwertszeit

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

$N_0$ = Anfangsmenge, $T$ = Halbwertszeit, $t$ = vergangene Zeit (gleiche Einheit wie $T$).

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Zinsrechner

Zinseszins

Gleiches Geld, andere Verzinsung

Wachstum über Zeit

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Anwendungen im echten Leben

Sparen fürs Studium

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Koffein im Körper

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Zinseszins

Stetiges Wachstum oder stetige Abnahme

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