Eine Wachstumskurve aus einer Wertetabelle

Zeichne $y = 3 \cdot 2^x$ für $x = -2$ bis $x = 3$. Gib den y-Achsenabschnitt, die Asymptote, den Definitionsbereich und den Wertebereich an.

Berechne die Werte für negative $x$: $3 \cdot 2^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}75$ und $3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1{,}5$ = Punkte $(-2; 0{,}75)$ und $(-1; 1{,}5)$

Berechne die Werte für $x = 0$ bis $3$: $3 \cdot 2^0 = 3$, $3 \cdot 2^1 = 6$, $3 \cdot 2^2 = 12$, $3 \cdot 2^3 = 24$ = Punkte $(0, 3)$, $(1, 6)$, $(2, 12)$, $(3, 24)$

Trage die Punkte ein und verbinde sie: Jeder Schritt nach rechts verdoppelt $y$; jeder Schritt nach links halbiert es = Eine steigende Kurve, links flach und rechts steil

Lies die wichtigen Eigenschaften ab: $a = 3$ liefert den y-Achsenabschnitt; es wird nichts addiert, also $k = 0$ = y-Achsenabschnitt $(0, 3)$, Asymptote $y = 0$, Definitionsbereich alle reellen Zahlen, Wertebereich $y > 0$

Answer: Der Graph geht durch $(-2; 0{,}75)$, $(-1; 1{,}5)$, $(0, 3)$, $(1, 6)$, $(2, 12)$, $(3, 24)$. Er steigt von links nach rechts, schneidet die y-Achse in $(0, 3)$, nähert sich links der Asymptote $y = 0$, hat den Definitionsbereich alle reellen Zahlen und den Wertebereich $y > 0$.

Eine fallende Kurve: Basis zwischen 0 und 1

Zeichne $y = 8 \cdot (0{,}5)^x$ für $x = -2$ bis $x = 3$ und vergleiche den Graphen mit dem von $y = 8 \cdot 2^x$.

Berechne die Werte: $8 \cdot (0{,}5)^{-2} = 8 \cdot 4 = 32$, $8 \cdot (0{,}5)^{-1} = 16$, $8 \cdot (0{,}5)^0 = 8$, $8 \cdot (0{,}5)^1 = 4$, $8 \cdot (0{,}5)^2 = 2$, $8 \cdot (0{,}5)^3 = 1$ = Punkte $(-2, 32)$, $(-1, 16)$, $(0, 8)$, $(1, 4)$, $(2, 2)$, $(3, 1)$

Beschreibe die Form: Jeder Schritt nach rechts halbiert $y$, also fällt die Kurve und wird rechts zur x-Achse hin flach = Fallende Kurve, Asymptote $y = 0$

Vergleiche mit $y = 8 \cdot 2^x$: $(0{,}5)^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$, also $8 \cdot (0{,}5)^x = 8 \cdot 2^{-x}$: der Wert an der Stelle $x$ ist der Wert von $8 \cdot 2^x$ an der Stelle $-x$ = Die beiden Graphen sind Spiegelbilder an der y-Achse

Answer: Der Graph fällt von $(-2, 32)$ über $(0, 8)$ bis $(3, 1)$ und nähert sich rechts $y = 0$. Er ist das Spiegelbild von $y = 8 \cdot 2^x$ an der y-Achse; beide haben den y-Achsenabschnitt $(0, 8)$, die Asymptote $y = 0$ und den Wertebereich $y > 0$.

Einen Graphen nach rechts und oben verschieben

Skizziere $y = 2^{x-1} + 3$. Bestimme die Asymptote, den y-Achsenabschnitt, den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Erkenne die Transformation: Vergleiche mit $y = a \cdot b^{x-h} + k$: $a = 1$, $b = 2$, $h = 1$, $k = 3$ = Verschiebe $y = 2^x$ um 1 nach rechts und 3 nach oben

Verschiebe drei Punkte von $y = 2^x$: $(0, 1) \to (1, 4)$, $(1, 2) \to (2, 5)$, $(2, 4) \to (3, 7)$: addiere 1 zu jedem $x$ und 3 zu jedem $y$ = Punkte $(1, 4)$, $(2, 5)$, $(3, 7)$

Verschiebe die Asymptote: Die Asymptote $y = 0$ wandert 3 Einheiten nach oben; die Verschiebung nach rechts ändert sie nicht = Asymptote $y = 3$

Bestimme den y-Achsenabschnitt: Setze $x = 0$ ein: $2^{0-1} + 3 = 0{,}5 + 3 = 3{,}5$ = y-Achsenabschnitt $(0; 3{,}5)$

Gib Definitions- und Wertebereich an: $a > 0$, also bleibt der Graph über $y = 3$ = Definitionsbereich alle reellen Zahlen, Wertebereich $y > 3$

Answer: Der Graph ist $y = 2^x$, um 1 nach rechts und 3 nach oben verschoben: Er geht durch $(0; 3{,}5)$, $(1, 4)$, $(2, 5)$ und $(3, 7)$, hat die Asymptote $y = 3$, den Definitionsbereich alle reellen Zahlen und den Wertebereich $y > 3$.

Ein gespiegelter Graph unter seiner Asymptote

Lege eine Wertetabelle für $y = -2^x + 4$ von $x = -2$ bis $x = 3$ an. Beschreibe den Graphen und bestimme, wo er die x-Achse schneidet.

Lies den Term richtig: $-2^x$ bedeutet $-(2^x)$: erst $2^x$ berechnen, dann das Vorzeichen umdrehen. Also $a = -1$, $b = 2$, $k = 4$ = Spiegelung von $y = 2^x$ an der x-Achse, dann 4 nach oben

Berechne die Werte: $x = -2$: $-0{,}25 + 4 = 3{,}75$; $x = -1$: $-0{,}5 + 4 = 3{,}5$; $x = 0$: $-1 + 4 = 3$; $x = 1$: $-2 + 4 = 2$; $x = 2$: $-4 + 4 = 0$; $x = 3$: $-8 + 4 = -4$ = Punkte $(-2; 3{,}75)$, $(-1; 3{,}5)$, $(0, 3)$, $(1, 2)$, $(2, 0)$, $(3, -4)$

Bestimme Asymptote und Wertebereich: Weit links kommt $2^x$ der 0 sehr nahe, also kommt $y$ von unten der 4 sehr nahe = Asymptote $y = 4$, Wertebereich $y < 4$

Bestimme die Nullstelle: $-2^x + 4 = 0 \Rightarrow 2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2$ = Schnittpunkt mit der x-Achse $(2, 0)$

Answer: Der Graph fällt von knapp unter $y = 4$ auf der linken Seite über $(0, 3)$ und $(2, 0)$ und stürzt steil bis $(3, -4)$ ab. Asymptote $y = 4$, Definitionsbereich alle reellen Zahlen, Wertebereich $y < 4$, Schnittpunkt mit der x-Achse $(2, 0)$, y-Achsenabschnitt $(0, 3)$.

Die Gleichung aus zwei Punkten bestimmen

Der Graph von $y = a \cdot b^x$ geht durch $(1, 6)$ und $(3, 24)$. Bestimme $a$ und $b$ und dann den y-Achsenabschnitt.

Stelle für jeden Punkt eine Gleichung auf: $a \cdot b^1 = 6$ und $a \cdot b^3 = 24$ = Zwei Gleichungen mit $a$ und $b$

Teile die zweite Gleichung durch die erste: $\frac{a \cdot b^3}{a \cdot b} = \frac{24}{6} \Rightarrow b^2 = 4$ = $b = 2$ (die Basis muss positiv sein)

Setze $b$ ein, um $a$ zu finden: $a \cdot 2 = 6 \Rightarrow a = 3$ = $a = 3$

Schreibe die Gleichung auf und mache die Probe: $y = 3 \cdot 2^x$; Probe mit $(3, 24)$: $3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$ = y-Achsenabschnitt $(0, 3)$

Answer: $y = 3 \cdot 2^x$, also $a = 3$, $b = 2$, und der y-Achsenabschnitt ist $(0, 3)$. Mit den Punkten $(0, 3)$ und $(1, 6)$ geht es noch schneller: $a$ ist der y-Wert bei $x = 0$, und $b = 6 : 3 = 2$.

Mistake: Die Asymptote nach einer Verschiebung nach oben bei $y = 0$ lassen, zum Beispiel bei $y = 2^x + 3$

Why: Wenn du $k$ addierst, wandert jeder Punkt um $k$ nach oben, auch die Höhe, der sich die Kurve nähert. Der Graph von $y = 2^x + 3$ kommt nie unter 3.

Correct: Für $y = a \cdot b^{x-h} + k$ ist die Asymptote $y = k$. Für $y = 2^x + 3$ ist sie $y = 3$, und der Wertebereich ist $y > 3$.

Mistake: In die falsche Richtung verschieben: glauben, dass $y = 2^{x-3}$ den Graphen um 3 nach links verschiebt

Why: Bei $x - 3$ brauchst du ein größeres $x$, um denselben Exponenten wie vorher zu erhalten. Der Punkt $(0, 1)$ von $y = 2^x$ liegt jetzt bei $(3, 1)$.

Correct: $x - h$ verschiebt um $h$ nach rechts, $x + h$ um $h$ nach links. $y = 2^{x-3}$ wandert 3 nach rechts, $y = 2^{x+3}$ wandert 3 nach links.

Mistake: Den y-Achsenabschnitt als $a$ (oder $a + k$) ablesen, obwohl der Graph auch seitlich verschoben ist

Why: Der y-Achsenabschnitt ist nur bei $y = a \cdot b^x$ gleich $(0, a)$. Nach einer seitlichen Verschiebung ist der Exponent bei $x = 0$ nicht mehr 0.

Correct: Setze immer $x = 0$ ein. Für $y = 2^{x-1} + 3$: $2^{-1} + 3 = 3{,}5$, nicht 1 und nicht 4.

Mistake: $-2^x$ wie $(-2)^x$ behandeln

Why: Potenzen werden vor dem Minuszeichen berechnet, also gilt $-2^x = -(2^x)$. Die Basis ist 2, nicht $-2$, und $(-2)^x$ ist nicht einmal eine Exponentialfunktion.

Correct: $-2^x$ ist der Graph von $2^x$, an der x-Achse gespiegelt: Bei $x = 2$ ergibt sich $-4$, während $(-2)^2 = 4$ ist.

Labordaten im Graphen ablesen

Biologen tragen Zellzahlen gegen die Zeit auf. Liegen die Punkte auf einer exponentiellen Kurve, reichen zwei Messungen, um das Modell aufzustellen und spätere Zahlen vorherzusagen.

Eine Kultur mit 100 Zellen am Anfang und 200 Zellen eine Stunde später folgt $y = 100 \cdot 2^x$, also liegt die Kurve nach 4 Stunden bei $100 \cdot 16 = 1600$ Zellen.

Videoaufrufe mit Grundwert

Manche Größen haben einen exponentiell wachsenden Anteil auf einem konstanten Anteil. Der konstante Anteil ist die Verschiebung $k$ nach oben, und im Graphen ist er die Asymptote.

Ein Video bekommt jeden Tag gleichbleibend 100 Aufrufe über die Suche und dazu einen geteilten Anteil, der sich täglich verdoppelt: $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$. Geht man in der Zeit zurück, schrumpft der geteilte Anteil gegen 0, also nähert sich der Graph $V = 100$.

Papier falten

Jedes Falten verdoppelt die Dicke eines Blattes, also ist die Dicke nach $n$ Faltungen eine Exponentialfunktion, deren Graph immer schneller ansteigt.

Ein 0,1 mm dickes Blatt hat die Dicke $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm. Nach 7 Faltungen sind das $0{,}1 \cdot 128 = 12{,}8$ mm.

Q: Berührt ein exponentieller Graph jemals seine Asymptote?

A: Nein. Bei $y = a \cdot b^x + k$ ist der Term $a \cdot b^x$ nie 0, also ist $y$ nie gleich $k$. Die Kurve kommt beliebig nahe heran, deshalb ist der Wertebereich $y > k$ oder $y < k$ und enthält $k$ nie.

Q: Wie viele Punkte brauche ich für eine Skizze?

A: Vier oder fünf genügen: der y-Achsenabschnitt, ein oder zwei Punkte auf jeder Seite und die Asymptote. Eine Wertetabelle von $x = -2$ bis $x = 3$ zeigt sowohl die flache als auch die steile Seite.

Q: Warum sehen $y = 2^x$ und $y = (0{,}5)^x$ wie Spiegelbilder aus?

A: Weil $(0{,}5)^x = 2^{-x}$ ist. Der Wert von $(0{,}5)^x$ bei $x = 3$ ist gleich dem Wert von $2^x$ bei $x = -3$, also hat jeder Punkt $(x, y)$ des einen Graphen den Partner $(-x, y)$ auf dem anderen.

Q: Ändert eine Verschiebung nach links oder rechts die Asymptote?

A: Nein. Eine seitliche Verschiebung schiebt die Kurve an der Asymptote entlang, die also bei $y = k$ bleibt. Nur die Verschiebung $k$ nach oben oder unten bewegt die Asymptote. Den y-Achsenabschnitt verändert eine seitliche Verschiebung allerdings schon.