Wie viele Punkte brauche ich für eine Skizze?

Vier oder fünf genügen: der y-Achsenabschnitt, ein oder zwei Punkte auf jeder Seite und die Asymptote. Eine Wertetabelle von $x = -2$ bis $x = 3$ zeigt sowohl die flache als auch die steile Seite.

Warum sehen $y = 2^x$ und $y = (0{,}5)^x$ wie Spiegelbilder aus?

Weil $(0{,}5)^x = 2^{-x}$ ist. Der Wert von $(0{,}5)^x$ bei $x = 3$ ist gleich dem Wert von $2^x$ bei $x = -3$, also hat jeder Punkt $(x, y)$ des einen Graphen den Partner $(-x, y)$ auf dem anderen.

Ändert eine Verschiebung nach links oder rechts die Asymptote?

Nein. Eine seitliche Verschiebung schiebt die Kurve an der Asymptote entlang, die also bei $y = k$ bleibt. Nur die Verschiebung $k$ nach oben oder unten bewegt die Asymptote. Den y-Achsenabschnitt verändert eine seitliche Verschiebung allerdings schon.

Lehrermaterialien

Exponentialfunktionen zeichnen

Q: Berührt ein exponentieller Graph jemals seine Asymptote?

Nein. Bei $y = a \cdot b^x + k$ ist der Term $a \cdot b^x$ nie 0, also ist $y$ nie gleich $k$. Die Kurve kommt beliebig nahe heran, deshalb ist der Wertebereich $y > k$ oder $y < k$ und enthält $k$ nie.

Zeichne y = a·b^x mit einer Wertetabelle, lies Achsenabschnitt und Asymptote ab und sieh, wie Verschiebungen, Spiegelungen und Streckungen den Graphen verändern.

Fortgeschritten30 MinLektion

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Definition

Um eine Exponentialfunktion

f(x) = a \cdot b^x

(mit

b > 0

und

b \neq 1

) zu zeichnen, legst du eine Wertetabelle an, trägst die Punkte ein und verbindest sie mit einer glatten Kurve, die sich einer waagerechten Asymptote nähert.

Die zwei Grundformen (hier mit

a = 1

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2^x$	$0{,}25$	$0{,}5$	$1$	$2$	$4$	$8$
$(0{,}5)^x$	$4$	$2$	$1$	$0{,}5$	$0{,}25$	$0{,}125$

Ist $b > 1$ , steigt der Graph von links nach rechts: links fast flach an der x-Achse, rechts immer steiler.
Ist $0 < b < 1$ , fällt der Graph von links nach rechts: links steil, rechts fast flach an der x-Achse.

**Wichtige Eigenschaften von

y = a \cdot b^x

:**

y-Achsenabschnitt: $(0, a)$ , weil $b^0 = 1$
Waagerechte Asymptote: $y = 0$ (die x-Achse); die Kurve kommt ihr immer näher, berührt sie aber nie
Definitionsbereich: alle reellen Zahlen
Wertebereich: $y > 0$ für $a > 0$ und $y < 0$ für $a < 0$

Transformationen:

y = a \cdot b^{x-h} + k

$h$ verschiebt den Graphen um $h$ Einheiten nach rechts (nach links, wenn $h$ negativ ist)
$k$ verschiebt den Graphen um $k$ Einheiten nach oben (nach unten, wenn $k$ negativ ist) und verschiebt die Asymptote nach $y = k$
$a < 0$ spiegelt den Graphen an der x-Achse (vor der Verschiebung), sodass er unterhalb seiner Asymptote liegt
ein Faktor $a$ mit $\lvert a \rvert > 1$ streckt den Graphen in y-Richtung, $0 < \lvert a \rvert < 1$ staucht ihn
Wertebereich des verschobenen Graphen: $y > k$ für $a > 0$ und $y < k$ für $a < 0$

Probier es gleich aus

Wie lautet die waagerechte Asymptote von

y = 2^x - 7

? Gib die Zahl

k

y = k

ein.

Lösungsbeispiele

Zeichne $y = 3 \cdot 2^x$ für $x = -2$ bis $x = 3$ . Gib den y-Achsenabschnitt, die Asymptote, den Definitionsbereich und den Wertebereich an.

Berechne die Werte für negative $x$

$3 \cdot 2^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}75$ und $3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1{,}5$ → Punkte $(-2; 0{,}75)$ und $(-1; 1{,}5)$

Berechne die Werte für $x = 0$ bis $3$

$3 \cdot 2^0 = 3$ , $3 \cdot 2^1 = 6$ , $3 \cdot 2^2 = 12$ , $3 \cdot 2^3 = 24$ → Punkte $(0, 3)$ , $(1, 6)$ , $(2, 12)$ , $(3, 24)$

Trage die Punkte ein und verbinde sie

Jeder Schritt nach rechts verdoppelt $y$ ; jeder Schritt nach links halbiert es → Eine steigende Kurve, links flach und rechts steil

Lies die wichtigen Eigenschaften ab

$a = 3$ liefert den y-Achsenabschnitt; es wird nichts addiert, also $k = 0$ → y-Achsenabschnitt $(0, 3)$ , Asymptote $y = 0$ , Definitionsbereich alle reellen Zahlen, Wertebereich $y > 0$

Antwort: Der Graph geht durch $(-2; 0{,}75)$ , $(-1; 1{,}5)$ , $(0, 3)$ , $(1, 6)$ , $(2, 12)$ , $(3, 24)$ . Er steigt von links nach rechts, schneidet die y-Achse in $(0, 3)$ , nähert sich links der Asymptote $y = 0$ , hat den Definitionsbereich alle reellen Zahlen und den Wertebereich $y > 0$ .

Häufige Fehler

Die Asymptote nach einer Verschiebung nach oben bei $y = 0$ lassen, zum Beispiel bei $y = 2^x + 3$

Warum es falsch ist: Wenn du $k$ addierst, wandert jeder Punkt um $k$ nach oben, auch die Höhe, der sich die Kurve nähert. Der Graph von $y = 2^x + 3$ kommt nie unter 3.

Richtig: Für $y = a \cdot b^{x-h} + k$ ist die Asymptote $y = k$ . Für $y = 2^x + 3$ ist sie $y = 3$ , und der Wertebereich ist $y > 3$ .

In die falsche Richtung verschieben: glauben, dass $y = 2^{x-3}$ den Graphen um 3 nach links verschiebt

Warum es falsch ist: Bei $x - 3$ brauchst du ein größeres $x$ , um denselben Exponenten wie vorher zu erhalten. Der Punkt $(0, 1)$ von $y = 2^x$ liegt jetzt bei $(3, 1)$ .

Richtig: $x - h$ verschiebt um $h$ nach rechts, $x + h$ um $h$ nach links. $y = 2^{x-3}$ wandert 3 nach rechts, $y = 2^{x+3}$ wandert 3 nach links.

Den y-Achsenabschnitt als $a$ (oder $a + k$ ) ablesen, obwohl der Graph auch seitlich verschoben ist

Warum es falsch ist: Der y-Achsenabschnitt ist nur bei $y = a \cdot b^x$ gleich $(0, a)$ . Nach einer seitlichen Verschiebung ist der Exponent bei $x = 0$ nicht mehr 0.

Richtig: Setze immer $x = 0$ ein. Für $y = 2^{x-1} + 3$ : $2^{-1} + 3 = 3{,}5$ , nicht 1 und nicht 4.

$-2^x$ wie $(-2)^x$ behandeln

Warum es falsch ist: Potenzen werden vor dem Minuszeichen berechnet, also gilt $-2^x = -(2^x)$ . Die Basis ist 2, nicht $-2$ , und $(-2)^x$ ist nicht einmal eine Exponentialfunktion.

Richtig: $-2^x$ ist der Graph von $2^x$ , an der x-Achse gespiegelt: Bei $x = 2$ ergibt sich $-4$ , während $(-2)^2 = 4$ ist.

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

a = 3b = 2h = 0k = 0

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

y = a·b^(x − h) + kAsymptote

Wertetabelle

x	-2	-1	0	1	2	3
y	0,75	1,5	3	6	12	24

Funktionsgraph

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Tippe auf einen Namen, um den Graphen ein- oder auszublenden.

Asymptote

Wertetabelle

x	-2	-1	0	1	2	3
2^x	0,25	0,5	1	2	4	8
0,5^x	4	2	1	0,5	0,25	0,125

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

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Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Wo schneidet der Graph von $y = 5 \cdot 3^x$ die y-Achse?

Warum es wichtig ist

Ein Graph zeigt auf einen Blick, was eine Formel versteckt. Wenn du einen exponentiellen Graphen skizzieren kannst, kannst du:

Exponentielle Daten erkennen: Wenn ein Diagramm von Followern, Zellen oder Ersparnissen immer schneller nach oben biegt, zeigt dir eine Wertetabelle, ob wirklich bei jedem Schritt mit demselben Faktor multipliziert wird.
Startwert und Untergrenze ablesen: Der y-Achsenabschnitt ist der Startwert, und die Asymptote $y = k$ ist die Höhe, der sich die Größe nähert, die sie aber nie überschreitet, zum Beispiel ein Grundwert, der immer vorhanden ist.
Ein Modell schnell prüfen: Eine Skizze zeigt sofort, ob eine Formel steigt oder fällt, wo sie die Achsen schneidet und welche Werte unmöglich sind (außerhalb des Wertebereichs).
Ein Modell aus Daten aufstellen: Zwei Punkte wie $(0, 3)$ und $(1, 6)$ reichen, um $a$ und $b$ zu bestimmen und die nächsten Werte vorherzusagen.

Diese Fähigkeiten brauchst du später in diesem Thema wieder: bei exponentieller Abnahme, Halbwertszeit, stetigem Wachstum und Exponentialgleichungen, und danach bei Logarithmen.

Anwendungen im echten Leben

Labordaten im Graphen ablesen

Biologen tragen Zellzahlen gegen die Zeit auf. Liegen die Punkte auf einer exponentiellen Kurve, reichen zwei Messungen, um das Modell aufzustellen und spätere Zahlen vorherzusagen.

Beispiel:

Eine Kultur mit 100 Zellen am Anfang und 200 Zellen eine Stunde später folgt $y = 100 \cdot 2^x$ , also liegt die Kurve nach 4 Stunden bei $100 \cdot 16 = 1600$ Zellen.

1Probiere es selbst

Eine Zellkultur hat 200 Zellen bei $x = 0$ Stunden und 600 Zellen bei $x = 1$ Stunde, und der Graph ist exponentiell: $y = a \cdot b^x$ .

Wie viele Zellen sagt das Modell bei $x = 3$ Stunden voraus?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Bestimme $a$ und $b$ und berechne dann $a \cdot b^3$ :

Videoaufrufe mit Grundwert

Manche Größen haben einen exponentiell wachsenden Anteil auf einem konstanten Anteil. Der konstante Anteil ist die Verschiebung $k$ nach oben, und im Graphen ist er die Asymptote.

Beispiel:

Ein Video bekommt jeden Tag gleichbleibend 100 Aufrufe über die Suche und dazu einen geteilten Anteil, der sich täglich verdoppelt: $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$ . Geht man in der Zeit zurück, schrumpft der geteilte Anteil gegen 0, also nähert sich der Graph $V = 100$ .

2Probiere es selbst

Die täglichen Aufrufe folgen $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$ , wobei $t$ die Anzahl der Tage seit dem Teilen des Videos ist.

Wie viele Aufrufe hat das Video am Tag $t = 4$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $25 \cdot 2^4 + 100$ :

Papier falten

Jedes Falten verdoppelt die Dicke eines Blattes, also ist die Dicke nach $n$ Faltungen eine Exponentialfunktion, deren Graph immer schneller ansteigt.

Beispiel:

Ein 0,1 mm dickes Blatt hat die Dicke $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm. Nach 7 Faltungen sind das $0{,}1 \cdot 128 = 12{,}8$ mm.

3Probiere es selbst

Ein Blatt Papier ist 0,1 mm dick, und seine Dicke nach $n$ Faltungen ist $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm.

Nach wie vielen Faltungen ist der Stapel zum ersten Mal dicker als 1 mm?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Lege eine Wertetabelle für $0{,}1 \cdot 2^n$ an und suche den ersten Wert über 1:

Wichtige Erkenntnisse

1Um $y = a \cdot b^x$ zu zeichnen, legst du eine Wertetabelle an (zum Beispiel $x = -2$ bis $3$ ), trägst die Punkte ein und verbindest sie mit einer glatten Kurve
2Für $b > 1$ steigt der Graph von links nach rechts, für $0 < b < 1$ fällt er; $y = b^x$ und $y = (1/b)^x$ sind Spiegelbilder an der y-Achse
3Für $y = a \cdot b^x$ gilt: y-Achsenabschnitt $(0, a)$ , Asymptote $y = 0$ , Definitionsbereich alle reellen Zahlen, Wertebereich $y > 0$ für $a > 0$
4Bei $y = a \cdot b^{x-h} + k$ verschiebt $h$ nach rechts, $k$ nach oben und legt die Asymptote auf $y = k$ , und $a < 0$ legt den Graphen unter die Asymptote
5Nach einer Verschiebung findest du den y-Achsenabschnitt, indem du $x = 0$ einsetzt; der Wertebereich ist $y > k$ oder $y < k$
6Zwei Punkte liefern die Gleichung: $a$ ist der Wert bei $x = 0$ , und der Quotient der y-Werte ergibt eine Potenz von $b$

Häufig gestellte Fragen

Nein. Bei

y = a \cdot b^x + k

ist der Term

a \cdot b^x

nie 0, also ist

y

nie gleich

k

. Die Kurve kommt beliebig nahe heran, deshalb ist der Wertebereich

y > k

oder

y < k

und enthält

k

nie.

Glossar

Wertetabelle: Eine Liste gewählter $x$ -Werte mit den zugehörigen $y$ -Werten, mit der man Punkte eines Graphen einträgt
Waagerechte Asymptote: Eine waagerechte Gerade $y = k$ , der sich der Graph immer weiter nähert, die er aber nie erreicht
y-Achsenabschnitt: Der Punkt, in dem der Graph die y-Achse schneidet; man findet ihn, indem man $x = 0$ einsetzt
Definitionsbereich: Alle $x$ -Werte, für die eine Funktion definiert ist; bei jeder Exponentialfunktion sind das alle reellen Zahlen
Wertebereich: Alle $y$ -Werte, die die Funktion erreicht; für $y = a \cdot b^x + k$ ist das $y > k$ (für $a > 0$ ) oder $y < k$ (für $a < 0$ )
Transformation: Eine Verschiebung, Spiegelung oder Streckung, die einen Graphen bewegt oder umformt, beschrieben durch $h$ , $k$ und $a$ in $y = a \cdot b^{x-h} + k$

Formelkarte

Exponentialfunktion

y = a \cdot b^x

y-Achsenabschnitt $(0, a)$, Asymptote $y = 0$, steigend für $b > 1$, fallend für $0 < b < 1$

Verschobene Form

y = a \cdot b^{x-h} + k

Um $h$ nach rechts, um $k$ nach oben; Asymptote $y = k$; Wertebereich $y > k$ für $a > 0$, $y < k$ für $a < 0$

Spiegelbild

(1/b)^x = b^{-x}

Die Graphen von $b^x$ und $(1/b)^x$ sind zueinander an der y-Achse gespiegelt

Basis aus zwei Punkten

b^{x_2 - x_1} = \frac{y_2}{y_1}

Teile die y-Werte zweier Punkte von $y = a \cdot b^x$, um eine Potenz von $b$ zu erhalten

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