Halbwertszeiten zählen

Eine Laborprobe enthält $80$ mg eines Stoffes mit einer Halbwertszeit von $4$ Stunden. Wie viel ist nach $12$ Stunden übrig?

Bestimme die Anzahl der Halbwertszeiten: $\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ = 3 Halbwertszeiten

Stelle die Formel auf: $N(12) = 80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ = Formel aufgestellt

Berechne die Potenz: $\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}$ = $\frac{1}{8}$ der Probe ist übrig

Multipliziere: $80 \times \frac{1}{8} = 10$ (oder dreimal halbieren: $80 \to 40 \to 20 \to 10$) = $10$ mg

Answer: Nach 12 Stunden sind noch **10 mg** des Stoffes übrig.

Iod-131 im Krankenhaus

Iod-131 hat eine Halbwertszeit von $8$ Tagen. Ein Krankenhaus hat $200$ mg davon. Wie viel ist nach $40$ Tagen übrig, und wie viel Prozent sind das?

Bestimme die Anzahl der Halbwertszeiten: $\frac{40}{8} = 5$ = 5 Halbwertszeiten

Bestimme den übrigen Anteil: $\left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$ = $\frac{1}{32}$

Berechne die Menge: $200 \times \frac{1}{32} = 6{,}25$ = $6{,}25$ mg

Schreibe es als Prozentsatz: $\frac{1}{32} = 0{,}03125 = 3{,}125\,\%$ = $3{,}125\,\%$

Answer: Nach 40 Tagen sind noch **6,25 mg** übrig, das sind **3,125 %** der Anfangsmenge.

Wie alt ist der Knochen? (Kohlenstoff-14)

Ein Knochen enthält $\frac{1}{8}$ des Kohlenstoffs-14, den er hatte, als das Tier lebte. Die Halbwertszeit von Kohlenstoff-14 beträgt $5730$ Jahre. Wie alt ist der Knochen?

Schreibe den Bruch als Potenz von $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ = $n = 3$

Deute den Exponenten: Der Exponent ist die Anzahl der Halbwertszeiten: $\frac{t}{5730} = 3$ = 3 Halbwertszeiten sind vergangen

Berechne die Zeit: $t = 3 \times 5730 = 17190$ = $17190$ Jahre

Answer: Der Knochen ist etwa **17190 Jahre** alt.

Die Halbwertszeit aus Messwerten bestimmen

Eine Probe von $96$ g zerfällt in $15$ Stunden auf $12$ g. Wie groß ist ihre Halbwertszeit?

Bestimme, wie viel Mal kleiner die Probe ist: $\frac{96}{12} = 8$ = Die Probe ist 8-mal kleiner

Schreibe 8 als Potenz von 2: $8 = 2^3$, also $96 \to 48 \to 24 \to 12$ = 3 Halbwertszeiten

Teile die Zeit durch die Anzahl der Halbwertszeiten: $T = \frac{15}{3} = 5$ = $T = 5$ Stunden

Mache die Probe: $96 \left(\frac{1}{2}\right)^{15/5} = 96 \times \frac{1}{8} = 12$ ✓ = Stimmt

Answer: Die Halbwertszeit beträgt **5 Stunden**.

Ein Medikament zwischen zwei Halbwertszeiten

Ein Patient nimmt $400$ mg eines Medikaments mit einer Halbwertszeit von $6$ Stunden. Wie viel ist nach $9$ Stunden noch im Blut? Verwende $\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536$ und runde auf eine Nachkommastelle.

Bestimme die Anzahl der Halbwertszeiten: $\frac{9}{6} = 1{,}5$ = 1,5 Halbwertszeiten (keine ganze Zahl)

Stelle die Formel auf: $N(9) = 400 \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5}$ = Formel aufgestellt

Verwende die gegebene Potenz: $400 \times 0{,}3536 = 141{,}44$ = $\approx 141{,}4$ mg

Prüfe, ob das Ergebnis sinnvoll ist: Nach 6 Stunden sind es $200$ mg, nach 12 Stunden $100$ mg. $141{,}4$ liegt dazwischen ✓ = Plausibel

Answer: Nach 9 Stunden sind noch etwa **141,4 mg** des Medikaments im Blut.

Mistake: Für jede Stunde (jeden Tag, jedes Jahr) halbieren statt einmal pro Halbwertszeit

Why: Bei einer Halbwertszeit von 4 Stunden rechnen manche nach 12 Stunden $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{12}$. Die Menge halbiert sich aber nur alle 4 Stunden, nicht jede Stunde.

Correct: Der Exponent ist die Anzahl der Halbwertszeiten $\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$, also ist das Ergebnis $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 10$.

Mistake: Pro Halbwertszeit die Hälfte der ANFANGSmenge abziehen

Why: Wer $100 \to 50 \to 0$ rechnet, behandelt den Zerfall wie eine lineare Abnahme. Jede Halbwertszeit nimmt die Hälfte dessen weg, was JETZT noch da ist, nicht die Hälfte der Anfangsmenge.

Correct: Halbiere jedes Mal die aktuelle Menge: $100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5$. Eine Probe erreicht nie genau null.

Mistake: Den Nenner als Anzahl der Halbwertszeiten nehmen

Why: Wenn $\frac{1}{8}$ übrig ist, sagen manche, es seien 8 Halbwertszeiten vergangen. Nach 8 Halbwertszeiten wäre aber nur $\frac{1}{256}$ übrig.

Correct: Schreibe den Nenner als Potenz von 2: $8 = 2^3$, also sind 3 Halbwertszeiten vergangen.

Mistake: Übrigen Anteil und zerfallenen Anteil verwechseln

Why: Nach 3 Halbwertszeiten ist $\frac{1}{8}$ übrig, also sind $\frac{7}{8}$ zerfallen. Die Frage kann nach beidem fragen.

Correct: Lies die Frage genau: zerfallener Anteil $= 1 -$ übriger Anteil. Nach 3 Halbwertszeiten: $12{,}5\,\%$ übrig, $87{,}5\,\%$ zerfallen.

Radiokarbonmethode (C-14-Datierung)

Lebewesen nehmen Kohlenstoff-14 auf. Nach dem Tod zerfällt er mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren, deshalb verrät der übrige Anteil das Alter von Knochen, Holz und Holzkohle.

Ein Stück Holz mit $\frac{1}{4}$ seines ursprünglichen Kohlenstoffs-14 ist $2 \times 5730 = 11460$ Jahre alt.

Medikamente im Blut

Ärzte nutzen die Halbwertszeit eines Medikaments, um festzulegen, wann die nächste Dosis kommt, damit die Menge im Körper sicher und wirksam bleibt.

Von einer Dosis von $400$ mg mit einer Halbwertszeit von $6$ Stunden sind nach $12$ Stunden noch $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{12/6} = 100$ mg übrig.

Behandlung mit Iod-131

Iod-131 wird bei Schilddrüsenerkrankungen eingesetzt. Seine Halbwertszeit von 8 Tagen zeigt dem Krankenhaus, wie schnell die Strahlung sinkt und wann Reste sicher gelagert oder entsorgt werden können.

Aus $100$ mg Iod-131 werden nach $16$ Tagen $100 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/8} = 25$ mg.

Q: Verschwindet ein Stoff irgendwann ganz?

A: Mathematisch nicht: $\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ ist nie null. In der Praxis ist nach etwa 10 Halbwertszeiten weniger als $0{,}1\,\%$ übrig ($\frac{1}{1024}$), und das gilt meist als verschwunden.

Q: Warum ist der Exponent $\frac{t}{T}$ und nicht einfach $t$?

A: Der Faktor $\frac{1}{2}$ wirkt einmal pro Halbwertszeit, nicht einmal pro Zeiteinheit. Wenn du die Zeit $t$ durch die Halbwertszeit $T$ teilst, zählst du, wie viele Halbwertszeiten vergangen sind.

Q: Was ist, wenn die Zeit keine ganze Zahl von Halbwertszeiten ist?

A: Die Formel funktioniert trotzdem, zum Beispiel $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5}$. Nutze einen Taschenrechner (tippe 400 × 0.5^1.5) oder einen gegebenen Wert wie $\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536$. Eine unbekannte Zeit in so einem Fall zu bestimmen, braucht Logarithmen, die in einer späteren Lektion kommen.

Q: Wie hängt die Halbwertszeit mit der Abnahmerate bei exponentieller Abnahme zusammen?

A: In der Lektion Exponentielle Abnahme wird eine Menge pro Zeiteinheit mit $b = 1 - r$ multipliziert. Die Halbwertszeit nutzt dieselbe Idee, wählt die Zeiteinheit aber so, dass der Faktor genau $\frac{1}{2}$ ist. Das macht das Kopfrechnen viel leichter.