Warum ist der Exponent $\frac{t}{T}$ und nicht einfach $t$?

Der Faktor $\frac{1}{2}$ wirkt einmal pro Halbwertszeit, nicht einmal pro Zeiteinheit. Wenn du die Zeit $t$ durch die Halbwertszeit $T$ teilst, zählst du, wie viele Halbwertszeiten vergangen sind.

Was ist, wenn die Zeit keine ganze Zahl von Halbwertszeiten ist?

Die Formel funktioniert trotzdem, zum Beispiel $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5}$. Nutze einen Taschenrechner (tippe 400 × 0.5^1.5) oder einen gegebenen Wert wie $\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536$. Eine unbekannte Zeit in so einem Fall zu bestimmen, braucht Logarithmen, die in einer späteren Lektion kommen.

Wie hängt die Halbwertszeit mit der Abnahmerate bei exponentieller Abnahme zusammen?

In der Lektion Exponentielle Abnahme wird eine Menge pro Zeiteinheit mit $b = 1 - r$ multipliziert. Die Halbwertszeit nutzt dieselbe Idee, wählt die Zeiteinheit aber so, dass der Faktor genau $\frac{1}{2}$ ist. Das macht das Kopfrechnen viel leichter.

Lehrermaterialien

Aufgaben zur Halbwertszeit

Q: Verschwindet ein Stoff irgendwann ganz?

Mathematisch nicht: $\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ ist nie null. In der Praxis ist nach etwa 10 Halbwertszeiten weniger als $0{,}1\,\%$ übrig ($\frac{1}{1024}$), und das gilt meist als verschwunden.

Lerne, mit der Halbwertszeit zu berechnen, wie viel von einem Stoff übrig ist, wie viel Zeit vergangen ist und wie lang eine Halbwertszeit ist.

Fortgeschritten25 MinLektion

Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Die Halbwertszeit

T

eines Stoffes ist die Zeit, in der die Hälfte davon verschwindet (zerfällt, abgebaut wird oder den Körper verlässt). Nach jeder Halbwertszeit wird die Menge mit

\frac{1}{2}

multipliziert.

Ist

N_0

die Anfangsmenge, dann ist die Menge nach der Zeit

t

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

Dabei gilt:

$N_0$ = Anfangswert (bei $t = 0$ )
$T$ = Halbwertszeit (gleiche Zeiteinheit wie $t$ )
$\frac{t}{T}$ = die Anzahl der Halbwertszeiten, die vergangen sind

Nach

n

ganzen Halbwertszeiten ist noch

\frac{N_0}{2^n}

übrig:

Halbwertszeiten	0	1	2	3	4	5
Anteil übrig	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{32}$
Prozent übrig	$100\,\%$	$50\,\%$	$25\,\%$	$12{,}5\,\%$	$6{,}25\,\%$	$3{,}125\,\%$

Das ist exponentielle Abnahme mit dem Zerfallsfaktor

\frac{1}{2}

pro Halbwertszeit: Die Menge wird immer kleiner, erreicht aber nie genau null.

Probier es gleich aus

Ein Stoff hat eine Halbwertszeit von

10

Jahren. Welcher Anteil ist nach

2

Halbwertszeiten noch übrig?

Lösungsbeispiele

Eine Laborprobe enthält $80$ mg eines Stoffes mit einer Halbwertszeit von $4$ Stunden. Wie viel ist nach $12$ Stunden übrig?

Bestimme die Anzahl der Halbwertszeiten

$\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ → 3 Halbwertszeiten

Stelle die Formel auf

$N(12) = 80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ → Formel aufgestellt

Berechne die Potenz

$\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}$ → $\frac{1}{8}$ der Probe ist übrig

Multipliziere

$80 \times \frac{1}{8} = 10$ (oder dreimal halbieren: $80 \to 40 \to 20 \to 10$ ) → $10$ mg

Antwort: Nach 12 Stunden sind noch 10 mg des Stoffes übrig.

Häufige Fehler

Für jede Stunde (jeden Tag, jedes Jahr) halbieren statt einmal pro Halbwertszeit

Warum es falsch ist: Bei einer Halbwertszeit von 4 Stunden rechnen manche nach 12 Stunden $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{12}$ . Die Menge halbiert sich aber nur alle 4 Stunden, nicht jede Stunde.

Richtig: Der Exponent ist die Anzahl der Halbwertszeiten $\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ , also ist das Ergebnis $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 10$ .

Pro Halbwertszeit die Hälfte der ANFANGSmenge abziehen

Warum es falsch ist: Wer $100 \to 50 \to 0$ rechnet, behandelt den Zerfall wie eine lineare Abnahme. Jede Halbwertszeit nimmt die Hälfte dessen weg, was JETZT noch da ist, nicht die Hälfte der Anfangsmenge.

Richtig: Halbiere jedes Mal die aktuelle Menge: $100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5$ . Eine Probe erreicht nie genau null.

Den Nenner als Anzahl der Halbwertszeiten nehmen

Warum es falsch ist: Wenn $\frac{1}{8}$ übrig ist, sagen manche, es seien 8 Halbwertszeiten vergangen. Nach 8 Halbwertszeiten wäre aber nur $\frac{1}{256}$ übrig.

Richtig: Schreibe den Nenner als Potenz von 2: $8 = 2^3$ , also sind 3 Halbwertszeiten vergangen.

Übrigen Anteil und zerfallenen Anteil verwechseln

Warum es falsch ist: Nach 3 Halbwertszeiten ist $\frac{1}{8}$ übrig, also sind $\frac{7}{8}$ zerfallen. Die Frage kann nach beidem fragen.

Richtig: Lies die Frage genau: zerfallener Anteil $= 1 -$ übriger Anteil. Nach 3 Halbwertszeiten: $12{,}5\,\%$ übrig, $87{,}5\,\%$ zerfallen.

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Erstes Glied (a₁ = 64)

Quotient (r = 0,5)

64,

32,

16,

, ...

Formel

a_n = 64 × 0,5^(n-1)

a_1

a_5

a_10

0,125

a_20

0,000122

Funktionsgraph

N = 80T = 4

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

N(t) = N₀·(1/2)^(t/T)Asymptote

Wertetabelle

t	0	4	8	12	16
y	80	40	20	10	5

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18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Ein Stoff hat eine Halbwertszeit von $10$ Jahren. Welcher Anteil ist nach $2$ Halbwertszeiten noch übrig?

Warum es wichtig ist

Mit der Halbwertszeit messen Wissenschaftler, Ärzte und Ingenieure, wie schnell etwas verschwindet:

Archäologie: Kohlenstoff-14 hat eine Halbwertszeit von $5730$ Jahren, deshalb verrät der Rest in Knochen und Holz ihr Alter
Medizin: Die Halbwertszeit eines Medikaments sagt Ärzten, wann die nächste Dosis fällig ist
Krankenhaus: Iod-131, das bei Schilddrüsenerkrankungen eingesetzt wird, hat eine Halbwertszeit von $8$ Tagen. Daran sieht das Personal, wann ein Patient sicher nach Hause darf
Energie und Sicherheit: Atommüll muss gelagert werden, bis genug Halbwertszeiten vergangen sind

Die gute Nachricht: Wenn die Zeit eine ganze Zahl von Halbwertszeiten ist, löst du solche Aufgaben einfach durch Halbieren, ganz ohne fortgeschrittene Werkzeuge.

Anwendungen im echten Leben

Radiokarbonmethode (C-14-Datierung)

Lebewesen nehmen Kohlenstoff-14 auf. Nach dem Tod zerfällt er mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren, deshalb verrät der übrige Anteil das Alter von Knochen, Holz und Holzkohle.

Beispiel:

Ein Stück Holz mit $\frac{1}{4}$ seines ursprünglichen Kohlenstoffs-14 ist $2 \times 5730 = 11460$ Jahre alt.

1Probiere es selbst

Holzkohle aus einer alten Feuerstelle enthält $\frac{1}{16}$ ihres ursprünglichen Kohlenstoffs-14. Die Halbwertszeit von Kohlenstoff-14 beträgt $5730$ Jahre.

Wie alt ist die Holzkohle?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Bestimme die Anzahl der Halbwertszeiten und multipliziere dann mit $5730$ :

Medikamente im Blut

Ärzte nutzen die Halbwertszeit eines Medikaments, um festzulegen, wann die nächste Dosis kommt, damit die Menge im Körper sicher und wirksam bleibt.

Beispiel:

Von einer Dosis von $400$ mg mit einer Halbwertszeit von $6$ Stunden sind nach $12$ Stunden noch $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{12/6} = 100$ mg übrig.

2Probiere es selbst

Ein Patient nimmt $600$ mg eines Medikaments mit einer Halbwertszeit von $4$ Stunden.

Wie viel mg sind nach $16$ Stunden noch übrig?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne: $600 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/4}$

Behandlung mit Iod-131

Iod-131 wird bei Schilddrüsenerkrankungen eingesetzt. Seine Halbwertszeit von 8 Tagen zeigt dem Krankenhaus, wie schnell die Strahlung sinkt und wann Reste sicher gelagert oder entsorgt werden können.

Beispiel:

Aus $100$ mg Iod-131 werden nach $16$ Tagen $100 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/8} = 25$ mg.

3Probiere es selbst

Ein Krankenhaus lagert $160$ mg Iod-131 (Halbwertszeit $8$ Tage).

Wie viel mg sind nach $24$ Tagen noch übrig?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne: $160 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$

Wichtige Erkenntnisse

1Die Halbwertszeit $T$ ist die Zeit, in der die Hälfte eines Stoffes verschwindet
2Die übrige Menge ist $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ , wobei $\frac{t}{T}$ die Anzahl der Halbwertszeiten ist
3Nach $n$ Halbwertszeiten ist der Anteil $\frac{1}{2^n}$ übrig: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots$
4Für die vergangene Zeit schreibst du den übrigen Anteil als $\frac{1}{2^n}$ und multiplizierst $n$ mit der Halbwertszeit
5Für die Halbwertszeit zählst du, wie oft sich die Menge in den Daten halbiert, und teilst die Zeit durch diese Zahl
6Jede Halbwertszeit nimmt die Hälfte des aktuellen Rests weg, deshalb erreicht die Menge nie genau null

Häufig gestellte Fragen

Mathematisch nicht:

\left(\frac{1}{2}\right)^{n}

ist nie null. In der Praxis ist nach etwa 10 Halbwertszeiten weniger als

0{,}1\,\%

übrig (

\frac{1}{1024}

), und das gilt meist als verschwunden.

Glossar

Halbwertszeit: Die Zeit $T$ , in der die Hälfte eines Stoffes zerfällt oder verschwindet
Anfangswert: Die Menge $N_0$ zu Beginn, bei $t = 0$
Anzahl der Halbwertszeiten: Der Quotient $\frac{t}{T}$ : wie oft die Menge halbiert wurde
Radioaktiver Zerfall: Der Vorgang, bei dem instabile Atome sich in andere Atome umwandeln, wobei in jedem gleich langen Zeitraum ein fester Anteil verloren geht
Radiokarbonmethode: Ein Verfahren, das das Alter von einst lebendem Material aus dem übrigen Anteil von Kohlenstoff-14 bestimmt (Halbwertszeit $5730$ Jahre)

Formelkarte

Formel für die Halbwertszeit

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

$N_0$ = Anfangswert, $T$ = Halbwertszeit, $t$ = vergangene Zeit (gleiche Einheit wie $T$).

Nach n Halbwertszeiten

N = \frac{N_0}{2^n}, \quad n = \frac{t}{T}

Teile für jede Halbwertszeit einmal durch 2. Die vergangene Zeit ist $t = n \cdot T$.

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