Eine wachsende Stadt

Eine Stadt hat $50000$ Einwohner und wächst um $2\%$ pro Jahr. Schätze die Einwohnerzahl nach 5 Jahren.

Bestimme $P_0$, $r$ und $t$: $P_0 = 50000$, $r = 0{,}02$, $t = 5$ = Werte bestimmt

Bestimme den Wachstumsfaktor: $1 + r = 1 + 0{,}02 = 1{,}02$ = Wachstumsfaktor $1{,}02$

Stelle das Modell auf: $P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ = Modell fertig

Setze $t = 5$ ein: $P(5) = 50000 \cdot 1{,}02^5 \approx 50000 \cdot 1{,}10408 \approx 55204$ = $P(5) \approx 55204$

Answer: Nach 5 Jahren hat die Stadt etwa **55204** Einwohner.

Bakterien mit Verdopplungszeit

Eine Probe enthält $300$ Bakterien. Ihre Anzahl verdoppelt sich alle $30$ Minuten. Wie viele Bakterien sind es nach 3 Stunden?

Stelle das Verdopplungsmodell auf: $P(t) = 300 \cdot 2^{t/30}$, mit $t$ in Minuten = Verdopplungsmodell

Rechne die Zeit in Minuten um: $3$ Stunden $= 180$ Minuten = $t = 180$

Zähle die Verdopplungen: $\frac{t}{d} = \frac{180}{30} = 6$ = 6 Verdopplungen

Berechne: $P(180) = 300 \cdot 2^6 = 300 \cdot 64 = 19200$ = $19200$

Answer: Nach 3 Stunden sind es **19200** Bakterien.

Verdopplungszeit mit der 70er-Regel schätzen

Ein Land mit $8$ Millionen Einwohnern wächst um $3{,}5\%$ pro Jahr. Wie lange dauert es ungefähr, bis es $16$ Millionen Einwohner hat? Und $32$ Millionen?

Wende die 70er-Regel an: $d \approx \frac{70}{3{,}5} = 20$ Jahre = Verdopplungszeit etwa 20 Jahre

Eine Verdopplung: $8$ Millionen $\to 16$ Millionen nach etwa $20$ Jahren = Etwa 20 Jahre

Zwei Verdopplungen: $16$ Millionen $\to 32$ Millionen nach etwa $20 + 20 = 40$ Jahren = Etwa 40 Jahre

Prüfe mit dem genauen Modell: $1{,}035^{20} \approx 1{,}99$, sehr nah an $2$ = Die Schätzung ist gut

Answer: Die Bevölkerung erreicht etwa **16 Millionen nach 20 Jahren** und etwa **32 Millionen nach 40 Jahren**. Die 70er-Regel ist eine Schätzung, und hier beträgt die genaue Verdopplungszeit etwa 20,15 Jahre, die Schätzung liegt also weniger als ein Vierteljahr daneben.

Ein Modell aus zwei Zählungen aufstellen

Eine Hirschpopulation wurde 2020 mit $1200$ und 2021 mit $1320$ Tieren gezählt. Sage unter der Annahme gleichen jährlichen prozentualen Wachstums die Population im Jahr 2025 voraus.

Bestimme den Wachstumsfaktor: $1 + r = \frac{P_1}{P_0} = \frac{1320}{1200} = 1{,}1$ = Wachstumsfaktor $1{,}1$

Bestimme die Wachstumsrate: $r = 1{,}1 - 1 = 0{,}1 = 10\%$ pro Jahr = $r = 10\%$

Stelle das Modell auf (2020 ist $t = 0$): $P(t) = 1200 \cdot 1{,}1^t$ = Modell fertig

Sage 2025 voraus ($t = 5$): $P(5) = 1200 \cdot 1{,}1^5 = 1200 \cdot 1{,}61051 \approx 1933$ = Etwa $1933$ Hirsche

Answer: Das Modell $P(t) = 1200 \cdot 1{,}1^t$ sagt für 2025 etwa **1933 Hirsche** voraus.

Lineare und exponentielle Prognose im Vergleich

Eine Kleinstadt hatte 2020 $20000$ Einwohner und 2022 $22000$. Erstelle eine Prognose für 2030 mit einem linearen und mit einem exponentiellen Modell.

Lineares Modell: gleicher Zuwachs pro Jahr: $\frac{22000 - 20000}{2} = 1000$ Einwohner pro Jahr = $L(t) = 20000 + 1000t$

Lineare Prognose für 2030 ($t = 10$): $L(10) = 20000 + 1000 \cdot 10 = 30000$ = $30000$

Exponentielles Modell: Faktor pro 2 Jahre: $\frac{22000}{20000} = 1{,}1$ alle 2 Jahre, also $P(t) = 20000 \cdot 1{,}1^{t/2}$ = $\times 1{,}1$ alle 2 Jahre

Exponentielle Prognose für 2030: $P(10) = 20000 \cdot 1{,}1^5 = 20000 \cdot 1{,}61051 \approx 32210$ = $32210$

Vergleiche: $32210 - 30000 = 2210$ = Exponentiell liegt $2210$ höher

Answer: Lineare Prognose: **30000**. Exponentielle Prognose: etwa **32210**. Beide Modelle passen zu den zwei Zählungen, und trotzdem unterscheiden sie sich schon nach 10 Jahren um etwa 2210 Menschen.

Mistake: Den Prozentwert direkt im Wachstumsfaktor verwenden: $50000 \cdot (1 + 2)^t$

Why: Eine Rate von $2\%$ ist als Dezimalzahl $0{,}02$. Mit $1 + 2 = 3$ würde sich die Stadt jedes Jahr verdreifachen.

Correct: Rechne zuerst den Prozentsatz um: $2\% = 0{,}02$, der Wachstumsfaktor ist also $1{,}02$ und $P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$.

Mistake: Vergessen, durch die Verdopplungszeit zu teilen: $300 \cdot 2^{180}$

Why: Der Exponent muss Verdopplungen zählen, nicht Minuten. In 180 Minuten gibt es nur $\frac{180}{30} = 6$ Verdopplungen.

Correct: Verwende $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$: $300 \cdot 2^{180/30} = 300 \cdot 2^6 = 19200$.

Mistake: Die Dezimalrate in der 70er-Regel verwenden: $\frac{70}{0{,}035} = 2000$ Jahre

Why: Die 70er-Regel ist für die Rate als Prozentzahl gedacht. Mit der Dezimalzahl wird das Ergebnis 100-mal zu groß.

Correct: Teile 70 durch die Prozentzahl: $\frac{70}{3{,}5} = 20$ Jahre, und denk daran, dass es eine Schätzung ist.

Mistake: Beim Bestimmen der Rate durch die spätere Zählung teilen: $\frac{120}{1320} \approx 9{,}1\%$

Why: Die Wachstumsrate bezieht sich auf den Ausgangswert der Population, nicht auf den Endwert.

Correct: Teile die neue Zählung durch die alte: $\frac{1320}{1200} = 1{,}1$, also $r = 10\%$.

Stadtplanung

Stadtplaner sagen voraus, wie viele Einwohner eine Stadt haben wird, damit rechtzeitig genug Schulen, Wohnungen und öffentliche Verkehrsmittel gebaut werden.

Eine Stadt mit $250000$ Einwohnern, die um $1\%$ pro Jahr wächst, hätte nach 10 Jahren etwa $250000 \cdot 1{,}01^{10} \approx 276156$ Einwohner.

Bakterien im Labor

Mikrobiologen nutzen Verdopplungszeiten, um vorherzusagen, wann eine Kultur groß genug für eine Untersuchung ist oder wie schnell sich eine Infektion vor der Behandlung ausbreiten kann.

Manche Bakterien verdoppeln sich unter idealen Bedingungen etwa alle 20 Minuten, das sind 3 Verdopplungen, also ein Faktor $2^3 = 8$, pro Stunde.

Erholung von Wildtierbeständen

Naturschutzteams zählen Tiere jedes Jahr, stellen aus den Zählungen ein Wachstumsmodell auf und prüfen, ob sich eine geschützte Art erholt. Sie wissen auch, dass ein Schutzgebiet nur eine begrenzte Zahl von Tieren ernähren kann, seine Kapazitätsgrenze, und das Wachstum deshalb später langsamer wird.

Wächst eine Herde in einem Jahr von $500$ auf $540$ Tiere, ist der Wachstumsfaktor $\frac{540}{500} = 1{,}08$, die Herde wächst also um $8\%$ pro Jahr, solange genug Futter da ist.

Q: Warum funktioniert die 70er-Regel?

A: Die genaue Verdopplungszeit ist $d = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$, und für kleine Raten liegt $\ln(1 + r)$ sehr nah an $r$. Da $\ln 2 \approx 0{,}693$ ist, beträgt die Verdopplungszeit etwa $\frac{0{,}693}{r} = \frac{69{,}3}{\text{Prozent}}$, gerundet 70. Logarithmen lernst du in einer späteren Lektion kennen; nutze die Regel bis dahin als schnelle Schätzung.

Q: Wie genau ist die 70er-Regel?

A: Für Raten bis etwa $10\%$ liegt sie meist weniger als ein Jahr daneben. Bei $2\%$ ergibt sie $35$ Jahre, der genaue Wert ist etwa $35{,}0$ Jahre. Bei $7\%$ ergibt sie $10$ Jahre, der genaue Wert ist etwa $10{,}2$ Jahre. Bei großen Raten wird der Fehler größer.

Q: Was ist die Kapazitätsgrenze?

A: Die Kapazitätsgrenze ist die größte Population, die eine Umgebung mit ihrer Nahrung, ihrem Wasser und ihrem Platz versorgen kann. Nähert sich eine Population dieser Grenze, wird das Wachstum langsamer und die Kurve flacht zu einer S-Form ab. Das nennt man logistisches Wachstum; in dieser Lektion beschreiben wir es nur, ohne Formel.

Q: Soll ich ein lineares oder ein exponentielles Modell verwenden?

A: Schau dir die Daten an. Wächst die Population jedes Jahr um etwa die gleiche **Anzahl**, nimm ein lineares Modell. Wächst sie jedes Jahr um etwa den gleichen **Prozentsatz** (die Quotienten $\frac{P_1}{P_0}$, $\frac{P_2}{P_1}$ sind etwa gleich), nimm ein exponentielles Modell.