Wie genau ist die 70er-Regel?

Für Raten bis etwa $10\%$ liegt sie meist weniger als ein Jahr daneben. Bei $2\%$ ergibt sie $35$ Jahre, der genaue Wert ist etwa $35{,}0$ Jahre. Bei $7\%$ ergibt sie $10$ Jahre, der genaue Wert ist etwa $10{,}2$ Jahre. Bei großen Raten wird der Fehler größer.

Was ist die Kapazitätsgrenze?

Die Kapazitätsgrenze ist die größte Population, die eine Umgebung mit ihrer Nahrung, ihrem Wasser und ihrem Platz versorgen kann. Nähert sich eine Population dieser Grenze, wird das Wachstum langsamer und die Kurve flacht zu einer S-Form ab. Das nennt man logistisches Wachstum; in dieser Lektion beschreiben wir es nur, ohne Formel.

Soll ich ein lineares oder ein exponentielles Modell verwenden?

Schau dir die Daten an. Wächst die Population jedes Jahr um etwa die gleiche **Anzahl**, nimm ein lineares Modell. Wächst sie jedes Jahr um etwa den gleichen **Prozentsatz** (die Quotienten $\frac{P_1}{P_0}$, $\frac{P_2}{P_1}$ sind etwa gleich), nimm ein exponentielles Modell.

Lehrermaterialien

Modelle für Bevölkerungswachstum

Q: Warum funktioniert die 70er-Regel?

Die genaue Verdopplungszeit ist $d = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$, und für kleine Raten liegt $\ln(1 + r)$ sehr nah an $r$. Da $\ln 2 \approx 0{,}693$ ist, beträgt die Verdopplungszeit etwa $\frac{0{,}693}{r} = \frac{69{,}3}{\text{Prozent}}$, gerundet 70. Logarithmen lernst du in einer späteren Lektion kennen; nutze die Regel bis dahin als schnelle Schätzung.

Modelliere wachsende Populationen von Bakterien, Städten und Tieren mit Exponentialfunktionen, Verdopplungszeit und der 70er-Regel.

Fortgeschritten30 MinLektion

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Definition

Ein Populationsmodell ist eine Funktion, die vorhersagt, wie viele Individuen (Menschen, Bakterien, Tiere) es nach einer Zeit

t

gibt. Wächst eine Population jedes Jahr um den gleichen Prozentsatz, folgt sie einem exponentiellen Modell:

P(t) = P_0 (1 + r)^t

$P_0$ = Anfangspopulation (bei $t = 0$ )
$r$ = jährliche Wachstumsrate als Dezimalzahl (3% bedeutet $r = 0{,}03$ )
$1 + r$ = Wachstumsfaktor
$t$ = Zeit in Jahren

Kennen wir die Verdopplungszeit

d

(die Zeit, in der sich die Population verdoppelt), können wir dasselbe Modell so schreiben:

P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}

Der Exponent

\frac{t}{d}

zählt, wie viele Verdopplungen stattgefunden haben. Eine schnelle Schätzung verbindet beide Formen, die 70er-Regel:

d \approx \frac{70}{\text{Wachstumsrate in Prozent}}

Sie ist nur eine Näherung, für kleine Raten aber sehr gut.

Das Balkendiagramm zeigt eine Population von

10000

, die um

10\%

pro Jahr wächst:

10000

11000

12100

13310

14641

. Jeder Balken ist

1{,}1

-mal so hoch wie der vorherige, deshalb werden die Sprünge jedes Jahr größer.

Probier es gleich aus

Eine Gemeinde mit

2000

Einwohnern wächst um

4\%

pro Jahr. Welche Funktion beschreibt die Einwohnerzahl nach

t

Jahren?

Lösungsbeispiele

Eine Stadt hat $50000$ Einwohner und wächst um $2\%$ pro Jahr. Schätze die Einwohnerzahl nach 5 Jahren.

Bestimme $P_0$ , $r$ und $t$

$P_0 = 50000$ , $r = 0{,}02$ , $t = 5$ → Werte bestimmt

Bestimme den Wachstumsfaktor

$1 + r = 1 + 0{,}02 = 1{,}02$ → Wachstumsfaktor $1{,}02$

Stelle das Modell auf

$P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ → Modell fertig

Setze $t = 5$ ein

$P(5) = 50000 \cdot 1{,}02^5 \approx 50000 \cdot 1{,}10408 \approx 55204$ → $P(5) \approx 55204$

Antwort: Nach 5 Jahren hat die Stadt etwa 55204 Einwohner.

Häufige Fehler

Den Prozentwert direkt im Wachstumsfaktor verwenden: $50000 \cdot (1 + 2)^t$

Warum es falsch ist: Eine Rate von $2\%$ ist als Dezimalzahl $0{,}02$ . Mit $1 + 2 = 3$ würde sich die Stadt jedes Jahr verdreifachen.

Richtig: Rechne zuerst den Prozentsatz um: $2\% = 0{,}02$ , der Wachstumsfaktor ist also $1{,}02$ und $P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ .

Vergessen, durch die Verdopplungszeit zu teilen: $300 \cdot 2^{180}$

Warum es falsch ist: Der Exponent muss Verdopplungen zählen, nicht Minuten. In 180 Minuten gibt es nur $\frac{180}{30} = 6$ Verdopplungen.

Richtig: Verwende $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ : $300 \cdot 2^{180/30} = 300 \cdot 2^6 = 19200$ .

Die Dezimalrate in der 70er-Regel verwenden: $\frac{70}{0{,}035} = 2000$ Jahre

Warum es falsch ist: Die 70er-Regel ist für die Rate als Prozentzahl gedacht. Mit der Dezimalzahl wird das Ergebnis 100-mal zu groß.

Richtig: Teile 70 durch die Prozentzahl: $\frac{70}{3{,}5} = 20$ Jahre, und denk daran, dass es eine Schätzung ist.

Beim Bestimmen der Rate durch die spätere Zählung teilen: $\frac{120}{1320} \approx 9{,}1\%$

Warum es falsch ist: Die Wachstumsrate bezieht sich auf den Ausgangswert der Population, nicht auf den Endwert.

Richtig: Teile die neue Zählung durch die alte: $\frac{1320}{1200} = 1{,}1$ , also $r = 10\%$ .

Interaktive Visualisierung

Folgen-Explorer

Erstes Glied (a₁ = 300)

Quotient (r = 2)

300,

600,

1200,

2400,

4800,

9600,

19.200

, ...

Formel

a_n = 300 × 2^(n-1)

a_1

300

a_5

4800

a_10

153.600

a_20

157.286.400

Balkendiagramm

t = 0(10.000)

t = 1(11.000)

t = 2(12.100)

t = 3(13.310)

t = 4(14.641)

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Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Eine Gemeinde mit $2000$ Einwohnern wächst um $4\%$ pro Jahr. Welche Funktion beschreibt die Einwohnerzahl nach $t$ Jahren?

Übungsaufgaben: Modelle für Bevölkerungswachstum

1. Eine Gemeinde mit 2000 Einwohnern wächst um 4% pro Jahr. Welche Funktion beschreibt die Einwohnerzahl nach t Jahren?
2. Eine Population von 6000 verdoppelt sich alle 15 Jahre. Welches Modell gibt die Population nach t Jahren an?
3. Die Bevölkerung eines Landes wächst um 2% pro Jahr. Wie lange dauert es nach der 70er-Regel ungefähr, bis sie sich verdoppelt?
4. Eine Kaninchenpopulation auf einer Insel ist einige Jahre exponentiell gewachsen, aber jetzt wird ihr Wachstum langsamer. Was ist der wahrscheinlichste Grund?
5. Stadt A und Stadt B haben heute beide 10000 Einwohner. Stadt A wächst um 500 Menschen pro Jahr, Stadt B um 5% pro Jahr. Welche Aussage über die Einwohnerzahlen in 20 Jahren stimmt? (Verwende 1,05²⁰ ≈ 2,6533.)
6. Eine Kolonie von 1500 Kaninchen wächst um 10% pro Jahr. Wie viele Kaninchen sind es nach 1 Jahr?
7. Eine Stadt mit 4000 Einwohnern verdoppelt sich alle 8 Jahre. Wie viele Einwohner hat sie nach 24 Jahren?
8. Eine Fischpopulation wächst um 7% pro Jahr. Schätze mit der 70er-Regel ihre Verdopplungszeit in Jahren.
9. Ein Dorf hatte 2023 2500 Einwohner und 2024 2600. Wie groß ist die jährliche Wachstumsrate in Prozent? (Schreib nur die Zahl, zum Beispiel 5.)
10. Eine Kultur von 200 Bakterien verdoppelt sich alle 25 Minuten. Nach wie vielen Minuten sind es 12800 Bakterien?
11. Eine Stadt mit 30000 Einwohnern wächst um 2% pro Jahr. Wie viele Einwohner hat sie nach 2 Jahren?
12. Eine Probe von 50 Bakterien verdoppelt sich alle 10 Minuten. Wie viele Bakterien sind es nach 1 Stunde?
13. Ein See hatte letztes Jahr 800 Fische und hat dieses Jahr 880. Wie viele Fische gibt es 2 Jahre nach der Zählung von 800, wenn das jährliche prozentuale Wachstum gleich bleibt?
14. Ein Land mit 5 Millionen Einwohnern wächst um 1,4% pro Jahr. Schätze mit der 70er-Regel die Einwohnerzahl in 100 Jahren (in Millionen).
15. Eine Hirschpopulation von 1000 Tieren verdoppelt sich alle 10 Jahre. Schätze die Population nach 5 Jahren. (Runde 2^{0{,}5} auf 3 Dezimalstellen.)
16. Eine Stadt hatte 2020 40000 Einwohner und 2021 44000. Erstelle für 2023 eine Prognose mit einem linearen und mit einem exponentiellen Modell. Um wie viel ist die exponentielle Prognose größer?
17. Eine Stadt hatte 2018 5000 Einwohner und 2020 7200. Sage unter der Annahme gleichen jährlichen prozentualen Wachstums die Einwohnerzahl für 2022 voraus.
18. Eine Population von 10000 wächst um 5% pro Jahr. Schätze die Verdopplungszeit mit der 70er-Regel und prüfe dann die Schätzung: Wie groß ist die Population nach so vielen Jahren?

Warum es wichtig ist

Populationsmodelle helfen beim Planen:

Städte nutzen Wachstumsprognosen, um zu entscheiden, wie viele Schulen, Wohnungen und Busse sie in 10 oder 20 Jahren brauchen
Biologen und Ärzte sagen voraus, wie schnell sich Bakterien in einer Probe oder bei einer Infektion vermehren
Wildtiermanager beobachten bedrohte Arten und invasive Tiere, um zu sehen, ob sich eine Population erholt oder explodiert
Regierungen vergleichen lineare und exponentielle Prognosen, um Wasser, Energie und Nahrung zu planen

Der Unterschied zwischen einer Geraden und einer Kurve, die sich immer wieder verdoppelt, kann einen Plan komplett verändern: Eine exponentielle Prognose kann schon nach wenigen Jahrzehnten um Tausende Menschen höher liegen. Echte Populationen können nicht für immer exponentiell wachsen, deshalb muss ein guter Prognostiker auch wissen, wann das Modell nicht mehr funktioniert.

Anwendungen im echten Leben

Stadtplanung

Stadtplaner sagen voraus, wie viele Einwohner eine Stadt haben wird, damit rechtzeitig genug Schulen, Wohnungen und öffentliche Verkehrsmittel gebaut werden.

Beispiel:

Eine Stadt mit $250000$ Einwohnern, die um $1\%$ pro Jahr wächst, hätte nach 10 Jahren etwa $250000 \cdot 1{,}01^{10} \approx 276156$ Einwohner.

1Probiere es selbst

Eine schnell wachsende Stadt hat $80000$ Einwohner und wächst um $5\%$ pro Jahr.

Wie viele Einwohner hat sie nach 3 Jahren?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $80000 \cdot 1{,}05^3$ :

Bakterien im Labor

Mikrobiologen nutzen Verdopplungszeiten, um vorherzusagen, wann eine Kultur groß genug für eine Untersuchung ist oder wie schnell sich eine Infektion vor der Behandlung ausbreiten kann.

Beispiel:

Manche Bakterien verdoppeln sich unter idealen Bedingungen etwa alle 20 Minuten, das sind 3 Verdopplungen, also ein Faktor $2^3 = 8$ , pro Stunde.

2Probiere es selbst

Eine Kultur beginnt mit $1000$ Bakterien, die sich alle $20$ Minuten verdoppeln.

Wie viele Bakterien sind es nach 1 Stunde und 40 Minuten?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $1000 \cdot 2^{100/20}$ :

Erholung von Wildtierbeständen

Naturschutzteams zählen Tiere jedes Jahr, stellen aus den Zählungen ein Wachstumsmodell auf und prüfen, ob sich eine geschützte Art erholt. Sie wissen auch, dass ein Schutzgebiet nur eine begrenzte Zahl von Tieren ernähren kann, seine Kapazitätsgrenze, und das Wachstum deshalb später langsamer wird.

Beispiel:

Wächst eine Herde in einem Jahr von $500$ auf $540$ Tiere, ist der Wachstumsfaktor $\frac{540}{500} = 1{,}08$ , die Herde wächst also um $8\%$ pro Jahr, solange genug Futter da ist.

3Probiere es selbst

Ein Wolfsrudel in einem Schutzgebiet ist in einem Jahr von $64$ auf $80$ Wölfe gewachsen.

Wie viele Wölfe gibt es 2 Jahre nach der Zählung von 80, wenn der gleiche jährliche Prozentsatz bleibt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $80 \cdot (80/64)^2$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Eine Population, die jedes Jahr um den gleichen Prozentsatz wächst, folgt $P(t) = P_0 (1 + r)^t$ , mit $r$ als Dezimalzahl
2Mit einer Verdopplungszeit $d$ lautet das Modell $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ , wobei $\frac{t}{d}$ die Verdopplungen zählt
3Die 70er-Regel schätzt die Verdopplungszeit: $d \approx \frac{70}{\text{Prozentrate}}$ ; sie ist eine Näherung, keine exakte Formel
4Aus zwei jährlichen Zählungen ist der Wachstumsfaktor $\frac{P_1}{P_0}$ und die Rate $r = \frac{P_1}{P_0} - 1$
5Lineare Prognosen addieren jedes Jahr die gleiche Zahl; exponentielle Prognosen multiplizieren und ziehen deshalb mit der Zeit davon
6Echte Populationen wachsen langsamer, wenn sie sich der Kapazitätsgrenze ihrer Umgebung nähern, exponentielle Modelle passen also am besten zu frühem Wachstum

Häufig gestellte Fragen

Die genaue Verdopplungszeit ist

d = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}

, und für kleine Raten liegt

\ln(1 + r)

sehr nah an

r

. Da

\ln 2 \approx 0{,}693

ist, beträgt die Verdopplungszeit etwa

\frac{0{,}693}{r} = \frac{69{,}3}{\text{Prozent}}

, gerundet 70. Logarithmen lernst du in einer späteren Lektion kennen; nutze die Regel bis dahin als schnelle Schätzung.

Glossar

Populationsmodell: Eine Funktion $P(t)$ , die die Größe einer Population nach der Zeit $t$ vorhersagt
Anfangspopulation: Die Population $P_0$ zu Beginn, also bei $t = 0$
Wachstumsrate: Der Prozentsatz, um den die Population pro Zeitabschnitt wächst, in der Formel als Dezimalzahl $r$ geschrieben
Verdopplungszeit: Die Zeit $d$ , in der sich eine Population verdoppelt
70er-Regel: Die Schätzung $d \approx \frac{70}{\text{Prozentrate}}$ für die Verdopplungszeit
Kapazitätsgrenze: Die größte Population, die eine Umgebung auf Dauer versorgen kann

Formelkarte

Populationsmodell mit jährlicher Rate

P(t) = P_0 (1 + r)^t

$P_0$ = Anfangspopulation, $r$ = jährliche Wachstumsrate als Dezimalzahl, $t$ = Jahre.

Modell mit Verdopplungszeit

P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}

$d$ = Verdopplungszeit, in derselben Einheit wie $t$. Der Exponent $\frac{t}{d}$ ist die Anzahl der Verdopplungen.

70er-Regel (Schätzung)

d \approx \frac{70}{\text{Prozentrate}}

Ungefähre Verdopplungszeit. Verwende die Rate als Prozentzahl, zum Beispiel $\frac{70}{2} = 35$ Jahre bei $2\%$.

Wachstumsfaktor aus zwei Zählungen

1 + r = \frac{P_1}{P_0}

$P_0$ und $P_1$ sind Zählungen im Abstand von einem Zeitabschnitt.

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Bakterien im Labor

Erholung von Wildtierbeständen

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

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Populationsmodell mit jährlicher Rate

Modell mit Verdopplungszeit

70er-Regel (Schätzung)

Wachstumsfaktor aus zwei Zählungen

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