Umkehrfunktionen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Wenn , was ist ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Wenn , dann ist , weil die Umkehrfunktion die Funktion umkehrt. Was hineingeht, kommt heraus, und was herauskommt, geht hinein.
2.
Welcher Test bestimmt, ob eine Funktion eine Umkehrfunktion hat?
1. a)Ursprungstest
2. b)Vertikallinientest
3. c)Symmetrietest
4. d)Horizontallinientest
Lösung: Horizontallinientest
Der Horizontallinientest bestimmt, ob eine Funktion eineindeutig ist. Wenn eine horizontale Linie den Graphen mehr als einmal schneidet, besteht die Funktion den Test nicht und hat keine Umkehrfunktion.
3.
Der Graph von ist die Spiegelung von an welcher Geraden?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Da die Umkehrfunktion x- und y-Werte vertauscht, wird der Punkt auf zu auf . Das ist genau das, was eine Spiegelung an der Geraden bewirkt.
4.
Welche Funktion hat KEINE Umkehrfunktion?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
hat keine Umkehrfunktion, weil . Zwei verschiedene Eingaben ergeben die gleiche Ausgabe, also besteht sie den Horizontallinientest nicht. Die anderen Funktionen sind alle eineindeutig.
5.
Wenn , was ist ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Beginne mit . Vertausche: . Addiere 8: . Dividiere durch 4: . Also .
6.
Wenn , was ist ?
Lösung: 5
Da , nimmt die Umkehrfunktion 12 zurück zu 5. Daher ist .
7.
Finde wenn . Schreibe deine Antwort in der Form
Lösung: 7
Wenn die 7 addiert, dann subtrahiert die 7, um es rückgängig zu machen. Die Antwort ist 7.
8.
Wenn und , berechne .
Lösung: 9
Zuerst ist . Dann . Da und Umkehrfunktionen sind, ergibt ihre Komposition den ursprünglichen Input.
9.
Finde wenn .
Lösung: 3
Die Umkehrfunktion ist . Also .
10.
Wenn , finde .
Lösung: 10
Beginne mit . Vertausche: . Multipliziere mit 3: . Subtrahiere 2: . Also und .
11.
Der Definitionsbereich von entspricht dem Wertebereich von . Wenn mit Definitionsbereich , was ist der Definitionsbereich von ? (Antwort: ?)
Lösung: 0
Wenn , erzeugt Ausgaben (der Wertebereich). Da der Definitionsbereich von dem Wertebereich von entspricht, ist der Definitionsbereich von gleich .
12.
Finde die Umkehrfunktion von
Lösung: x + 4
1. Schreibe . Vertausche nun x und y. Welche Gleichung erhältst du? x = y - 4
2. Löse nach y auf, indem du 4 auf beiden Seiten addierst: y = x + 4
3. Schreibe die Umkehrfunktion: x + 4
13.
Finde die Umkehrfunktion von
Lösung: (x - 10) / 5
1. Schreibe . Nach dem Vertauschen von x und y, welche Gleichung hast du? x = 5y + 10
2. Subtrahiere 10 von beiden Seiten: x - 10 = 5y
3. Dividiere beide Seiten durch 5, um nach y aufzulösen: (x - 10) / 5
4. Schreibe = (x - 10) / 5
14.
Verifiziere, dass und Umkehrfunktionen sind, indem du zeigst, dass
Lösung: x
1. Schreibe : (x + 4) / 2
2. Setze in ein: . Vereinfache : x + 4
3. Subtrahiere nun 4: x
4. Daher ist x
15.
Finde die Umkehrfunktion von
Lösung: 3(x - 2)
1. Schreibe . Nach dem Vertauschen lautet die Gleichung: x = y/3 + 2
2. Subtrahiere 2 von beiden Seiten: x - 2 = y/3
3. Multipliziere beide Seiten mit 3: 3(x - 2) = y
4. Also 3(x - 2)
16.
Finde die Umkehrfunktion von , wobei
Lösung: (-2x - 1) / (x - 1)
1. Schreibe . Nach dem Vertauschen von x und y: x = (y - 1)/(y + 2)
2. Multipliziere beide Seiten mit : x(y + 2) = y - 1
3. Erweitere die linke Seite: xy + 2x = y - 1
4. Bringe alle y-Terme auf eine Seite: -2x - 1
5. Klammere y aus: . Löse nach y auf: (-2x - 1)/(x - 1)
17.
Wenn auf dem Graphen von liegt, finde den entsprechenden Punkt auf dem Graphen von
Lösung: (9, 4)
1. Wenn auf liegt, was sagt uns das über ? f(4) = 9
2. Da , was ist ? 4
3. Der Punkt auf ist also: (9, 4)
18.
Finde die Umkehrfunktion von wobei
Lösung: x^2 - 4
1. Schreibe . Nach dem Vertauschen: x = sqrt(y + 4)
2. Quadriere beide Seiten, um die Wurzel zu beseitigen: x^2 = y + 4
3. Löse nach y auf, indem du 4 subtrahierst: y = x^2 - 4
4. Was ist die Definitionsbereichseinschränkung für ? 0