Stetigkeit eines Polynoms prüfen

Ist $f(x) = x^2 - 3x + 1$ an der Stelle $x = 2$ stetig? Prüfe alle drei Bedingungen.

Bedingung 1: Ist $f(2)$ definiert?: $f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1$ = $f(2) = -1$

Bedingung 2: Existiert der Grenzwert?: $f$ ist ein Polynom, also findet man den Grenzwert durch direktes Einsetzen: $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1) = -1$ = Der Grenzwert existiert und ist $-1$

Bedingung 3: Grenzwert und Funktionswert vergleichen: $\lim_{x \to 2} f(x) = -1 = f(2)$ = Alle drei Bedingungen sind erfüllt

Answer: Ja, $f$ ist bei $x = 2$ stetig (als Polynom ist $f$ sogar überall stetig).

Wenn Grenzwert und Funktionswert nicht übereinstimmen

Es sei $g(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ für $x \neq 3$ und $g(3) = 5$. Ist $g$ an der Stelle $x = 3$ stetig?

Bedingung 1: Ist $g(3)$ definiert?: Die Definition liefert direkt $g(3) = 5$ = Ja, $g(3) = 5$

Bedingung 2: Grenzwert bestimmen: $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$ für $x \neq 3$, also $\lim_{x \to 3} g(x) = 3 + 3$ = Der Grenzwert existiert und ist $6$

Bedingung 3: vergleichen: $\lim_{x \to 3} g(x) = 6$, aber $g(3) = 5$ = $6 \neq 5$: Bedingung 3 ist verletzt

Wie lässt sich das reparieren?: Den einzelnen Wert neu festlegen: $g(3) = 6$ = Dann wäre $g$ bei $3$ stetig

Answer: Nein. Der Grenzwert existiert ($6$) und $g(3)$ ist definiert ($5$), aber beide sind nicht gleich, also ist $g$ bei $x = 3$ nicht stetig. Mit $g(3) = 6$ wäre $g$ dort stetig. Der zweite Graph unten zeigt das: einen offenen Kreis bei $(3, 6)$ und darunter den ausgefüllten Punkt $g(3) = 5$.

Wo ist eine gebrochenrationale Funktion stetig?

Auf welchen Intervallen ist $h(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4}$ stetig?

Regel erinnern: Eine gebrochenrationale Funktion ist überall stetig außer dort, wo der Nenner $0$ ist = Nullstellen von $x^2 - 4$ suchen

Nenner $= 0$ lösen: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = 0$ = $x = 2$ oder $x = -2$

Intervalle aufschreiben: $-2$ und $2$ aus der Zahlengeraden herausnehmen = $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$

Answer: $h$ ist stetig auf $(-\infty, -2)$, auf $(-2, 2)$ und auf $(2, \infty)$. Unstetig ist $h$ nur bei $x = -2$ und $x = 2$, wo $h$ nicht definiert ist.

k so bestimmen, dass eine abschnittsweise Funktion stetig ist

Bestimme $k$ so, dass $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 2 \\ kx - 1, & x > 2 \end{cases}$ überall stetig ist.

Jedes Teilstück ist ein Polynom: Beide Teilstücke sind auf ihren Intervallen stetig, also muss nur die Nahtstelle $x = 2$ geprüft werden = $x = 2$ prüfen

Funktionswert und linksseitiger Grenzwert (erstes Stück): $f(2) = 2^2 + 1$ und $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 + 1$ = Beide sind $5$

Rechtsseitiger Grenzwert (zweites Stück): $\lim_{x \to 2^+} f(x) = k \cdot 2 - 1$ = $2k - 1$

Beide Seiten gleichsetzen: $2k - 1 = 5 \Rightarrow 2k = 6$ = $k = 3$

Probe: Mit $k = 3$: $3 \cdot 2 - 1 = 5$, also sind beide einseitigen Grenzwerte $5 = f(2)$ = Stetig bei $x = 2$

Answer: $k = 3$. Probiere es unten im interaktiven Graphen aus: Stelle den Regler auf $k = 3$, dann treffen sich beide Teilstücke im Punkt $(2, 5)$.

Zwischenwertsatz: Eine Nullstelle nachweisen

Zeige, dass $x^3 + x - 1 = 0$ eine Lösung zwischen $x = 0$ und $x = 1$ hat.

Funktion benennen und Stetigkeit prüfen: $f(x) = x^3 + x - 1$ ist ein Polynom = $f$ ist stetig auf $[0, 1]$

An den Rändern auswerten: $f(0) = 0 + 0 - 1$ und $f(1) = 1 + 1 - 1$ = $f(0) = -1$, $f(1) = 1$

Liegt $0$ zwischen den beiden Werten?: $-1 < 0 < 1$ = Ja, das Vorzeichen wechselt

Zwischenwertsatz anwenden: Eine stetige Funktion, die von $-1$ nach $1$ läuft, muss dazwischen den Wert $0$ annehmen = Es gibt ein $c$ in $(0, 1)$ mit $f(c) = 0$

Answer: Nach dem Zwischenwertsatz gibt es eine Zahl $c$ zwischen $0$ und $1$ mit $c^3 + c - 1 = 0$. Der dritte Graph unten zeigt sie: $c \approx 0{,}68$.

Mistake: Nur prüfen, ob $f(a)$ existiert, und daraus schließen, dass $f$ stetig ist

Why: Eine Funktion kann bei $a$ einen Wert haben und trotzdem dort springen. Zum Beispiel hat $f(x) = 1$ für $x < 0$ und $f(x) = 2$ für $x \geq 0$ den Wert $f(0) = 2$, aber der linksseitige Grenzwert ist $1$.

Correct: Prüfe immer alle drei Bedingungen: $f(a)$ ist definiert, der Grenzwert existiert, und der Grenzwert ist gleich $f(a)$.

Mistake: Glauben, dass eine Funktion stetig sein muss, sobald der Grenzwert existiert

Why: Der Grenzwert kümmert sich nicht darum, was genau bei $x = a$ passiert. In Beispiel 2 ist der Grenzwert $6$, aber der Punkt liegt bei $g(3) = 5$.

Correct: Vergleiche den gefundenen Grenzwert mit dem tatsächlichen Wert $f(a)$. Beide müssen gleich sein.

Mistake: $k$ bestimmen, indem man die Nahtstelle nur in ein Teilstück einsetzt

Why: Bei Stetigkeit an der Nahtstelle geht es darum, dass sich beide Teilstücke treffen. Ein Teilstück allein liefert keine Gleichung für $k$.

Correct: Setze die Nahtstelle in beide Teilstücke ein (linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert) und setze die Ergebnisse gleich: in Beispiel 4 $2^2 + 1 = 2k - 1$.

Mistake: Den Zwischenwertsatz auf eine Funktion anwenden, die auf dem Intervall nicht stetig ist

Why: $f(x) = \frac{1}{x}$ hat $f(-1) = -1$ und $f(1) = 1$, ist aber nie $0$. Der Zwischenwertsatz gilt hier nicht, weil $f$ bei $x = 0$ nicht definiert ist.

Correct: Prüfe vor dem Zwischenwertsatz, dass $f$ auf dem ganzen abgeschlossenen Intervall $[a, b]$ stetig ist.

Faire Parkgebühren

Ein Parkhaus hat einen Tarif für kurzes und einen anderen für langes Parken. Stimmen die Formeln am Umschaltpunkt nicht überein, springt der Preis, und wer eine Minute länger bleibt, zahlt viel mehr oder viel weniger.

Eine Gebühr von $C(t) = 5t$ € für bis zu 2 Stunden und $C(t) = 3t + 4$ € danach ergibt mit beiden Formeln $C(2) = 10$ €, die Gebühr springt also nicht.

Höhe beim Wandern und der Zwischenwertsatz

Deine Höhe beim Wandern ändert sich stetig mit der Zeit: Du kannst nicht von einer Höhe zur anderen springen. Der Zwischenwertsatz garantiert dann, dass du jede Höhe zwischen Start und Ziel durchlaufen hast.

Startest du auf 800 m und erreichst einen Gipfel auf 2000 m, warst du irgendwann genau auf 1500 m, auch wenn du in dem Moment nicht auf die Uhr geschaut hast.

Zwei Straßenstücke verbinden

Wer Straßen oder Bahnstrecken plant, beschreibt die Strecke abschnittsweise mit verschiedenen Formeln. An jeder Nahtstelle müssen die Höhen übereinstimmen, und das ist genau die Bedingung für eine stetige abschnittsweise Funktion.

Eine Rampe mit der Höhe $y = 0{,}5x$ für $x \leq 2$, gefolgt von $y = -0{,}25x + 1{,}5$ für $x > 2$ (in Metern), trifft sich bei $y = 1$ m, es gibt also keine Stufe.

Q: Ist $f(x) = \frac{1}{x}$ eine stetige Funktion?

A: Sie ist auf ihrer Definitionsmenge stetig, also an jeder Stelle $x \neq 0$. Bei $x = 0$ ist sie nicht definiert und damit dort nicht stetig. Wenn man ohne Angabe einer Stelle sagt, eine Funktion sei stetig, meint man meist stetig auf der ganzen Definitionsmenge.

Q: Warum liefert direktes Einsetzen bei Polynomen den Grenzwert?

A: Weil Polynome überall stetig sind, und Stetigkeit bedeutet genau $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Der Grenzwert ist also der Funktionswert. Ergibt das Einsetzen $\frac{0}{0}$, ist die Funktion an dieser Stelle nicht stetig, und du musst zuerst vereinfachen.

Q: Sagt mir der Zwischenwertsatz, wo die Nullstelle liegt?

A: Nein. Er garantiert nur, dass mindestens ein $c$ in $(a, b)$ existiert. Um es einzugrenzen, kannst du das Intervall immer wieder halbieren und die Hälfte behalten, in der das Vorzeichen wechselt (Intervallhalbierungsverfahren).

Q: Kann eine Funktion überall stetig sein und trotzdem einen Knick haben?

A: Ja. $f(x) = |x|$ hat bei $x = 0$ einen Knick, aber du kannst sie zeichnen, ohne den Stift abzusetzen, und $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$. Knicke spielen bei der Ableitung eine Rolle, nicht bei der Stetigkeit.