Warum liefert direktes Einsetzen bei Polynomen den Grenzwert?

Weil Polynome überall stetig sind, und Stetigkeit bedeutet genau $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Der Grenzwert ist also der Funktionswert. Ergibt das Einsetzen $\frac{0}{0}$, ist die Funktion an dieser Stelle nicht stetig, und du musst zuerst vereinfachen.

Sagt mir der Zwischenwertsatz, wo die Nullstelle liegt?

Nein. Er garantiert nur, dass mindestens ein $c$ in $(a, b)$ existiert. Um es einzugrenzen, kannst du das Intervall immer wieder halbieren und die Hälfte behalten, in der das Vorzeichen wechselt (Intervallhalbierungsverfahren).

Kann eine Funktion überall stetig sein und trotzdem einen Knick haben?

Ja. $f(x) = |x|$ hat bei $x = 0$ einen Knick, aber du kannst sie zeichnen, ohne den Stift abzusetzen, und $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$. Knicke spielen bei der Ableitung eine Rolle, nicht bei der Stetigkeit.

Lehrermaterialien

Stetigkeit

Lerne die drei Bedingungen der Stetigkeit kennen, wo die wichtigsten Funktionen stetig sind, wie du eine Konstante für eine stetige abschnittsweise Funktion findest, und den Zwischenwertsatz.

Fortgeschritten30 MinLektion

Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Eine Funktion

f

ist **stetig an der Stelle

x = a

**, wenn ihr Graph dort keinen Bruch hat: Du kannst durch den Punkt zeichnen, ohne den Stift abzusetzen. In der Sprache der Grenzwerte müssen drei Bedingungen alle erfüllt sein:

1. $f(a)$ ist definiert (es gibt einen Punkt des Graphen bei $x = a$ )
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existiert (linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert sind gleich)
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ (der Grenzwert ist gleich dem Funktionswert)

f \text{ ist stetig in } a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Ist auch nur eine Bedingung verletzt, hat

f

bei

x = a

eine Unstetigkeitsstelle. Welche Arten es gibt (Lücken, Sprungstellen, Polstellen), lernst du in der Lektion Arten von Unstetigkeitsstellen.

Stetigkeit auf einem Intervall:

f

ist auf einem offenen Intervall

(a, b)

stetig, wenn

f

an jeder Stelle darin stetig ist. Auf einem abgeschlossenen Intervall

[a, b]

brauchen wir an den Rändern zusätzlich

\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

und

\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)

Funktionen, die auf ihrer ganzen Definitionsmenge stetig sind:

ganzrationale Funktionen (Polynome, überall)
gebrochenrationale Funktionen (überall außer dort, wo der Nenner $0$ ist)
Exponentialfunktionen $b^x$ und $e^x$ (überall)
Logarithmusfunktionen $\log_b x$ und $\ln x$ (für $x > 0$ )
$\sqrt{x}$ (für $x \geq 0$ )

Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten (wo der Nenner nicht

0

ist) und Verkettungen stetiger Funktionen sind ebenfalls stetig. Genau deshalb funktioniert direktes Einsetzen: Für eine stetige Funktion gilt

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Probier es gleich aus

Welche dieser Aussagen ist KEINE der drei Bedingungen dafür, dass

f

an der Stelle

x = a

stetig ist?

Lösungsbeispiele

Ist $f(x) = x^2 - 3x + 1$ an der Stelle $x = 2$ stetig? Prüfe alle drei Bedingungen.

Bedingung 1: Ist $f(2)$ definiert?

$f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1$ → $f(2) = -1$

Bedingung 2: Existiert der Grenzwert?

$f$ ist ein Polynom, also findet man den Grenzwert durch direktes Einsetzen: $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1) = -1$ → Der Grenzwert existiert und ist $-1$

Bedingung 3: Grenzwert und Funktionswert vergleichen

$\lim_{x \to 2} f(x) = -1 = f(2)$ → Alle drei Bedingungen sind erfüllt

Antwort: Ja, $f$ ist bei $x = 2$ stetig (als Polynom ist $f$ sogar überall stetig).

Häufige Fehler

Nur prüfen, ob $f(a)$ existiert, und daraus schließen, dass $f$ stetig ist

Warum es falsch ist: Eine Funktion kann bei $a$ einen Wert haben und trotzdem dort springen. Zum Beispiel hat $f(x) = 1$ für $x < 0$ und $f(x) = 2$ für $x \geq 0$ den Wert $f(0) = 2$ , aber der linksseitige Grenzwert ist $1$ .

Richtig: Prüfe immer alle drei Bedingungen: $f(a)$ ist definiert, der Grenzwert existiert, und der Grenzwert ist gleich $f(a)$ .

Glauben, dass eine Funktion stetig sein muss, sobald der Grenzwert existiert

Warum es falsch ist: Der Grenzwert kümmert sich nicht darum, was genau bei $x = a$ passiert. In Beispiel 2 ist der Grenzwert $6$ , aber der Punkt liegt bei $g(3) = 5$ .

Richtig: Vergleiche den gefundenen Grenzwert mit dem tatsächlichen Wert $f(a)$ . Beide müssen gleich sein.

$k$ bestimmen, indem man die Nahtstelle nur in ein Teilstück einsetzt

Warum es falsch ist: Bei Stetigkeit an der Nahtstelle geht es darum, dass sich beide Teilstücke treffen. Ein Teilstück allein liefert keine Gleichung für $k$ .

Richtig: Setze die Nahtstelle in beide Teilstücke ein (linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert) und setze die Ergebnisse gleich: in Beispiel 4 $2^2 + 1 = 2k - 1$ .

Den Zwischenwertsatz auf eine Funktion anwenden, die auf dem Intervall nicht stetig ist

Warum es falsch ist: $f(x) = \frac{1}{x}$ hat $f(-1) = -1$ und $f(1) = 1$ , ist aber nie $0$ . Der Zwischenwertsatz gilt hier nicht, weil $f$ bei $x = 0$ nicht definiert ist.

Richtig: Prüfe vor dem Zwischenwertsatz, dass $f$ auf dem ganzen abgeschlossenen Intervall $[a, b]$ stetig ist.

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

k = 1

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Bei x = 2: von links f(x) → 5, von rechts f(x) → 1. Die Werte sind verschieden, also gibt es keinen Grenzwert (Sprungstelle). f(2) = 5.

Funktionsgraph

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Bei x = 3: von links und von rechts g(x) → 6, also ist der Grenzwert 6. g(3) = 5.

Funktionsgraph

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

f(x) = x³ + x - 1

Nullstelle: (0,68 | 0)

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Welche dieser Aussagen ist KEINE der drei Bedingungen dafür, dass $f$ an der Stelle $x = a$ stetig ist?

Warum es wichtig ist

Stetigkeit ist die Eigenschaft, auf der fast die ganze Analysis aufbaut:

Direktes Einsetzen ist nur erlaubt, weil Polynome, Exponential- und Logarithmusfunktionen stetig sind: Der Grenzwert ist einfach der Funktionswert.
Nullstellen finden: Der Zwischenwertsatz garantiert, dass eine stetige Funktion, die ihr Vorzeichen wechselt, die Null treffen muss. Taschenrechner und Computer nutzen das, um Lösungen von Gleichungen einzugrenzen.
Modellieren: Temperatur, Höhe, Strecke und die Wassermenge in einem Tank ändern sich stetig mit der Zeit. Preise, Steuerstufen und Parkgebühren oft nicht, und wer sie festlegt, muss Konstanten so wählen, dass es keinen plötzlichen Sprung gibt.
Technik: Zwei Stücke einer Straße, Schiene oder Leitung müssen auf gleicher Höhe zusammentreffen. Das ist genau die Bedingung, dass eine abschnittsweise definierte Funktion an der Nahtstelle stetig ist.

Wer weiß, wo eine Funktion stetig ist, weiß auch, wo man dem Graphen trauen kann, wo man einsetzen darf und wo etwas Besonderes passiert (eine Lücke, ein Sprung, eine Polstelle).

Anwendungen im echten Leben

Faire Parkgebühren

Ein Parkhaus hat einen Tarif für kurzes und einen anderen für langes Parken. Stimmen die Formeln am Umschaltpunkt nicht überein, springt der Preis, und wer eine Minute länger bleibt, zahlt viel mehr oder viel weniger.

Beispiel:

Eine Gebühr von $C(t) = 5t$ € für bis zu 2 Stunden und $C(t) = 3t + 4$ € danach ergibt mit beiden Formeln $C(2) = 10$ €, die Gebühr springt also nicht.

1Probiere es selbst

Parken kostet $C(t) = 4t$ € für $0 \leq t \leq 3$ Stunden und $C(t) = 2t + k$ € für $t > 3$ .

Für welchen Wert von $k$ ist die Gebühr bei $t = 3$ stetig?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Löse $4 \cdot 3 = 2 \cdot 3 + k$ nach $k$ auf:

Höhe beim Wandern und der Zwischenwertsatz

Deine Höhe beim Wandern ändert sich stetig mit der Zeit: Du kannst nicht von einer Höhe zur anderen springen. Der Zwischenwertsatz garantiert dann, dass du jede Höhe zwischen Start und Ziel durchlaufen hast.

Beispiel:

Startest du auf 800 m und erreichst einen Gipfel auf 2000 m, warst du irgendwann genau auf 1500 m, auch wenn du in dem Moment nicht auf die Uhr geschaut hast.

2Probiere es selbst

Eine Wanderin ist um 8:00 Uhr auf 800 m und um 13:00 Uhr auf dem Gipfel in 2000 m Höhe. Die Höhe ist eine stetige Funktion der Zeit.

Wie viele der Höhen 500 m, 1200 m, 1900 m und 2100 m durchläuft die Wanderin laut Zwischenwertsatz garantiert zwischen 8:00 und 13:00 Uhr?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Zähle die Werte zwischen 800 und 2000:

Zwei Straßenstücke verbinden

Wer Straßen oder Bahnstrecken plant, beschreibt die Strecke abschnittsweise mit verschiedenen Formeln. An jeder Nahtstelle müssen die Höhen übereinstimmen, und das ist genau die Bedingung für eine stetige abschnittsweise Funktion.

Beispiel:

Eine Rampe mit der Höhe $y = 0{,}5x$ für $x \leq 2$ , gefolgt von $y = -0{,}25x + 1{,}5$ für $x > 2$ (in Metern), trifft sich bei $y = 1$ m, es gibt also keine Stufe.

3Probiere es selbst

Ein Straßenprofil (in Metern) ist $y = 0{,}5x$ für $0 \leq x \leq 4$ und $y = -0{,}25x + b$ für $x > 4$ .

Für welchen Wert von $b$ ist die Straße bei $x = 4$ stetig?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Löse $0{,}5 \cdot 4 = -0{,}25 \cdot 4 + b$ nach $b$ auf:

Wichtige Erkenntnisse

1 $f$ ist an der Stelle $x = a$ stetig, wenn $f(a)$ definiert ist, $\lim_{x \to a} f(x)$ existiert und $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ gilt
2Ist eine der drei Bedingungen verletzt, hat $f$ bei $a$ eine Unstetigkeitsstelle (die Arten behandelt die Lektion Arten von Unstetigkeitsstellen)
3Polynome, Exponentialfunktionen, $\sin$ und $\cos$ sind überall stetig; gebrochenrationale Funktionen, Logarithmen und Wurzeln sind auf ihrer Definitionsmenge stetig
4Auf einem abgeschlossenen Intervall $[a, b]$ verwendet man an den Rändern einseitige Grenzwerte
5Für eine stetige abschnittsweise Funktion setzt du an jeder Nahtstelle linksseitigen Grenzwert, rechtsseitigen Grenzwert und Funktionswert gleich und löst nach der Konstante auf
6Zwischenwertsatz: Ist $f$ auf $[a, b]$ stetig und liegt $N$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ , dann gilt $f(c) = N$ für ein $c$ in $(a, b)$

Häufig gestellte Fragen

Sie ist auf ihrer Definitionsmenge stetig, also an jeder Stelle

x \neq 0

. Bei

x = 0

ist sie nicht definiert und damit dort nicht stetig. Wenn man ohne Angabe einer Stelle sagt, eine Funktion sei stetig, meint man meist stetig auf der ganzen Definitionsmenge.

Glossar

Stetig an einer Stelle: $f$ ist in $a$ stetig, wenn $f(a)$ definiert ist, $\lim_{x \to a} f(x)$ existiert und beide gleich sind
Stetig auf einem Intervall: An jeder Stelle des Intervalls stetig, wobei an den Rändern eines abgeschlossenen Intervalls einseitige Grenzwerte verwendet werden
Unstetigkeitsstelle: Eine Stelle, an der mindestens eine der drei Bedingungen der Stetigkeit verletzt ist
Abschnittsweise definierte Funktion: Eine Funktion mit verschiedenen Termen auf verschiedenen Intervallen; sie kann nur an den Nahtstellen oder dort unstetig sein, wo ein Teilstück selbst unstetig ist
Zwischenwertsatz: Eine auf $[a, b]$ stetige Funktion nimmt jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ an

Formelkarte

Stetigkeit an einer Stelle

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Enthält alle drei Bedingungen: $f(a)$ definiert, der Grenzwert existiert, und beide sind gleich

Bedingung an der Nahtstelle

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

Beide Teilstücke an der Nahtstelle auswerten, gleichsetzen und nach der unbekannten Konstante auflösen

Zwischenwertsatz

f(a) < N < f(b) \Rightarrow f(c) = N \text{ für ein } c \in (a, b)

Nur für $f$ stetig auf $[a, b]$; mit $N = 0$ beweist er, dass eine Nullstelle existiert

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Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

Funktionsgraph

Funktionsgraph

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

Ausdrucksrechner

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Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Faire Parkgebühren

Höhe beim Wandern und der Zwischenwertsatz

Zwei Straßenstücke verbinden

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Stetigkeit an einer Stelle

Bedingung an der Nahtstelle

Zwischenwertsatz

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Einführung in Grenzwerte

Grenzwertschreibweise

Grenzwerte am Graphen ablesen

Grenzwerte mit Wertetabellen bestimmen