Eine Lücke und ein Punkt bei derselben Stelle

Der Graph von $f$ ist die Gerade $y = x + 1$ mit einem offenen Kreis bei $(2, 3)$ und einem ausgefüllten Punkt bei $(2, 5)$ (der erste Graph dieser Lektion). Bestimme $\lim_{x \to 2} f(x)$ und $f(2)$.

Folge der Kurve von links: Für $x = 1{,}9;\ 1{,}99;\ 1{,}999$ steigt die Gerade zum offenen Kreis hin = Die Höhe strebt gegen $3$

Folge der Kurve von rechts: Für $x = 2{,}1;\ 2{,}01;\ 2{,}001$ fällt die Gerade zum selben offenen Kreis hin = Die Höhe strebt gegen $3$

Vergleiche beide Seiten: Beide Seiten streben gegen dieselbe Höhe = $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$

Suche den ausgefüllten Punkt bei $x = 2$: Der ausgefüllte Punkt liegt bei $(2, 5)$, abseits der Geraden = $f(2) = 5$

Answer: $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$, aber $f(2) = 5$. Der Grenzwert folgt der Kurve, der Funktionswert ist der ausgefüllte Punkt.

Eine Lücke ohne Punkt

Im zweiten Graphen dieser Lektion verläuft $g$ bis $x = 2$ entlang $y = (x - 1)^2$ und danach entlang $y = 3 - x$, mit einem offenen Kreis bei $(2, 1)$ und ohne ausgefüllten Punkt bei $x = 2$. Bestimme $\lim_{x \to 2} g(x)$ und $g(2)$.

Linke Seite: Die Parabel strebt gegen die Höhe $(2 - 1)^2 = 1$ = Strebt gegen $1$

Rechte Seite: Die Gerade strebt gegen die Höhe $3 - 2 = 1$ = Strebt gegen $1$

Vergleiche: Beide Seiten streben gegen $1$ = $\lim_{x \to 2} g(x) = 1$

Suche einen ausgefüllten Punkt bei $x = 2$: Es gibt nur den offenen Kreis, keinen ausgefüllten Punkt = $g(2)$ ist nicht definiert

Answer: $\lim_{x \to 2} g(x) = 1$, obwohl $g(2)$ nicht definiert ist. Ein fehlender Punkt verhindert nicht, dass der Grenzwert existiert.

Ein Sprung: Der Grenzwert existiert nicht

Im selben Graphen verläuft $g$ entlang $y = x + 3$ bis zu einem ausgefüllten Punkt bei $(-1, 2)$. Direkt rechts von $x = -1$ geht er als $y = (x - 1)^2$ weiter, beginnend mit einem offenen Kreis bei $(-1, 4)$. Bestimme $\lim_{x \to -1} g(x)$ und $g(-1)$.

Linke Seite: Die Gerade $y = x + 3$ strebt gegen die Höhe $-1 + 3 = 2$ = Strebt gegen $2$

Rechte Seite: Die Parabel strebt gegen die Höhe $(-1 - 1)^2 = 4$ = Strebt gegen $4$

Vergleiche: $2 \neq 4$: Die beiden Seiten stimmen nicht überein = $\lim_{x \to -1} g(x)$ existiert nicht

Lies den ausgefüllten Punkt ab: Der ausgefüllte Punkt liegt bei $(-1, 2)$ = $g(-1) = 2$

Answer: $\lim_{x \to -1} g(x)$ existiert nicht (die Seiten streben gegen $2$ und $4$), trotzdem ist $g(-1) = 2$. Eine Funktion kann an einer Stelle einen Wert haben, an der sie keinen Grenzwert hat.

Eine Parabel mit verschobenem Punkt

Der Graph von $h$ ist die Parabel $y = 4 - x^2$, nur bei $x = 1$ gibt es einen offenen Kreis bei $(1, 3)$ und einen ausgefüllten Punkt bei $(1, 0)$. Bestimme $\lim_{x \to 1} h(x)$, $h(1)$ und $\lim_{x \to 0} h(x)$.

Höhe der Lücke: Beide Seiten der Parabel streben gegen $4 - 1^2 = 3$ = $\lim_{x \to 1} h(x) = 3$

Wert bei $x = 1$: Der ausgefüllte Punkt liegt bei $(1, 0)$ = $h(1) = 0$

Grenzwert bei $x = 0$: Bei $x = 0$ passiert nichts Besonderes: Die Kurve geht glatt durch $(0, 4)$ = $\lim_{x \to 0} h(x) = 4$

Vergleiche mit $h(0)$: Der Punkt $(0, 4)$ liegt auf der Kurve = $h(0) = 4$, gleich dem Grenzwert

Answer: $\lim_{x \to 1} h(x) = 3$, $h(1) = 0$ und $\lim_{x \to 0} h(x) = h(0) = 4$. Wo der Graph nicht unterbrochen ist, ist der Grenzwert gleich dem Funktionswert.

Drei Grenzwerte an einem Graphen

Der Graph von $p$: Für $x < 1$ ist er die waagerechte Gerade $y = 2$, die in einem offenen Kreis bei $(1, 2)$ endet; bei $(1, 4)$ liegt ein ausgefüllter Punkt; für $1 < x \le 3$ ist er die Gerade $y = x + 1$, die mit einem offenen Kreis bei $(1, 2)$ beginnt und mit einem ausgefüllten Punkt bei $(3, 4)$ endet; für $x > 3$ ist er die Gerade $y = 1$, beginnend mit einem offenen Kreis bei $(3, 1)$. Bestimme $\lim_{x \to 1} p(x)$, $\lim_{x \to 2} p(x)$ und $\lim_{x \to 3} p(x)$.

Bei $x = 1$, beide Seiten: Links: $y = 2$. Rechts: $y = x + 1 \to 1 + 1 = 2$. Gleiche Höhe = $\lim_{x \to 1} p(x) = 2$

Vergleiche mit $p(1)$: Der ausgefüllte Punkt liegt bei $(1, 4)$ = $p(1) = 4 \neq 2$

Bei $x = 2$: Die Gerade $y = x + 1$ geht glatt durch $(2, 3)$ = $\lim_{x \to 2} p(x) = 3$

Bei $x = 3$, beide Seiten: Links: $y = x + 1 \to 4$. Rechts: $y = 1$. Verschiedene Höhen = $\lim_{x \to 3} p(x)$ existiert nicht

Answer: $\lim_{x \to 1} p(x) = 2$ (obwohl $p(1) = 4$), $\lim_{x \to 2} p(x) = 3$, und $\lim_{x \to 3} p(x)$ existiert nicht (die Seiten streben gegen $4$ und $1$).

Mistake: Den ausgefüllten Punkt als Grenzwert ablesen: $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$ antworten, weil bei $(2, 5)$ ein Punkt liegt

Why: Der Grenzwert beschreibt, wohin die Kurve in der Nähe von $x = 2$ strebt. Ein einzelner Punkt abseits der Kurve ändert nicht, wohin die Kurve strebt.

Correct: Folge der Kurve von beiden Seiten: Sie strebt zum offenen Kreis auf Höhe $3$, also $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$, während $f(2) = 5$ ist.

Mistake: Sagen, der Grenzwert existiert nicht, weil es eine Lücke gibt

Why: Eine Lücke bedeutet nur, dass $f(a)$ fehlt. Der Grenzwert schaut nie auf $x = a$ selbst, sondern nur auf die Werte drumherum.

Correct: Streben beide Seiten gegen die Höhe der Lücke, existiert der Grenzwert und ist gleich dieser Höhe, auch wenn $f(a)$ nicht definiert ist.

Mistake: Bei einem Sprung die Höhe des ausgefüllten Punktes (oder einer Seite) als Grenzwert angeben

Why: Für einen beidseitigen Grenzwert müssen beide Seiten übereinstimmen. Bei einem Sprung streben die linke und die rechte Seite gegen verschiedene Höhen.

Correct: Prüfe beide Seiten. Streben sie gegen verschiedene Höhen, schreibe, dass der Grenzwert nicht existiert, egal was der ausgefüllte Punkt zeigt.

Mistake: Mit dem $x$-Wert antworten: $\lim_{x \to 2} f(x) = 2$ schreiben

Why: Die $2$ unter dem Limes-Zeichen ist die Stelle, gegen die $x$ strebt. Der Grenzwert selbst ist eine Höhe, ein $y$-Wert.

Correct: Lies die Antwort an der $y$-Achse ab: die Höhe, gegen die die Kurve strebt, wenn $x$ sich $2$ nähert.

Versandkosten mit Gewichtsgrenze

Paketdienste rechnen nach Gewichtsklassen ab. Der Graph der Kosten in Abhängigkeit vom Gewicht ist deshalb eine Treppe mit Sprüngen an den Klassengrenzen.

Ein Paketdienst verlangt 5 € bis 2 kg und 8 € über 2 kg. Knapp unter 2 kg liegt der Graph bei 5, knapp darüber bei 8. Der Grenzwert der Kosten für ein Gewicht gegen 2 kg existiert also nicht.

Ein Fehler in Sensordaten

Wetterstationen und Fitnesstracker stellen Messwerte über die Zeit dar. Geht ein Messwert verloren oder ist er falsch, bekommt der Graph eine Lücke oder einen verirrten Punkt, und der Grenzwert zeigt den echten Verlauf.

Ein Pulsgraph, der sich von beiden Seiten eines Zeitpunkts 120 Schlägen pro Minute nähert, mit einem einzigen fehlerhaften Messwert 0 genau zu diesem Zeitpunkt, hat dort trotzdem den Grenzwert 120.

Lücken auf dem Grafikrechner

Grafiksoftware zeichnet $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ als scheinbar gerade Linie, aber beim Nachfahren (Trace) bei $x = 3$ erscheint ein Fehler. Der Graph hat dort eine Lücke, und ihre Höhe ist der Grenzwert.

Für $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ sieht der Graph aus wie $y = x + 2$ mit einer Lücke bei $(2, 4)$. Also ist $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$, während $f(2)$ nicht definiert ist.

Q: Kann der Grenzwert existieren, wenn $f(a)$ nicht definiert ist?

A: Ja. Hat der Graph bei $x = a$ eine Lücke und streben beide Seiten gegen die Höhe der Lücke, ist der Grenzwert gleich dieser Höhe. Zum Beispiel ist $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ bei $x = 2$ nicht definiert, aber der Grenzwert dort ist $4$.

Q: Wenn bei $x = a$ ein ausgefüllter Punkt liegt, existiert dann der Grenzwert?

A: Nein. Der Punkt liefert nur $f(a)$. Bei einem Sprung hat der Graph einen ausgefüllten Punkt, aber die beiden Seiten streben gegen verschiedene Höhen, also existiert der Grenzwert nicht.

Q: Was schreibe ich, wenn ein Grenzwert nicht existiert?

A: Schreibe: $\lim_{x \to a} f(x)$ existiert nicht, und nenne den Grund, zum Beispiel: Die linke Seite strebt gegen $2$, die rechte gegen $4$.

Q: Wie genau ist das Ablesen eines Grenzwerts am Graphen?

A: Nur so genau wie der Graph. Nutze Gitterlinien und beschriftete Punkte. Liegt die Höhe nicht klar auf einer Gitterlinie, bestätige sie mit einer Wertetabelle oder rechnerisch (die nächsten Lektionen).