Wenn bei $x = a$ ein ausgefüllter Punkt liegt, existiert dann der Grenzwert?

Nein. Der Punkt liefert nur $f(a)$. Bei einem Sprung hat der Graph einen ausgefüllten Punkt, aber die beiden Seiten streben gegen verschiedene Höhen, also existiert der Grenzwert nicht.

Was schreibe ich, wenn ein Grenzwert nicht existiert?

Schreibe: $\lim_{x \to a} f(x)$ existiert nicht, und nenne den Grund, zum Beispiel: Die linke Seite strebt gegen $2$, die rechte gegen $4$.

Wie genau ist das Ablesen eines Grenzwerts am Graphen?

Nur so genau wie der Graph. Nutze Gitterlinien und beschriftete Punkte. Liegt die Höhe nicht klar auf einer Gitterlinie, bestätige sie mit einer Wertetabelle oder rechnerisch (die nächsten Lektionen).

Lehrermaterialien

Grenzwerte am Graphen ablesen

Q: Kann der Grenzwert existieren, wenn $f(a)$ nicht definiert ist?

Ja. Hat der Graph bei $x = a$ eine Lücke und streben beide Seiten gegen die Höhe der Lücke, ist der Grenzwert gleich dieser Höhe. Zum Beispiel ist $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ bei $x = 2$ nicht definiert, aber der Grenzwert dort ist $4$.

Lies Grenzwerte direkt am Graphen ab, unterscheide den Grenzwert vom Funktionswert und erkenne, wann ein Grenzwert nicht existiert.

Fortgeschritten25 MinLektion

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Definition

Um einen Grenzwert grafisch zu bestimmen, liest du

\lim_{x \to a} f(x)

direkt am Graphen von

f

ab. Lege auf jeder Seite von

x = a

einen Finger auf die Kurve, fahre in Richtung

x = a

und beobachte, auf welche Höhe (

y

-Wert) die Kurve zusteuert.

Streben beide Seiten gegen dieselbe Höhe $L$ , dann gilt $\lim_{x \to a} f(x) = L$ .
Streben die beiden Seiten gegen verschiedene Höhen, dann existiert der Grenzwert nicht.

Grenzwert und Funktionswert. Das sind zwei verschiedene Fragen:

$\lim_{x \to a} f(x)$ fragt, wohin die Kurve in der Nähe von $x = a$ strebt.
$f(a)$ fragt, wo der ausgefüllte Punkt bei $x = a$ tatsächlich liegt.

Ein offener Kreis (eine Lücke) markiert einen Punkt, der im Graphen fehlt. Ein ausgefüllter Punkt markiert den tatsächlichen Funktionswert. Der Grenzwert ignoriert, was genau bei

x = a

passiert. Eine Lücke oder ein Punkt an einer anderen Stelle ändert den Grenzwert also nicht.

\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \text{wenn beide Seiten des Graphen gegen die Höhe } L \text{ streben}

Lösungsbeispiele

Der Graph von $f$ ist die Gerade $y = x + 1$ mit einem offenen Kreis bei $(2, 3)$ und einem ausgefüllten Punkt bei $(2, 5)$ (der erste Graph dieser Lektion). Bestimme $\lim_{x \to 2} f(x)$ und $f(2)$ .

Folge der Kurve von links

Für $x = 1{,}9;\ 1{,}99;\ 1{,}999$ steigt die Gerade zum offenen Kreis hin → Die Höhe strebt gegen $3$

Folge der Kurve von rechts

Für $x = 2{,}1;\ 2{,}01;\ 2{,}001$ fällt die Gerade zum selben offenen Kreis hin → Die Höhe strebt gegen $3$

Vergleiche beide Seiten

Beide Seiten streben gegen dieselbe Höhe → $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$

Suche den ausgefüllten Punkt bei $x = 2$

Der ausgefüllte Punkt liegt bei $(2, 5)$ , abseits der Geraden → $f(2) = 5$

Antwort: $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ , aber $f(2) = 5$ . Der Grenzwert folgt der Kurve, der Funktionswert ist der ausgefüllte Punkt.

Häufige Fehler

Den ausgefüllten Punkt als Grenzwert ablesen: $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$ antworten, weil bei $(2, 5)$ ein Punkt liegt

Warum es falsch ist: Der Grenzwert beschreibt, wohin die Kurve in der Nähe von $x = 2$ strebt. Ein einzelner Punkt abseits der Kurve ändert nicht, wohin die Kurve strebt.

Richtig: Folge der Kurve von beiden Seiten: Sie strebt zum offenen Kreis auf Höhe $3$ , also $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ , während $f(2) = 5$ ist.

Sagen, der Grenzwert existiert nicht, weil es eine Lücke gibt

Warum es falsch ist: Eine Lücke bedeutet nur, dass $f(a)$ fehlt. Der Grenzwert schaut nie auf $x = a$ selbst, sondern nur auf die Werte drumherum.

Richtig: Streben beide Seiten gegen die Höhe der Lücke, existiert der Grenzwert und ist gleich dieser Höhe, auch wenn $f(a)$ nicht definiert ist.

Bei einem Sprung die Höhe des ausgefüllten Punktes (oder einer Seite) als Grenzwert angeben

Warum es falsch ist: Für einen beidseitigen Grenzwert müssen beide Seiten übereinstimmen. Bei einem Sprung streben die linke und die rechte Seite gegen verschiedene Höhen.

Richtig: Prüfe beide Seiten. Streben sie gegen verschiedene Höhen, schreibe, dass der Grenzwert nicht existiert, egal was der ausgefüllte Punkt zeigt.

Mit dem $x$ -Wert antworten: $\lim_{x \to 2} f(x) = 2$ schreiben

Warum es falsch ist: Die $2$ unter dem Limes-Zeichen ist die Stelle, gegen die $x$ strebt. Der Grenzwert selbst ist eine Höhe, ein $y$ -Wert.

Richtig: Lies die Antwort an der $y$ -Achse ab: die Höhe, gegen die die Kurve strebt, wenn $x$ sich $2$ nähert.

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Bei x = 2: von links und von rechts f(x) → 3, also ist der Grenzwert 3. f(2) = 5.

Funktionsgraph

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Bei x = -1: von links g(x) → 2, von rechts g(x) → 4. Die Werte sind verschieden, also gibt es keinen Grenzwert (Sprungstelle). g(-1) = 2.
Bei x = 2: von links und von rechts g(x) → 1, also ist der Grenzwert 1. g(2) ist nicht definiert (Lücke).

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = (x^2 - 4)/(x - 2)

m=1, b=2

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Der Graph von $f$ ist eine Gerade, die durch einen offenen Kreis bei $(3, 4)$ verläuft. Außerdem gibt es einen ausgefüllten Punkt bei $(3, 1)$ . Wie groß ist $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?

Übungsaufgaben: Grenzwerte am Graphen ablesen

1. Der Graph von f ist eine Gerade, die durch einen offenen Kreis bei (3, 4) verläuft. Außerdem gibt es einen ausgefüllten Punkt bei (3, 1). Wie groß ist \lim_{x \to 3} f(x)?
2. Der Graph von g ist die Parabel y = x^2 mit einem offenen Kreis bei (2, 4) und einem ausgefüllten Punkt bei (2, 0). Wie groß ist \lim_{x \to 2} g(x)?
3. Der Graph von f ist die Gerade y = x + 2 mit einem offenen Kreis bei (1, 3) und einem ausgefüllten Punkt bei (1, 6). Bestimme \lim_{x \to 1} f(x) und vergleiche ihn mit f(1).
4. Der Graph von f ist eine Gerade durch einen offenen Kreis bei (3, 4), dazu kommt ein ausgefüllter Punkt bei (3, 1). Wie groß ist f(3)?
5. Der Graph von g ist die Parabel y = x² mit einem offenen Kreis bei (2, 4) und einem ausgefüllten Punkt bei (2, 0). Wie groß ist g(2)?
6. Der Graph von f ist die Gerade y = 4 - x, ohne Lücken oder zusätzliche Punkte gezeichnet. Bestimme \lim_{x \to 1} f(x) und prüfe, ob er gleich f(1) ist.
7. Für x < 2 verläuft der Graph von f entlang y = x und endet in einem offenen Kreis bei (2, 2). Für x \ge 2 verläuft er entlang y = 5 - x und beginnt mit einem ausgefüllten Punkt bei (2, 3). Wie groß ist \lim_{x \to 2} f(x)?
8. Der Graph von h ist die Gerade durch (0, -1) und (4, 7), mit einem offenen Kreis bei x = 2 und dort keinem ausgefüllten Punkt. Wie groß ist \lim_{x \to 2} h(x)?
9. Für x < 2 ist der Graph von f die Gerade y = x, die in einem offenen Kreis bei (2, 2) endet. Für x \ge 2 ist er die Gerade y = x + 3, beginnend mit einem ausgefüllten Punkt bei (2, 5). Existiert \lim_{x \to 2} f(x), und wie groß ist f(2)?
10. Welche Aussage über \lim_{x \to a} f(x) ist immer wahr?
11. In der Nähe von x = -2 strebt der Graph von f von beiden Seiten zu einem offenen Kreis bei (-2, 3), und es gibt einen ausgefüllten Punkt bei (-2, -1). Berechne \lim_{x \to -2} f(x) + f(-2).
12. Der Graph von g: Für x ≤ -1 ist er y = x + 3 und endet in einem ausgefüllten Punkt bei (-1, 2); für -1 < x < 2 ist er y = (x - 1)² und beginnt mit einem offenen Kreis bei (-1, 4); für x > 2 ist er y = 3 - x. Bei x = 2 gibt es einen offenen Kreis bei (2, 1) und keinen ausgefüllten Punkt. Lies die Grenzwerte am Graphen ab.
13. Der Graph von f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1} sieht aus wie die Gerade y = x - 1 mit einer Lücke. Bestimme mit dem Graphen \lim_{x \to -1} f(x).
14. Der Graph von f hat drei besondere Stellen. Bei x = 1 endet der linke Teil auf Höhe 2 und der rechte Teil beginnt auf Höhe -1. Bei x = 3 strebt die Kurve von beiden Seiten zu einem offenen Kreis bei (3, 4), ohne ausgefüllten Punkt. Bei x = 5 strebt die Kurve von beiden Seiten gegen (5, 0), aber der ausgefüllte Punkt liegt bei (5, 3). Für welches a existiert \lim_{x \to a} f(x) nicht?
15. Der Graph von f verläuft für x < 2 entlang y = 3x + k und für x > 2 entlang y = x^2, mit offenen Kreisen an beiden Enden bei x = 2. Für welchen Wert von k existiert \lim_{x \to 2} f(x)?
16. Der Graph von q: Für x < 2 ist er y = x^2 und endet in einem offenen Kreis bei (2, 4); bei (2, 1) liegt ein ausgefüllter Punkt; für 2 < x < 5 ist er y = 6 - x, zwischen offenen Kreisen bei (2, 4) und (5, 1); für x \ge 5 ist er y = x - 2 und beginnt mit einem ausgefüllten Punkt bei (5, 3). Bestimme \lim_{x \to 2} q(x) und q(2), und entscheide, ob \lim_{x \to 5} q(x) existiert.
17. Für x < 3 ist der Graph von f die Gerade y = ax, für x > 3 ist er y = 12 - x, und bei (3, 0) liegt ein ausgefüllter Punkt. Bestimme den Wert von a, für den \lim_{x \to 3} f(x) existiert.
18. Der Graph von f: Für x \le 0 ist er y = -x und endet in einem ausgefüllten Punkt bei (0, 0); für 0 < x < 4 ist er y = x + 2, zwischen offenen Kreisen bei (0, 2) und (4, 6); bei (4, 1) liegt ein ausgefüllter Punkt; für x > 4 ist er y = 10 - x und beginnt mit einem offenen Kreis bei (4, 6). Berechne \lim_{x \to 4} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) + f(0).

Warum es wichtig ist

Ein Graph zeigt oft am schnellsten, was eine Funktion in der Nähe einer Stelle macht:

Hier beginnt die Analysis: Die Ableitung (Steigung einer Tangente) ist ein Grenzwert, und du begegnest ihr zuerst als Bild.
Echte Daten haben Lücken und Fehler: Ein Sensorgraph kann einen fehlenden Messwert oder einen falschen Ausreißer haben. Der Grenzwert zeigt den wahren Verlauf um diesen Zeitpunkt.
Preise und Gebühren springen: Versandkosten, Taxitarife und Steuerstufen haben Graphen mit Sprüngen, bei denen der Wert kurz vor und kurz nach einer Grenze verschieden ist.
Die Stetigkeit baut darauf auf: Später nennst du eine Funktion an der Stelle $a$ stetig, wenn der Grenzwert existiert und gleich $f(a)$ ist. Am Graphen kannst du das mit bloßem Auge prüfen.

Grenzwerte am Graphen abzulesen trainiert die wichtigste Gewohnheit der Analysis: Schau, was in der Nähe einer Stelle passiert, nicht nur an der Stelle.

Anwendungen im echten Leben

Versandkosten mit Gewichtsgrenze

Paketdienste rechnen nach Gewichtsklassen ab. Der Graph der Kosten in Abhängigkeit vom Gewicht ist deshalb eine Treppe mit Sprüngen an den Klassengrenzen.

Beispiel:

Ein Paketdienst verlangt 5 € bis 2 kg und 8 € über 2 kg. Knapp unter 2 kg liegt der Graph bei 5, knapp darüber bei 8. Der Grenzwert der Kosten für ein Gewicht gegen 2 kg existiert also nicht.

1Probiere es selbst

Ein Paketdienst verlangt 5 € für Pakete bis 2 kg (2 kg eingeschlossen) und 8 € für Pakete von knapp über 2 kg bis 5 kg. Der Graph der Kosten $C(w)$ hat einen ausgefüllten Punkt bei $(2, 5)$ und einen offenen Kreis bei $(2, 8)$ .

Wie groß ist der Sprung bei $w = 2$ (die Höhe, gegen die die rechte Seite strebt, minus die Höhe, gegen die die linke Seite strebt)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Höhe rechts minus Höhe links:

Ein Fehler in Sensordaten

Wetterstationen und Fitnesstracker stellen Messwerte über die Zeit dar. Geht ein Messwert verloren oder ist er falsch, bekommt der Graph eine Lücke oder einen verirrten Punkt, und der Grenzwert zeigt den echten Verlauf.

Beispiel:

Ein Pulsgraph, der sich von beiden Seiten eines Zeitpunkts 120 Schlägen pro Minute nähert, mit einem einzigen fehlerhaften Messwert 0 genau zu diesem Zeitpunkt, hat dort trotzdem den Grenzwert 120.

2Probiere es selbst

Eine Wetterstation stellt die Temperatur $T(t)$ in °C dar, $t$ in Stunden. Um $t = 3$ strebt die Kurve von beiden Seiten gegen $18$ °C, aber ein Fehler hat den einzelnen Wert $T(3) = 0$ gespeichert.

Wie groß ist $\lim_{t \to 3} T(t)$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Die Höhe, gegen die beide Seiten streben:

Lücken auf dem Grafikrechner

Grafiksoftware zeichnet $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ als scheinbar gerade Linie, aber beim Nachfahren (Trace) bei $x = 3$ erscheint ein Fehler. Der Graph hat dort eine Lücke, und ihre Höhe ist der Grenzwert.

Beispiel:

Für $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ sieht der Graph aus wie $y = x + 2$ mit einer Lücke bei $(2, 4)$ . Also ist $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ , während $f(2)$ nicht definiert ist.

3Probiere es selbst

Du zeichnest $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ . Beim Nachfahren erscheint bei $x = 3$ ERROR, und der Graph sieht aus wie die Gerade $y = x + 3$ mit einer Lücke.

Wie groß ist $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Die Höhe der Lücke:

Wichtige Erkenntnisse

1Um $\lim_{x \to a} f(x)$ am Graphen abzulesen, folgst du der Kurve von beiden Seiten zu $x = a$ und liest die Höhe ab, gegen die sie strebt
2Der Grenzwert ist ein $y$ -Wert (eine Höhe), nicht die Stelle $a$
3Ein offener Kreis (Lücke) markiert einen fehlenden Punkt, ein ausgefüllter Punkt den tatsächlichen Wert $f(a)$
4Der Grenzwert ignoriert den Punkt bei $x = a$ : Eine Lücke oder ein Punkt an anderer Stelle ändert ihn nicht
5Streben die beiden Seiten gegen verschiedene Höhen (Sprung), existiert der Grenzwert nicht, egal wie groß $f(a)$ ist
6Wo der Graph nicht unterbrochen ist, ist der Grenzwert einfach gleich $f(a)$

Häufig gestellte Fragen

Ja. Hat der Graph bei

x = a

eine Lücke und streben beide Seiten gegen die Höhe der Lücke, ist der Grenzwert gleich dieser Höhe. Zum Beispiel ist

\frac{x^2 - 4}{x - 2}

bei

x = 2

nicht definiert, aber der Grenzwert dort ist

4

Glossar

Grenzwert: Die Höhe $L$ , gegen die der Graph von $f$ von beiden Seiten strebt, wenn $x$ gegen $a$ strebt, geschrieben $\lim_{x \to a} f(x) = L$
Funktionswert $f(a)$: Die tatsächliche Höhe des Graphen bei $x = a$ , gezeigt durch einen ausgefüllten Punkt oder durch die Kurve, die durch $x = a$ geht
Offener Kreis (Lücke): Ein als leerer Kreis gezeichneter Punkt: Der Graph kommt ihm beliebig nahe, aber er gehört nicht zum Graphen
Ausgefüllter Punkt: Ein voller Punkt, der zum Graphen gehört und dort den Funktionswert angibt
Sprung (Sprungstelle): Eine Stelle, an der der Graph abbricht und auf einer anderen Höhe weitergeht, sodass die beiden Seiten gegen verschiedene Werte streben
Existiert nicht: Das sagen wir über einen Grenzwert, wenn die beiden Seiten des Graphen nicht gegen dieselbe Höhe streben

Formelkarte

Grenzwert am Graphen ablesen

\lim_{x \to a} f(x) = L

Beide Seiten des Graphen streben gegen die Höhe $L$, wenn $x$ gegen $a$ strebt

Wann der Grenzwert nicht existiert

\text{Höhe links} \neq \text{Höhe rechts} \;\Rightarrow\; \lim_{x \to a} f(x) \text{ existiert nicht}

Streben die beiden Seiten gegen verschiedene Höhen, existiert $\lim_{x \to a} f(x)$ nicht

Grenzwert und Funktionswert

\lim_{x \to a} f(x) \text{ und } f(a) \text{ können verschieden sein}

Der Grenzwert folgt der Kurve in der Nähe von $a$, der Funktionswert ist der ausgefüllte Punkt bei $a$. Sie können verschieden sein

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Funktionsgraph

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Versandkosten mit Gewichtsgrenze

Ein Fehler in Sensordaten

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Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Grenzwert am Graphen ablesen

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Grenzwert und Funktionswert

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