Beide Seiten gehen nach oben

Bestimme $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2}$.

Versuche direktes Einsetzen: $\frac{1}{(2-2)^2} = \frac{1}{0}$: Der Zähler ist $1$, der Nenner ist $0$ = Keine Zahl: genauer hinschauen

Wertetabelle von links: $x = 1{,}9$: $\frac{1}{0{,}01} = 100$; $x = 1{,}99$: $\frac{1}{0{,}0001} = 10000$ = Die Werte wachsen über alle Grenzen

Wertetabelle von rechts: $x = 2{,}1$: $100$; $x = 2{,}01$: $10000$ = Die Werte wachsen über alle Grenzen

Nutze das Vorzeichen: $(x-2)^2$ ist ein Quadrat, also auf beiden Seiten von $2$ positiv = Beide einseitigen Grenzwerte sind $\infty$

Answer: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty$. Beide Seiten wachsen in dieselbe Richtung, deshalb schreiben wir für den beidseitigen Grenzwert $\infty$, und $x = 2$ ist eine senkrechte Asymptote.

Die beiden Seiten sind sich uneinig

Bestimme $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2}$, $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2}$ und $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2}$.

Links von 2: $x = 1{,}9$: $\frac{1}{-0{,}1} = -10$; $x = 1{,}99$: $\frac{1}{-0{,}01} = -100$ = $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty$

Rechts von 2: $x = 2{,}1$: $\frac{1}{0{,}1} = 10$; $x = 2{,}01$: $\frac{1}{0{,}01} = 100$ = $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = \infty$

Vergleiche die beiden Seiten: Eine Seite strebt gegen $-\infty$, die andere gegen $\infty$ = Kein gemeinsames Verhalten

Gib den beidseitigen Grenzwert an: Für den beidseitigen Grenzwert können wir weder $\infty$ noch $-\infty$ schreiben = Der beidseitige Grenzwert existiert nicht

Answer: Links: $-\infty$, rechts: $\infty$. Der beidseitige Grenzwert $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2}$ existiert nicht (und wird nicht als $\infty$ geschrieben). Die Gerade $x = 2$ ist trotzdem eine senkrechte Asymptote.

Vorzeichenuntersuchung ohne Tabelle

Bestimme $\lim_{x \to 3^-} \frac{x+1}{x-3}$ und $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+1}{x-3}$.

Zähler bei $x = 3$: $3 + 1 = 4$ = Strebt gegen $4$ (positiv, nicht $0$)

Nenner bei $x = 3$: $3 - 3 = 0$ = Strebt gegen $0$: Der Grenzwert ist uneigentlich

Vorzeichen des Nenners für $x < 3$: Zum Beispiel $x = 2{,}99$: $2{,}99 - 3 = -0{,}01$ = Kleine negative Zahl

Linksseitiger Grenzwert: $\frac{\text{positiv}}{\text{klein negativ}}$; Probe: $\frac{3{,}99}{-0{,}01} = -399$ = $\lim_{x \to 3^-} \frac{x+1}{x-3} = -\infty$

Rechtsseitiger Grenzwert: Für $x > 3$ ist der Nenner eine kleine positive Zahl; Probe: $\frac{4{,}01}{0{,}01} = 401$ = $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+1}{x-3} = \infty$

Answer: $\lim_{x \to 3^-} \frac{x+1}{x-3} = -\infty$ und $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+1}{x-3} = \infty$. Der Graph hat bei $x = 3$ eine senkrechte Asymptote: links geht er nach unten, rechts nach oben.

Asymptote oder Lücke?

Bestimme die senkrechten Asymptoten von $f(x) = \frac{x-2}{x^2-x-2}$ und beschreibe das Verhalten an jeder Nullstelle des Nenners.

Faktorisiere den Nenner: $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ = Nullstellen bei $x = 2$ und $x = -1$

Prüfe den Zähler bei $x = 2$: $2 - 2 = 0$: Das ist der Ausdruck $\frac{0}{0}$ = Nicht automatisch eine Asymptote

Kürze: $\frac{x-2}{(x-2)(x+1)} = \frac{1}{x+1}$ für $x \neq 2$, also $\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{3}$ = Eine Lücke bei $\left(2, \frac{1}{3}\right)$

Prüfe den Zähler bei $x = -1$: $-1 - 2 = -3 \neq 0$, Nenner $0$ = Senkrechte Asymptote $x = -1$

Vorzeichen in der Nähe von $x = -1$: Mit $\frac{1}{x+1}$: Für $x > -1$ ist der Nenner klein positiv, für $x < -1$ klein negativ = $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \infty$, $\lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty$

Answer: Die einzige senkrechte Asymptote ist $x = -1$ (rechts $\infty$, links $-\infty$). Bei $x = 2$ hat der Graph eine Lücke, weil der Grenzwert dort die Zahl $\frac{1}{3}$ ist.

Negativer Zähler über einem Quadrat

Bestimme $\lim_{x \to -4} \frac{x-1}{(x+4)^2}$.

Zähler bei $x = -4$: $-4 - 1 = -5$ = Strebt gegen $-5$ (negativ)

Nenner in der Nähe von $x = -4$: $(x+4)^2$ strebt gegen $0$ und ist ein Quadrat, also auf beiden Seiten positiv = Auf beiden Seiten eine kleine positive Zahl

Kombiniere die Vorzeichen: $\frac{\text{negativ}}{\text{klein positiv}}$; Probe: $x = -3{,}9$ ergibt $\frac{-4{,}9}{0{,}01} = -490$ = Beide einseitigen Grenzwerte sind $-\infty$

Answer: $\lim_{x \to -4} \frac{x-1}{(x+4)^2} = -\infty$. Beide Seiten gehen nach unten, deshalb schreiben wir den beidseitigen Grenzwert als $-\infty$, und $x = -4$ ist eine senkrechte Asymptote.

Mistake: Sagen: „Der Grenzwert existiert und ist $\infty$“

Why: $\infty$ ist keine reelle Zahl. Die Schreibweise $= \infty$ beschreibt nur, wie die Funktion wächst; als Zahl existiert der Grenzwert nicht.

Correct: Sag „$f(x)$ wächst über alle Grenzen für $x \to a$“ oder „der Grenzwert ist $\infty$“, und denk daran: Ein Grenzwert $\infty$ ist kein existierender Grenzwert.

Mistake: Schreiben: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} = \infty$

Why: Von links gehen die Werte gegen $-\infty$, von rechts gegen $\infty$. Einen beidseitigen Grenzwert darfst du nur dann als $\infty$ schreiben, wenn beide Seiten gegen $\infty$ gehen.

Correct: Gib beide einseitigen Grenzwerte an ($-\infty$ und $\infty$) und sag, dass der beidseitige Grenzwert nicht existiert.

Mistake: Jede Nullstelle des Nenners für eine senkrechte Asymptote halten

Why: Ist dort auch der Zähler $0$, hat der Ausdruck die Form $\frac{0}{0}$ und lässt sich vielleicht kürzen. Dann kann der Grenzwert eine Zahl sein, und der Graph hat nur eine Lücke.

Correct: Prüfe zuerst den Zähler: Nenner $0$ und Zähler nicht $0$ bedeutet senkrechte Asymptote; beide $0$ bedeutet kürzen und neu prüfen.

Mistake: Das Vorzeichen nur aus dem Nenner bestimmen

Why: Ein negativer Zähler dreht das Ergebnis um: $\frac{-5}{\text{klein positiv}}$ geht gegen $-\infty$, nicht gegen $\infty$.

Correct: Bestimme das Vorzeichen des Zählers und das des Nenners auf der betrachteten Seite und kombiniere sie wie beim Dividieren.

Elektrische Kraft bei kleinen Abständen

Die Kraft zwischen zwei geladenen Teilchen ist umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstands. Deshalb wächst sie über alle Grenzen, wenn der Abstand gegen null schrumpft.

Mit $F(r) = \frac{100}{r^2}$ (in Newton, $r$ in Metern) wird die Kraft viermal so groß, wenn du den Abstand halbierst, und $\lim_{r \to 0^+} F(r) = \infty$.

Die letzten Verunreinigungen entfernen

Wasseraufbereitung wird immer schwieriger, je näher man an vollständige Reinheit kommt. Modelle für den Aufwand haben oft eine senkrechte Asymptote bei 100 %.

Wenn das Herausfiltern von $p$ Prozent der Verunreinigungen $T(p) = \frac{50p}{100-p}$ Minuten dauert, dann ist $T(50) = 50$ Minuten, aber $T(90) = 450$ Minuten.

Bilder einer Linse

Bei einer Linse mit Brennweite $f$ ist die Bildweite $d_i = \frac{f \, d_o}{d_o - f}$. Wenn der Gegenstand auf den Brennpunkt zuwandert, rückt das Bild unendlich weit weg.

Für $f = 10$ cm: Ein Gegenstand bei $d_o = 20$ cm ergibt ein Bild bei $d_i = \frac{200}{10} = 20$ cm, und $\lim_{d_o \to 10^+} d_i = \infty$.

Q: Wenn der Grenzwert $\infty$ ist, existiert der Grenzwert dann?

A: Nein. Ein Grenzwert existiert nur, wenn er eine reelle Zahl ist. Die Schreibweise $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ ist eine genauere Art zu sagen: „Der Grenzwert existiert nicht, weil die Werte in positiver Richtung über alle Grenzen wachsen.“

Q: Was ist der Unterschied zwischen einem uneigentlichen Grenzwert und einem Grenzwert im Unendlichen?

A: Beim uneigentlichen Grenzwert strebt $x$ gegen eine Zahl, und $f(x)$ explodiert: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty$. Beim Grenzwert im Unendlichen wächst $x$ selbst über alle Grenzen: $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$. Das erste liefert senkrechte Asymptoten, das zweite waagerechte.

Q: Kann ein Graph eine senkrechte Asymptote schneiden?

A: Nein. An einer senkrechten Asymptote $x = a$ explodieren die Funktionswerte in der Nähe von $a$, und $f(a)$ selbst ist meistens nicht definiert. (Waagerechte Asymptoten sind anders: Die kann ein Graph schneiden.)

Q: Warum gibt eine gerade Potenz im Nenner auf beiden Seiten dasselbe Vorzeichen?

A: Ein Quadrat (oder jede gerade Potenz) ist nie negativ. In der Nähe von $a$ ist $(x-a)^2$ auf beiden Seiten eine kleine positive Zahl, also hängt das Vorzeichen des Quotienten nur vom Zähler ab.