Uneigentliche Grenzwerte

Lerne, was es bedeutet, wenn eine Funktion in der Nähe einer Stelle über alle Grenzen wächst, wie du das Vorzeichen mit dem Nenner bestimmst und wie so senkrechte Asymptoten entstehen.

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Definition

Ein uneigentlicher Grenzwert beschreibt eine Funktion, deren Werte über alle Grenzen wachsen, wenn xx gegen eine Zahl aa strebt.
lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty
bedeutet: Wenn xx sich aa (von beiden Seiten) nähert, wird f(x)f(x) größer als jede Zahl, die du nennen kannst. Genauso bedeutet lim⁡x→af(x)=−∞\lim_{x \to a} f(x) = -\infty, dass f(x)f(x) kleiner wird als jede Zahl, die du nennen kannst.
Einseitige Versionen funktionieren genauso: lim⁡x→a−f(x)=∞\lim_{x \to a^-} f(x) = \infty betrachtet nur x<ax < a, und lim⁡x→a+f(x)=−∞\lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty betrachtet nur x>ax > a.
Wichtig: ∞\infty ist keine Zahl. Die Schreibweise lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty sagt dir, *wie* der Grenzwert als reelle Zahl nicht existiert: Die Werte wachsen in positiver Richtung über alle Grenzen. Der Grenzwert existiert nicht als Zahl.
Senkrechte Asymptote: Die Gerade x=ax = a ist eine senkrechte Asymptote von ff, wenn mindestens einer der einseitigen Grenzwerte bei aa gleich ∞\infty oder −∞-\infty ist. Bei einer gebrochenrationalen Funktion p(x)q(x)\frac{p(x)}{q(x)} passiert das dort, wo q(a)=0q(a) = 0, aber p(a)≠0p(a) \neq 0 ist (eine Polstelle).
Vorzeichenuntersuchung: Wenn der Zähler gegen eine Zahl ungleich null strebt und der Nenner gegen 00, wächst der Quotient über alle Grenzen. Sein Vorzeichen ergibt sich aus den Vorzeichen der beiden Teile:
  • positiv geteilt durch eine kleine positive Zahl: ∞\infty
  • positiv geteilt durch eine kleine negative Zahl: −∞-\infty
  • negativ geteilt durch eine kleine positive Zahl: −∞-\infty
  • negativ geteilt durch eine kleine negative Zahl: ∞\infty

Probier es gleich aus

Bestimme lim⁡x→01x2\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}.

Lösungsbeispiele

Bestimme lim⁡x→21(x−2)2\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2}.

1

Versuche direktes Einsetzen

1(2−2)2=10\frac{1}{(2-2)^2} = \frac{1}{0}: Der Zähler ist 11, der Nenner ist 00 → Keine Zahl: genauer hinschauen

2

Wertetabelle von links

x=1,9x = 1{,}9: 10,01=100\frac{1}{0{,}01} = 100; x=1,99x = 1{,}99: 10,0001=10000\frac{1}{0{,}0001} = 10000 → Die Werte wachsen über alle Grenzen

3

Wertetabelle von rechts

x=2,1x = 2{,}1: 100100; x=2,01x = 2{,}01: 1000010000 → Die Werte wachsen über alle Grenzen

4

Nutze das Vorzeichen

(x−2)2(x-2)^2 ist ein Quadrat, also auf beiden Seiten von 22 positiv → Beide einseitigen Grenzwerte sind ∞\infty

Häufige Fehler

Sagen: „Der Grenzwert existiert und ist ∞\infty“

Warum es falsch ist: ∞\infty ist keine reelle Zahl. Die Schreibweise =∞= \infty beschreibt nur, wie die Funktion wächst; als Zahl existiert der Grenzwert nicht.

Richtig: Sag „f(x)f(x) wächst über alle Grenzen für x→ax \to a“ oder „der Grenzwert ist ∞\infty“, und denk daran: Ein Grenzwert ∞\infty ist kein existierender Grenzwert.

Schreiben: lim⁡x→21x−2=∞\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} = \infty

Warum es falsch ist: Von links gehen die Werte gegen −∞-\infty, von rechts gegen ∞\infty. Einen beidseitigen Grenzwert darfst du nur dann als ∞\infty schreiben, wenn beide Seiten gegen ∞\infty gehen.

Richtig: Gib beide einseitigen Grenzwerte an (−∞-\infty und ∞\infty) und sag, dass der beidseitige Grenzwert nicht existiert.

Jede Nullstelle des Nenners für eine senkrechte Asymptote halten

Warum es falsch ist: Ist dort auch der Zähler 00, hat der Ausdruck die Form 00\frac{0}{0} und lässt sich vielleicht kürzen. Dann kann der Grenzwert eine Zahl sein, und der Graph hat nur eine Lücke.

Richtig: Prüfe zuerst den Zähler: Nenner 00 und Zähler nicht 00 bedeutet senkrechte Asymptote; beide 00 bedeutet kürzen und neu prüfen.

Das Vorzeichen nur aus dem Nenner bestimmen

Warum es falsch ist: Ein negativer Zähler dreht das Ergebnis um: −5klein positiv\frac{-5}{\text{klein positiv}} geht gegen −∞-\infty, nicht gegen ∞\infty.

Richtig: Bestimme das Vorzeichen des Zählers und das des Nenners auf der betrachteten Seite und kombiniere sie wie beim Dividieren.

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

-2-10123456-10-50510xyx = 2y = 0

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Tippe auf einen Namen, um den Graphen ein- oder auszublenden.

Asymptote

Wertetabelle

x1,91,9922,012,1
1/(x - 2)-10-100n. def.10010
1/(x - 2)²10010000n. def.10000100

Funktionsgraph

-4-2024-505xyx = -1y = 0

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

y = (x - 2)/(x² - x - 2)Asymptote

Wertetabelle

x-1,1-1,01-0,99-0,91,992,01
y-10-100100100,3344480,332226

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

-10-50510-10-50510xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben
Aufgabe 1 von 18
Einfach

Bestimme lim⁡x→01x2\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}.

Warum es wichtig ist

Uneigentliche Grenzwerte beschreiben Situationen, in denen eine Größe explodiert, wenn man sich einem kritischen Wert nähert:
  • Physik: Die Kraft zwischen zwei Ladungen, F=kr2F = \frac{k}{r^2}, wächst über alle Grenzen, wenn der Abstand rr gegen 00 strebt
  • Optik: Wenn ein Gegenstand nahe am Brennpunkt einer Linse steht, rückt das Bild unendlich weit weg
  • Umwelttechnik: Kosten oder Zeit, um die letzten Prozent eines Schadstoffs zu entfernen, wachsen oft über alle Grenzen, wenn man sich 100 % nähert
  • Funktionsgraphen: Uneigentliche Grenzwerte zeigen dir genau, wo die senkrechten Asymptoten einer gebrochenrationalen Funktion liegen und in welche Richtung der Graph auf jeder Seite läuft
In der Analysis brauchst du uneigentliche Grenzwerte, um Graphen zu skizzieren, Unstetigkeitsstellen zu beschreiben und mit uneigentlichen Integralen zu arbeiten.

Anwendungen im echten Leben

Elektrische Kraft bei kleinen Abständen

Die Kraft zwischen zwei geladenen Teilchen ist umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstands. Deshalb wächst sie über alle Grenzen, wenn der Abstand gegen null schrumpft.

Beispiel:

Mit F(r)=100r2F(r) = \frac{100}{r^2} (in Newton, rr in Metern) wird die Kraft viermal so groß, wenn du den Abstand halbierst, und lim⁡r→0+F(r)=∞\lim_{r \to 0^+} F(r) = \infty.

1Probiere es selbst

Zwei geladene Teilchen stoßen sich mit der Kraft F(r)=100r2F(r) = \frac{100}{r^2} Newton ab, wobei rr der Abstand in Metern ist.

Wie groß ist die Kraft in Newton bei einem Abstand von r=0,1r = 0{,}1 Metern?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne F(0,1)F(0{,}1):

Die letzten Verunreinigungen entfernen

Wasseraufbereitung wird immer schwieriger, je näher man an vollständige Reinheit kommt. Modelle für den Aufwand haben oft eine senkrechte Asymptote bei 100 %.

Beispiel:

Wenn das Herausfiltern von pp Prozent der Verunreinigungen T(p)=50p100−pT(p) = \frac{50p}{100-p} Minuten dauert, dann ist T(50)=50T(50) = 50 Minuten, aber T(90)=450T(90) = 450 Minuten.

2Probiere es selbst

Ein Filter braucht T(p)=50p100−pT(p) = \frac{50p}{100-p} Minuten, um pp Prozent der Verunreinigungen aus einem Wassertank zu entfernen.

Wogegen strebt T(p)T(p) für p→100−p \to 100^-?

Schritt 1: Wähle die richtige Antwort

Wähle den Wert von lim⁡p→100−T(p)\lim_{p \to 100^-} T(p):

Bilder einer Linse

Bei einer Linse mit Brennweite $f$ ist die Bildweite $d_i = \frac{f \, d_o}{d_o - f}$. Wenn der Gegenstand auf den Brennpunkt zuwandert, rückt das Bild unendlich weit weg.

Beispiel:

Für f=10f = 10 cm: Ein Gegenstand bei do=20d_o = 20 cm ergibt ein Bild bei di=20010=20d_i = \frac{200}{10} = 20 cm, und lim⁡do→10+di=∞\lim_{d_o \to 10^+} d_i = \infty.

3Probiere es selbst

Eine Lupe hat die Brennweite 1010 cm, die Bildweite ist also di=10 dodo−10d_i = \frac{10 \, d_o}{d_o - 10} cm.

Wie groß ist die Bildweite in cm, wenn der Gegenstand bei do=11d_o = 11 cm steht?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne did_i für do=11d_o = 11:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty bedeutet, dass f(x)f(x) über alle Grenzen wächst, wenn xx gegen aa strebt; −∞-\infty bedeutet, dass es unter alle Grenzen fällt
  • 2∞\infty ist keine Zahl: Ein Grenzwert ∞\infty oder −∞-\infty existiert nicht als reelle Zahl
  • 3Strebt der Zähler gegen eine Zahl ungleich null und der Nenner gegen 00, ist der Grenzwert uneigentlich; die Vorzeichenuntersuchung entscheidet zwischen ∞\infty und −∞-\infty
  • 4Prüfe jede Seite einzeln: Gehen linke und rechte Seite in verschiedene Richtungen, existiert der beidseitige Grenzwert nicht und wird nicht als ∞\infty geschrieben
  • 5x=ax = a ist eine senkrechte Asymptote, wenn mindestens ein einseitiger Grenzwert bei aa gleich ∞\infty oder −∞-\infty ist
  • 6Eine Nullstelle des Nenners, an der auch der Zähler 00 ist, kann eine Lücke statt einer Asymptote sein: erst kürzen

Häufig gestellte Fragen

Nein. Ein Grenzwert existiert nur, wenn er eine reelle Zahl ist. Die Schreibweise lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty ist eine genauere Art zu sagen: „Der Grenzwert existiert nicht, weil die Werte in positiver Richtung über alle Grenzen wachsen.“
Nein. Ein Grenzwert existiert nur, wenn er eine reelle Zahl ist. Die Schreibweise lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty ist eine genauere Art zu sagen: „Der Grenzwert existiert nicht, weil die Werte in positiver Richtung über alle Grenzen wachsen.“
Beim uneigentlichen Grenzwert strebt xx gegen eine Zahl, und f(x)f(x) explodiert: lim⁡x→21(x−2)2=∞\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty. Beim Grenzwert im Unendlichen wächst xx selbst über alle Grenzen: lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0. Das erste liefert senkrechte Asymptoten, das zweite waagerechte.
Nein. An einer senkrechten Asymptote x=ax = a explodieren die Funktionswerte in der Nähe von aa, und f(a)f(a) selbst ist meistens nicht definiert. (Waagerechte Asymptoten sind anders: Die kann ein Graph schneiden.)
Ein Quadrat (oder jede gerade Potenz) ist nie negativ. In der Nähe von aa ist (x−a)2(x-a)^2 auf beiden Seiten eine kleine positive Zahl, also hängt das Vorzeichen des Quotienten nur vom Zähler ab.

Glossar

Uneigentlicher Grenzwert
Ein Grenzwert, bei dem f(x)f(x) für x→ax \to a über alle Grenzen wächst oder unter alle Grenzen fällt, geschrieben lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty oder −∞-\infty
Senkrechte Asymptote
Eine senkrechte Gerade x=ax = a, der sich der Graph nähert, während seine Werte auf mindestens einer Seite gegen ∞\infty oder −∞-\infty gehen
Vorzeichenuntersuchung
Bestimmen, ob Zähler und Nenner in der Nähe von aa positiv oder negativ sind, um zwischen ∞\infty und −∞-\infty zu entscheiden
Wächst über alle Grenzen
Wird größer als jede Zahl, die man nennen kann; das bedeutet →∞\to \infty
Existiert nicht
Der Grenzwert ist keine reelle Zahl, zum Beispiel weil die Werte explodieren oder die beiden Seiten nicht übereinstimmen

Formelkarte

Test auf uneigentlichen Grenzwert

lim⁡x→a±p(x)q(x)=±∞ falls p(a)≠0, q(a)=0\lim_{x \to a^{\pm}} \frac{p(x)}{q(x)} = \pm\infty \text{ falls } p(a) \neq 0,\ q(a) = 0

Zähler ungleich null über einem Nenner, der gegen $0$ strebt: Jeder einseitige Grenzwert ist $\infty$ oder $-\infty$, die Vorzeichen entscheiden; beidseitig gilt das nur, wenn beide Seiten übereinstimmen

Ungerade Potenz

lim⁡x→a−1x−a=−∞,lim⁡x→a+1x−a=∞\lim_{x \to a^-} \frac{1}{x-a} = -\infty, \quad \lim_{x \to a^+} \frac{1}{x-a} = \infty

Die beiden Seiten gehen in entgegengesetzte Richtungen, also existiert der beidseitige Grenzwert nicht

Gerade Potenz

lim⁡x→a1(x−a)2=∞\lim_{x \to a} \frac{1}{(x-a)^2} = \infty

Ein Quadrat ist auf beiden Seiten positiv, also gehen beide Seiten gegen $\infty$

Senkrechte Asymptote

x=a falls lim⁡x→a−f(x) oder lim⁡x→a+f(x) gleich ±∞x = a \text{ falls } \lim_{x \to a^-} f(x) \text{ oder } \lim_{x \to a^+} f(x) \text{ gleich } \pm\infty

Ein uneigentlicher einseitiger Grenzwert genügt

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